В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Уд(х)е "— + дя(х) — = д(х)ш+ Ь(х). к„аао Вш Ох ау Общее решение; ш = Ф(н)С(х, и) -г С(х, и) 51, и = е " — Г(х), гг(Г) ае ти где Г(х) = Л с)х, С(х.,н) = схр( ), ха — любое. Л( ) ' ' ' 5.а Хг(Г)[аУГ(Г)) 8.8.2. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции х и произвольные функции у О а 1. а — + 6 — = сто+ 5(х)д(у). а ау Общее решение; = ест [Ф(Ь вЂ”, )+ — ' Гщ ('(' ')+"у) -сдобь] Геа а где ха -. любое. Ощ ака 2. с — .+ Ь вЂ” = око + ху(у) + уд(х). Ох Оу Общее решение: ю = е' "5(ф(ьх — ау)+ —, / (сете( ' ) + [ь(1 — х)+ ау)д(е))е " 'сгь) а о, 3.
с + Ь = а (х)щ+ д(х)Ь(у). Ох Ву Общее решение: — Г(х)[Ф( )+ — / '(,) д(И )с)1], и=Ь где Г(х) = ехр[ — / 1(х) г(х]. 4. с + Ь = [У(х) + д(у)]то+ р(х) + д(у). Общее решение: ш = ехр [ — / у(х) Ах Ф вЂ” / д(у) ду] (Ф(ьа — ау) Ф вЂ” / [р(х)-~-д( )] ехр( — — / [у(х)+д( * )] да)дх), где и = Ьх — ау. При интегрировании и рассматривается как параметр. 5. сх + Ьу = сто+ у(х)д(у). Общее решение: ш = х Г [Ф(х Шу) + — 1 ~ ~'У )(1)д(ещ" х ищу) гИ]. а*а Вш а б. Хт(х) — + Уа(у) — = ате + дг(х) + дя(у). Ох Оу Общее решение: га = Ег(х)Ф(и) + Е1 (х) 1 'Сг + Еа(у) I 5 т"1(")Ег(х) 5 Ыу)Е (у) ' где Ег(х) = ехр[а / ], Е (у) = акр[а / — ], и = / — / 128 дннвянмн юавнвния вндя Г(х, у)+ + д(х, у)+ = Ь~ (х,у)ю+ бо(х, у) и~ = ехр[хт( У )](Ф( — ") Ф / д(1,ие)ехр[ — ГД(и)] — ), и = —, где хо —. любое.
+ бр = 1(х, у)ю + д(х, у). дю дю дх др Общее решение: ю = схр[ — ) — У(х, и щх щ) г(х](Ф(и)+ + — 1 — д(х, и х ) ехр[ — — 1 — 1(х, и х ) г)х] гГх), 1 Г1 П Н Г 1 Рт гГ а! а, т а х где и = у" х . При интегрировании и рассматривается как параметр.
у(х) — + д(х)у — = ях, р)ю + х (х, р). дю дю дх ду Общее решение: 3. ю = Н(х, и) [Ф(и) + / 4 Г(х)Н(х.и) где С = С(х) = схр[1 ' дх], Н(х,и) = ехр[(' У(х) оГх], и = —, Р С' Л(х, иС) пх]. При интегрировании П ) и рассматривается как параметр 4. У(х) + [дт(х)у+до(х)] = Цх,у)ю+У(х,у). Общее решение: и~ = Н(х, и) [Ф(и) Ф / ' ~1х], где С=С(х) =ехр[~' ~'~дх], Г) =Г)(х) =С(х) ~ уо(.) "х Г(х) ' ' ' 4 Г(х)С(х) ' При интегрировании и рассматривается как параметр.
