В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 25
Текст из файла (страница 25)
0 решении этого уравнения см. 1О 2!12. ® Пплллпрпллтра. Э. Камке !1966). 26. Ьс(асхх+ 6 у ) — + ас(Ьсуг — 2а х ) — — а6(2аЬху+ с х ) — = О. г г г г Ою г г Ох др дх Интегральный базис: ил = 2асхг — Ьгрг, иг = а хг + Ьсрг. 6.2 Ураенення, еоиергбеащббе апабенпые йуна)ин 6.2.3. КоэФфициенты уравнений содержат другие степени х, у, х 1. 2Ьгхх — + Ьу(ьгх + 1) — + аху(ьх + 1) — = О. о Ор о Интегральный базис: Ьг — ихр игу 1 1 и) = Ьг — аху, и2 =, 1п !и )х(.
(Ьг — ахр-1- Цг 6г-)-1 ) (6г 4 1)(Ьг — ахр-)-1) 2 2. Ьсху — + 2Ьсу — + 2(сух — ах ) — = О. г дю з диб гадю дх Оу Ох Инге)ральньгй базис: и) = —, иг = у ехр( .) р срг — ахг Ьсу х + асхх — аЬху = О. г дю 2аю 2 а ор а г з з Интегральный базис: иг = ах + сг, иг = Ьу -1- сг . 4. х(Ьу — сх ) + у(сх — ах ) + х(ах — Ьу ) = О. 2 2 г г дю 2 2 а оу Ох Интегральный базис: и) = ах +Ьу 4-сг, иг = 2:уг. 5. Ьу(Бах + Ьуг + схг) — — 2ах(ахг + схг) — + 2абхух — = О. Ох Ор дх ахг -)-Ьрг 4 сгг 2а*г -)-Ьрг Интегральный базис: иб = , иг= 22 Ь(а(а х +Ь у — 1)х+Ьу) +а(Ь(а х +Ь у — 1)у — ах] +2аьх =О. а Ор Ог Преобразование ах = 6, Ьу = г) приводит к более простому уравнению этого вида при а = Ь = 1. Интегральный базис: игхг Ь Ьгрг — ! Г Ьр З Г Ьр З гбг = ехр(2агсгй — ), иг = гехр(2агсти — ). 4242 ) 6292 их ах 7.
х(Ь у — 2азхз) — + у(2ьзу — а х ) + Ох(азха — Ь у )— Ох Ор Ох их Ьр Интегральный базис: иг = х у' г, иг =— Ьгрг 8. ах (аЬху — с х ) — + аху(аЬху — с х ) — + Ьух(Ьсух+2а х ) — = О. 2 22 дю ,, а 2 2 Ох ар а у агьхгр -)- Ьгсугг -)- исгхгг Интегральный базис: и) = —, иг = х' рг х(сх — Ьу ) + у(ах — 2сх ) + х(2Ьу — ах ) 4 4 Ою 4 Ою о Ох Ор аг ИнтегРальный базис: иб = ах 4-Ьр -1-сг, иг = х Уг. 4 4, 4,2 о "ор " о Интегральный базис: и) = у/х, иб = а~/ха + уг — г. Ое Литерапбурп: Э. Камке (!966).
° — .;. — -; 1 —,/Р 4 д' 4 б г) — = дю дю Обп ох ар дх бу =б)*, =*' '1 'гббб'бе). Ое Лиаерпюурп, Э. Камке (!966). 138 линвлныв плвнвния вилл Дх,у.х) з +д(х,у.л) л"' +Ь(х,у л) л, = О 04 Литература: Э. Камке (!966). 6.2.4. КоэфФициенты уравнений содержат произвольные степени х, у, х 1. +ах"у +Ьх у"х =О, 1'. Интегральный базис при т ф 1, и ф — 1: 1 д„. а „.!.! ид = — у — х, Й=! — пд; Ь пе1 ~ о | ~ л ~ ~ ~ ~ ~ ~ г ~ и — Ь( х (кид-Ь х." ) д)х при Лф1, 1 — Л п-!-1 ид = ай -!-дл Рд ~ !п)л! — Ь / х'(/гид+ х ) д(х при Л = 1.
и+1 ' При интедрировании ид рассматривается как параметр. 2'. Интегральный базис при т = 1„п ф — 1: а ид = 1п)у) — — х', и = и+ 1; ) г ( лр,.1 ( ° ( лр — Ьу ехр( — — х'1 х ехр — хд)с)х при Л ф 1, 1 — Л ид = 1п~а~ — Ьунехр( — — х') ) х схр(л — х )д)х при Л = 1. 3'. Интегральный базис при дп ф 1, и = — 1: 1 л ид = — у — а!и!х(, Й = 1 — т; Ь ~~ ~ ~ ~ ~ ~ т ~~ ~ | ~ ~ ~ | ! — Л вЂ” 1х (лид ->ай1п!х)) с(х при Л г-1, ид = !пЦ вЂ” Ь / х (йи !-а)с!и !х()~ Лх при Л = 1, При интегрировании ид рассматривается как параметр. 4'. Интегральный базис при т = 1, п = — 1: д — л при Лу1, а!д-ни~-1; 1 — Л ар-! и-1-1 д — л 1 — Л вЂ” Ьулх "!п !х! при Лф1, ар+и= — 1; и!=х 'у, Ьх ьдун 1п (л!— ор -!- и -!- ! 1и !л! — Ьулх "" !и !х! нри Л = 1, ар+ и ф — 1; при Л=1, ар -Ь и = — 1.
