В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 24
Текст из файла (страница 24)
может быть записана в виде двух независимых уравнений: у', = а и з' = бх. Их общие решения дают интегральный базис 1 'з. (12) Ою Ою Ою 4. — + аг — + Ьу — = О. Ох Оу О Интегральный базис: (бу+ чгабг) ехр( — Габх) при аб>0, и! =Ьу — аг, иг = бусов(туг<об)х) + ~фаЬ| ха)п(чу<аЬ| х) при аб ( О. г г (1) Лотеротуро. Э. Камке (!966). 5. х +ау +Ьг =О.
О О О Ох Оу О Интегральный базис: иг = !х!'/у, иг = !х~ /г. !о) Литература: Э. Камке (1966). б. х +аг +Ьу =О. Ох Оу Ог Интегральный базис: !х~ " (Ьу — чгабг) при аб > О, иг — 'в г !х! ' ехр( — агссй ) прн аЬ(0. и! = Ьу — аг, ® Литература. Э. Камке 11966) 7. х — + (ах+ бу) — + (скх+ )зу+ ух) — = О. Ою Ою Ою Ох Оу О Частный случай уравнения 2.1.2.21 при а! = 1, ьг = Ь, яз = г. 8.
аЬх + (ау+ Ьг)(Ь вЂ” а ) = О, ау Интегральный базис: иг = ау а Ь, иг = х ехр(— ау + бг ) 9. аЬх + Ь(ау+ Ьг) + а(ау — Ьг) — = О. дтс О Ою Ох Оу Ог Частный случай уравнения 6.2,1.21 при яз = 1, яг,з = хчГ2. Интегральный базис: иг =(ау+(ъ2 — 1)бг]!х! г, и = <ау — (ьтйи-1)бг)!х! Частное решение: ю = агуг — 2абуг — Ьггг. 10. Ь су + а сх — аб(ах+ Ьу) = О, О, О О Ох Оу Ог Интегральный базис: из = ах+ бу+ сг, иг = а хг — бгу . 11.
сг — + (ах + Ьу) — + (ах + Ьу + сг) — = О. Ою Ою Ою Ох Оу Ог Частный случай уравнения 6.2.1.21, 1'. Интегральный базис при а ф- б: из=а †х в, иг = (асг Ч- (Ь вЂ” с)(ах -1- Ьу)г — (ах -1- Ьу) ~) ~+', 2асг -1- (б — с -1- р)(ах -1- бу! тле рг = 4ас+ (Ь вЂ” с)г ф О. 2'. Инте! рхзьный базис при а = б: /! 11 су — ах из = г — х — у, иг = (а(х Ч- у) Ч-сг) ехр[( — -Ь вЂ” ) 1. а с г — х — уз ® Лозоератяра: Э. Камке (!966).
132 линвнныа тгквнвния видя з (х, у, г) а + у(х, у., г) а, + Ь(х, у г) а, = О 1ЗЗ 6.2 уравнен)т, сиднри)сии)ие стененнме фунт)ии з Огл 2 Ою з 12. Ь сх — — а сх — + аЬ у — = О. дх Ор дх Часзный случай уравнения 6.2.1.21 при з) = — 1, зз = ф(1 + 19/3), зз = з (1 — 19/3). 13.
(х + а) — + (у + Ь) — + (х + с) — = О. д Ою д о Ор дх х -1- а р + 6 Интегральный базис.' иг =, из = ' з -)- с з -~- с Ою д Ою 14. 2Ьс(ах — Ьу) — — ас(ах — Ьу — сх) — — аЬ(ах — Ьу — Зсх) — = О. д* Ор Ох Частный случай уравнения 6.2.1.21 при з) = О, зз = 2, за = 4. 15. Ьс(у — х) + ас(х — х) + аЬ(х — у) = О.