4 (х) "' + [д,(х)р + до(х)у"] = 6(х, у)ю + Г(х, у). При и = 1 см. уравнение 5.8.3.3. При й ~ 1 замена С = у' и приводит к уравнению вила 5.8.3.4: т(х) — -Н (1 — д) [дг(х)8 Ф до(х)] — = 6(х, 8 '-г ) ю+ Р(х, 8 '-Я ). Х(х) + [дт(х) + до(х)с""] = Цх,у)ю+ Е(х,у). дх ду Замена я = е ~Я приводит к уравнению вида 5.8.3.4: д Г(х) — — Л[дг(х)я 4-до(х)] — = Ь(х, — — 1пя)ю Ф г'(х, — — 1пя). дх 5.8.3. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции двух переменных дю дю 'р' — + у — = ху,— ) + д(х, у). д др Общее решение: 6. Линейные уравнения вида ~(х, у, з)ф + д(ж, у, л)ф + й(ж, у, л)ф = О 6.1.
Предварительные замечания 6.1.1. Методы решения 6.1.1-!. Характеристическая система. Структура общего решения. Рассмотрим линейное одноролнос уравнение в частных произаолных первого порядка стремя независимыми переменными вида дю дю дю Д(х., у, ») — -1- д(х., у, ») — -1- й(х, у, ») — = О. дх ' ' ду ' ' д» Если известны два нсзанисимых интслрана (интслршльный базис) и1(х, у, ») = Сы из(х, у, ») = Сз (2) характеристической системы (3) Д(х,у,») д(х,у,») б(х,р,») ' то общее решение уравнения (1) имеет вид ю = Ф(иы и»), (4) 6.1.1-2. Метод решения, основанный на переходе к новым переменным.
Пусть известен одна интеграл и(х, у, ») = С системы (3). Переходя от х, у, » к новым пере- меннылл х, у, и = и(х, у, »), получим линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка с двумя независимыми переменными х, у: — дю дю )'(х, у, и) — + д(х, у, и) — = О, дх ' ' др (5) в которое и входит как параметр. Функции ((»ау, и) и д(х, у, и) получаются из Г(х, у, ») и д(х, у, ») с помощькз перехода к переменным т, у, и.
О решении уравнений (5) см. Равд. !.2. 6.1.1-3. Физическая интерпретация. Уравнсние (1) описывает стационарное распределение концентрации вещества в трехмерном потоке (без учета диффузии). При этом считается, что компоненты скорости жидкости по осям х, у, » определяются соответсгвенно функциями г, д, 6,. Оа ейнаедатири яре»дену 6 ! 1: Э Камке П966) И Г Петровский (!970) Н й!лес К Дпя Ы Н Ашнпдяоп (! 986), В. Ф.
Зайцев, Д. 11. Полян ни (1996). 9 В. Ф. Звинвв, А Д Поннннн глс Ф произвольная функция двух аргументов. Для конкретных уравнений, рассмотренных далее в разл. 6.2- 6.8, часто будет указан только интегральный базис. Общее решение этих уравнений можно потучить с помощью формулы (4). 130 линвяныв тгввнвния вида Д(х, у, с) а + д(х, у, х) — „",' + й(х у з) а, = О 6.1.2.
Задача Коши (задача с начальными данными) 6.1.2-1. Классическая задача Коши. Требуется найти решение ю = ю(х, у, г) уравнения (1), удовлетворяющее условию ю = За(у,я) при х = ге, (6) где цг(у.с) --.известная функция. Начальное усгювие (6) удобно представить в параметрическом виде: х = хс, у = бг г = (з ггг = Ьг(бг,бг), (ба) где бг, бз параметры. 6.1.2-2. Физическая интерпретация задачи Коши.
1'. Стациаиггриая интерпретация задачи Коши. Пусть х, у, я --. пространственные координаты, ю концегпрация. Считается, что распределение концентрации описывается стационарным уравнением переноса (!) и в начальном сечении х = хс задан профиль концентрации (6). Требуется найти ю = гг~(х, у,с) в потоке за начальным сечением (при х > хе). 2". Пестациоиириая шипериретация задачи Коши. Пусть х — время, у и я . пространственяые координаты, ю - . концентрация (2 = 1). Считается, что распределение концентрации описывается нестационарным уравнением переноса (!) и в начатьный момент времени х = хс запан профиль концентрации (6).