11. хллгул + ха — + ахлдлР+ха — — (х~/у~+ ха + ау,~х~ + хз) — = О. Ою а Оде Ох зу О Интегральный базис: ид = гд, ид = а,агсл!п(х)г) — агддз(дд(уддг), где гз = хз Л- уд -~- лз. 04 31ипдерлтура: ен Камкс (!966). 13. (у — х) Я(х) — + (х — х) Я(у) — + (х — у) Я(х) — = О, Ох ду Ох где 1(1) = аве + иве +а46 + аае + аае + ад$+ ао. Интегральный базис: < (у — д) игу(х) + ( — х) Л(у) + (х — у) игу() ~ ', ( „„„,)з, (, „,) (у — П вЂ” Нх — у) --[ '' узла(у — д) дгу(х) Е ддха(л — х) 'у(у) Е хзуд(х — у) лгу(л) ]з иа— хул(у — лЯл — хнах — у) 1 1 1 д 1 1 1 — .( — + — + — ) —.,( — -ь — -ь — ).
х у х у б.2 Уравнения, евдерлеащпе енгененные функ~гни — + 1агх *у+ Ьгх ) — + 1агх х+ Ьгх ) — = О. Ох др Ох Частный случай уравнения 6.8.1.5 при 271х) = агх"', 121х) = 6~я"", д71х) = агх"', дг(х) = Ьзх '. + 17агх"ту+ Ьтх ') + 1агу"ах+ Ьгу"") = О. дх Оу д Частный случай уравнения 6.8.2.2 при 271х) = агх"', у21х) = Ьгх ', д717у) = агу"', д 17д) — 6 ум2 Частный случай уравнения 6.8.1.8. диг Оиг 7 диг 6. ах — + Ьу — + сх — = О. Ох Ор Ох 1*. Интегральный базис прн п ф 1, гп ф 1: — при 1~ 1, а 1 — 1 6 7 „а из= х У, из= 1 — 77 1 — 7п а 1п ~2) при 1 = 1.
2'. Интегральный базис при т, = 1 = 1: с и2= 1 — и — ь/ х "— а1п)у~ при и ~1, при п=1. — еу иг =х 7. у +Ьх +ах = О. О Ор Ох 1'. Интегральный базис при и ф — 1, т ф -1: 6 наг а иг = х' у и-~-1 т-~-1' 161 +Ц „ь Ч1 1 уг „а с Ь' х иг1 га†а)п Ч Ц с 161т Ь Ц „чг т -~-1 1 71 х иг) 72х — а 1п а177 -~- Ц а при 1ф1; (2! п12И 1 = 1. При интегрировании и1 рассматривается как параметр. 2'. Интегральный базис при п ф — 1, т = — 1: иг = х" — а1п)у! п61 1 — 1 при 1~1; а17гф при 1 = 1. 3'. Интегральный базис при п = т = — 1: 1а+ 6)сху — 2 а- 1 — 1 а 7-~ сху1п )х~ — 2 1 — 1 со+ 6)сху — а 1п ф еху1п)х! — а!и ф при 1~1, а+ЬфО; при 1 ~ 1, а + 6 = О; иг=х "у, иг= -Ьг« при 1=1, ад-ЬфО; прн 1 = 1, а + Ь = О.
2. — + 1агх"ту+ Ьзх ') — + 1агх"'у+ Ьгх ') — = О. Ох Ор Ох Частный случай уравнения 6.8.1.4 при 271х) = агх"', 121х) = Ьгх ', дгсх) = агх"', дгСх) = 62х 140 лпнвяныв угмвнвняя виля Д(х,у.я) а ' + д(х,у.,я) 'в" + Ь(х,у я) а, = О дул „д Ою 8. х(у — х ) — + у(х — х ) — + я(х — у ) — = О.
д* ду дя Интсгразьный базис: из —— хуя, из = х" + у" + я". Ол Яйлллрллгура: Э. Качке (!966). +Ь Ою + Нядю О Оу О Интегральный базис: иу = — е"* — ау. из = оя — с у! . При интегрировании а ' ау-1-иу и! рассматривается как параметр. 2. а — +Ье — +се — =О. Ою дю з* дю Ох Оу дх Ь „а Интегральный базис: и! = — е — ау, из = ох + — г а у 3. а — +Ье — +се — = О.