Ою Ою д д Ор д Инз стрельный базис: и) = ах -1- Ьу -1- с, из = ахз Ч- Ьу' -1- сх . 16. 6с(ЬУ вЂ” 2сх) + ас(Зсх — ах) + аЬ(2ах — ЗЬУ) = О. д д дге Ох Ор Ох Инте)ральный базис: и) = Зал+ 2Ьу 4- сз, из = азха + Ьзу 4- сзз'. 17. 2Ьс(ЬУ вЂ” сх) — ас(4ах — ЗЬУ вЂ” сх) + ЗаЬ(4ах — Ьу — Зсх) Ою Ою Ою Ох ду Ох Частный случай уравнения 6.2.1.21. Интегральный б пнс) (Зах — 66у — Зсз) з и) = Зах — ЗЬУ вЂ” сх, и) = 2ах — Ьр — ск 18. (ах+ у — х) — (х+ ау — х) + (а — 1)(р — х) = О. Ою дю дю дх др Ох *"гней ' ' 2)2''" =О.. =ни) г)ц — )).0 интегралов: и) = х -1- у-> з.
Ои Литеритури: Э. Камке 11966) 19. 2Ьс(Зах — 2ЬУ + сх) — — 2ас(2ах дю Ох Частный случай уравнения 6.2.1,21 прн з) Интегральный базис: (2ах -1- 26у -)- ск) з и) = 2ах — 69 — 2сз (2ах .— 6у — 2сс)з из = ах — 26у 6 2сз 20. (Ах+ су+ Ьх) + (сх+ Ву+ ах) + (Ьх+ ау+ Сх) = О.
Ох др Ох Частный случай уравнения 6.2.1.21, где з — корень кубического уравнения (4 — а) ( — з) (С вЂ” з) — (а (А — з) + Ьз( — з) + с (С вЂ” з)] + 2абс = О. Ои Питеринори) Э. Камке 11966). дю д 21. (атх+ Ьту+ сгх+ г(т) + (азх+ Ьзу+ сзх+ г(з) + Ох Ор Ою + (азх+ Ьзу+ сзх+ г(з) = О, Ох регнсний вспомогательных алгебраических уравне- 6) с) 6) — з сз = О, 6 Внд интегрального базиса зависит от ний а) — а аа аз — ЗЬУ + Зсх) — + дгю др дю + аЬ(2ах — 66У + 11сх) — = О. д = ЗаЬг„зз = бабе, зз = 18абс. 134 линваныв твввнвния вилл У(х, у. 2) л + д(х, у г) в, + Ь(х, у г) в, = О < аид + Диг + уаз = сдв, ,Ь, и- ОЬг и- УЬз = дз, ас2 -1- Дог -1- 'усз = "уа, (2) и величины коэффициента Р = аг)! + ~Я2 + удз. (3) Сначала находят корни в кубического уравнения (1), зачем соответствующие решения а, Д, 3 линейной системы (2). Далее вычисляется коэффициент Р (3).
Возможны следующие случаи, !. Если в = Р = О, то один из интегралов имеет вид ид = аг -~-Ду -6 уг, а второй можно получить, используя преобразование, указанное в разд. 6.1.1-2. 2. Если уравнение (1) имеет лва отличных лруг от лруга и от нуля корня зд, зг, то из системы (2) найдутся два набора чисел ад, )32, ть (Ь = 1, 2) не равных нулю одновременно в каждом наборе, и один из инте!разов будет !. д у .!. у 2 !.; у ~З )'г (4) и! = ( д*ьдгрхтг +Рг!аг)ч 3. Если уравнение (1) имеет три различных корня яд, зг, аз не равных нулю, то интегральный базис имеет вид (о!хл-уу,у-г удгЧР2/зд)'г (о!хи-дддж удг+Р2/з!)'2 и~ —— , из= (гдгз 4 дгд 4722 ! Ргузг) ' (озг ' дзд+чзг+ Рз!зз) ' Если имеются кратные или нулевые корни, то можно взять иь ф сопя! и использовать преобразование, указанное в равд. 6.1.1-2.
© Лиимраттра: Э. Качке (!966). 6.2.2. Коэффициенты уравнений квадратичны по х, у, х Оде 2 дю г Ою 1. + (адху+ Ьдх + сдх) + (агху+ Ьгх + сгх) = О. Ох др Ог Частный случай уравнения 6.8.!.4 при 12(х) = адт,, уг(х) = Ьдхг -1- сдт, дд(х) = агх, дг (х) = Ьгхг + сдх. д 2 Ою г дю 3. — + (адху+ Ьдх + сдх) — + (агуг + Ьгу + сгу) — = О. Ох Ор Ог Частный случай уравнения 6.8.2.2 при уд(х) = идх, уг(х) = Ьдхг + сдх, д2(у) = игу, дг(у) = Ьгр -1- сгу. 4.