Требуется найти ю = ю(х, у, з) в последующие моменты времени (при х > хе). 6.1.2-3. Процедура решения задачи Коши. Для решения задачи Коши подставляют начальные данные (ба) для независимых переменных в интегралы (2) харалчеристической системы (3) и добавляют к полученным выражениям послслнес равенство (ба): цг(ха сг сз) = Сг, цз(тс,ьг ьз) = Сз, ги = Ьа(чг ьз).
(7) Затем из первых лвух уравнений (7) выражают Рг и Рз через Сг и Сг и подставляют их в правую часть последнего равенства (7). В результате находят зависимость ю =,4,(С„Сз). (8) Подставляя сюда вместо С1 и Сг левые части интегралов (2), получают решение задачи Коши: ю = ф(иг(х, у, г), из(х, у, )). (9) 6.1.2мй Обобщенная задача Коши. 6.1.3. Конкретные примеры Пример 1. Рассмотрим уравнение дю дю дю — 4 а — Х Ьх — =. О. дх ду дя (10) Характеристическая система 1 а Ьх Формулировка обобщенной задачи Коши: требуется найти решение ю = ю(х, у, г) уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям х = рг(ьг,сз), У = Ия(ьг,ьг), с = згз(сыфг), ю = Ьсг(сысз), где Ры Рз-- параметры (огд < Рг,з < ()нз), а Ьгь(бг,фг) - заданные функции.
Метод решения обобщешюй залачи Коши аналогичен методу, описанному выше в равд. 6.1.2-3. Ов Литература я ригдегу 6 1 2: тх Камке (1966)„И. Г. Петровский ( ! 970), Н. Кйее, К. Лг1з, Н, К. Лти1гдзон (! 986). ТЗТ 6.2 Уравнения, еидерлеащие еимненные фуню!ии р — к=с, ° — трб ,г 1! ' Поэтому общее решоние уравнения (11) имеет вид = Ф(Р— „— з Ьхз), где Ф произвольная функция двух аргументов. Пример 2.
Рассмотрим уравнение а а а — + ах — + Ьр — =- О. а ар а. Запишем характеристическую сисзсму в виде двух уравнений (13) (14) ах 1 Ьу Общее решение первого уравнения дается формулой р — —.ах = Сз. (! 5) Выразилг отсюда у через х и подставии повученнос выражение во второе уравнение (14). В рсзулшатс имеем ег, = 6(С -1- з ах ). Интегрируя, получим с — 6С х — 1, абхз = Сз.
Исключая отсюда С! с помопзью равенства (15), находим второй интщрал е — Ьхр -1- — абх' = Сз з з Общее решение уравнения (13) является произвольной фуикпией двух аргументов (15) и (16): ш .= Ф(р — —., ах,з — Ьху-1- — аЬх ). 1 з з з (!6) пример 3. требуется найти решение задачи коши щгя уравнения (10) с начвльныле условием (! 7) при с=1. Запишем начальные данные (17) а параметрическом виде х=! у=9! с=ба, ш=дь!9ь (17а) а затем подставим их в интегралы (12) характеристической системы (11). В результате имеем Сз — а =. Сд, бз — ! 6=-Сз. Выразив отсюда( иб через С и Сз и подставив их в последнееравенство(17а), получим ю = А(С -1- а) (Сз -1- +6) Заменив С! и Сз левыми частями равенств (12), находим решение задачи Коши ш = А(у — ае-1-а)н(е — — , 'Ьхз -1- ! 6)"'. 6.2.
Уравнения, содержащие степенные функции 6.2.1. КОЭффнцИЕНТЫ ураВНЕНИй ЛИНЕЙНЫ ПО ш, у, х 1. а +Ь +с =О. ах ау а Интегральный базис: пт = Ьх — ау, из = сх — ал. (") аимвритури: Э. Камкс !1966) дю +,„дю + Ь„аю О ах ар " а Интегральный базис: и! = ахз — 2у, пз = Зз+ ах(ахз — Зу). аю дмэ аю 3. а — +Ьу — +сх — =О. дх ду дх Итегршзызый базис: иг = )у!'е ь*, из = !з!'е "'. Ов Лимераяпра. Э. Камке (1966).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