Ою ив Ою дуя дх ду дя Интегральный базис: иг = Ьх -Ь вЂ” е, из = — — 'е ' + — е а вл с зл Ь 3 + (Азе"' + Взе"' т ") + (Аге ' + Вяе ' тип) = О. Ох зе ге Оя Частный случай уравнения 6 8 1.10 при уз(х) = Ауе '"', уз(х) = Вуе"", ду(х) = Азе"Я*, о! (х) — Вз е "з 5 ..Ою+Ь дядю+ злдю О дх ду дя 1, 1 в„1 я„у Интегральный базис: и! = — — е '+ — е, из = — — е + — е аа Ьд * ЬУ) су Н„дс „. Ою .„. Ою б. ае — + Ье — + се дх ду дя вя Оу — ах Интегральный базис: иу = — — е -Ь вЂ” е, из = " -1- — е а,а ЬУ) Ьууеаа — аоеал су 7. (ат + аяе ) — + (Ьт + Ьяен") + (сд + сяез*) = О.
дх ду дх Интегральный базис: иу = [ох — 1п(ау + аге л)) — [))у — )гу(Ьз + Ьзел") ), а!а Ьуд из = [ох — рп(ау + азе )) — ["у — 1п(су + сзе л)). 1 1 а,а с,у 8. еиа(ад + аяе~ ) — + е (Ьз + Ьяее") + сената = О. дх Оу Оя Интегральный базис; пу = — 1п(ау-разе ) — — 1п(Ьуз-Ьзе' 1 1 ял аза Ьуу) 1 из = — [ах — 1п(аз Ч-азе ')) -1- — е ауо су 6.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции 6.3.1. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные функции 141 6 3 Урпвнвн1ие содврвкпи2ив экспонвнциивьнын йунке1н 6.3.2. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциапьные и степенные функции арз-1 -е, 1 -зи 1 -Ь ' Е ", Нзкп — — Е 7- — Е Ьвз Ьд от н1= — — (х е ' ~-1 х е кдх)-1- — 1 — * — 2 па 1' — 1 — * ! — З вЂ”, н2= — — (х е +/ х е 1(х)+ па 3.
— + [уз + ае (ск — ае )] — + [ха + Ьх+ се~ ()У вЂ” 6 — се~ )] — = О. дх ву дх Интегральный базис.' Ег=ехр( — е '), Ез = ехр( — 'е * -1- Ьх) . р' Н1 = р Ьу+ ае "(о — Ь вЂ” ае )] + [хз + се~ (х — Ь) — Ь~] др д Интегральный базис: Е1 = ехр( — е * Ь Ьх), ус е. Ез = ехр( — е -Ь 2к.х). '1 д 5. — + [уз + Ьу+ ае (у — Ь) — 62] — + [хз — с(хх — 1)ес"] — = О. дх ду Вх Интегральный базис: Е1 = ехр( — е ' -Ь 2Ьх) ' а Е2 = ехр[ —,(Зх — Це ]. Н1 6.
— + [у — ае (ху — 1)] — + (сер~а~+ Ье Н ) — = О. дх ду дх Интегральный базис и1 = — -1- 1 х Ег(х, Е = ехр[ —,(ах — Це Е х(хр — Ц,у ' [ аа па е Н2— — х, с=е ,1 сиз Р Ьи -~- Ь + се7 (т — с21егех71 )] — = О. дх с=е. р: Е = ехр[ е1' ~7~']. д-~- 7 див, Еи дто + 7 дто ауе + Ье + се дх др дх 1 Интегральный базис: нг = — — е 2. ахе — + 6уе — + схе в Еи див ,.
д дх ду д Интегральный базис: -Ь / Е ~ г(х, Е2 + / Ез 2(х, Е1 и1 = ' -Ь Е2 12х, р — пе и2 = + / Езгзх, Е2 г — Ь Е вЂ” 1'Е 4„ р — Ь 1'2 + / х Ез2(х, — з Интегральный базис: 'и1 ию — т. пиз -~- еи -~- Ь из = -у а/ ен'Ейх, 2 — СЕ7* — (у е и-Ь/у е Лиду)., ЬД вЂ” (л е 7 + / х е 7' на). 142 линваныг тглвнддния вилл Д(х, У, г) а„+ д(х, У, г) л, + Ь(х У г) в, = О ~ -1- '(Ье уг -1-аен ((г — аЬед +Л1 )) — + (сг ете+ д1г+ Ье т ) — = О. ах ау а Интегральный базис: ид = ад~ — х сюг -1-(д -~- г)ю х Ь с = ез*г, Е иг = ' -1- Ь / е'*'Еде, у — аел Г 2аь,,в,,! Е = ехр ~ е Š— . Интегральный базис,' ид = аи — х, и=с 'у, аиг + (Ь + а)ю -~- с иг= + ~ Ее д1х, Е в. г -~- де В"-,/ Интегральный базис: 1 1 из — 1 дг г — Ье" т 12.
х — + (аде у + )ЗУ + адЬдх ~е ") — + ах ау + (агх г е + (Ьгх е — гд)г+ се аид — = О. а Интеграньный базис: ид=агсдб — адбддд х е д1Х, из=уд — дд х е "дх, Ьдхл ./ / игхь Ч- / Частный случай уравнения 6.8.1.8 при зд(х) = аде " дг(х) = 6~е ", дд(х) дг(х) = Ьгелг = аге л а Частный случай уравнения 6.8.1.9 при уд(х) = адедд", уг(х) = Ьде"", дд(х) дг(х) = Ьгезг '. агедг ' 15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