— + (адху+ Ьду ) — + (агхх+ Ьгх ) — = О. дю г дю 2 дю Ох др Ог Частный случай уравнения 6.8.!.8 при Ь = т = 2, уд (х) = а 2х, уг(х) = Ьд, дд (х) = агх, дг(х) = Ьд. О а +хх — ху О др д Интегршдьный базис: 2 . (Х 2 д , х' ид = у + г, и2 = уйп( — ) +гсов( — ). д 2а 2и В качестве второго инте!рала можно использовать также функцию иг = хг+2а агстб(гу'р). Оь Лилмратгра: Э. Качке (!966). 2. + (адху+ Ьдх + сдх) + (агхх+ Ьгх + сгх) = О.
О ,2 Ою 2 дю Ох Ор Ог Частный случай уравнения 6.8.1.5 при уд(х) = идх, уг(2) = 6~хг 4 с1 х, дд(х) = игх, дг(х) = Ьгхд + сгх. 6.2 Уравнения, еилерггеащие сигеиеииые функции Ою Ою , О 6. сх — +ср — +(ах +Ьр ) — =О. Ох Ор Ох Интегральный базис: нг = ахг -1- Ьр — 2сг, и = р,)х. о дю дю сх — — а(2ах — Ь) р — + а(2ах — Ь) х — = О. Ох Ор дх Интегральный базис: иг = ра, нг = ах(ах+ Ь) — сх. г Ою Ояо 2 2 дю 8. асх — асхр — Ь р = О. Ох Ор о Инте!ральный базис: и! = хр, нз = Засх)гх — Ьгрз. здю зонг адю 9. ах — +Ьр —, +сх — = дх др дх Любые дие функции (из трех) 1 1 и! = — — —, бр их' образуют интегральный базис.
Ов Лиогеритури; Э. Камке (1966). О 1 1 иг = — — —, сг бр 'из = — —— их сг 1О, абх — + сх — + 2аЬхх — = О. здю здю Ою 0 др Ох ха сег Инте! ральный базис: иг = —, нз = Ьр— Зих ,г О, О,,д " о* " ор " о* г г г г брфсг Интегральный базис: нг = Ь р — с х, не = 13. хр + р(р — а) + х(р — а) = О. дю Ою о Ох Ор Ох р р -и Интегральный базис: и! = —, иг = ' г х Ои Литероогури: Э. Камкс (!966). 2 Ояо о дю 14. Ьр — — ахр — + схх — = О. Ох ор Ох Интегральный базис: нг — — ах + бр, иг = риг'.
15. схх + 2ахр — (2ах + сх)х = О. Ою о дю Ох Ор дх Интегральный бгаис! и! = х(ах -1- сг), нг = хре. Ояо дю 16. ахх + арх дх ор + Ьхр дю дх р нг= — ', из= х' О. аг — Ьхр. г Интегральный базис: Ою О 17. схх — срх Ох Ор Инте!ральный базис: Ояо Ох 2ах -1-Ьрз + сх . + (Ьрз — ах) нг=хр, иг= + (ах + Ьрз Ою Ою 18. схх — — срх— Ох Ор Интегральный базис: Ояо ) — =О. Ох г г,з ах — Ьр — с и!=ар, не= 11.
Ьсхр + а сх — Ьр(2ах+ сх) = О. 0,,0 дю дх Ор дх Интегральный базис: нг —— а х — Ьр, нг = х(ах + сг). г 136 линвяныв твввнвния вндл ((хэ р. г) е + д(х, р. г) е"' + 6(х, у, г) в, — — О а а г г 19. хх — + уг — + (ах + ау + ах ар 6х ) — =О. О а о(х -!- р ) -1- (Ь вЂ” Цг р Интегральный базис.' ил = —, иг = ® Плллперпплура: Э. Камке !19661 (гг !.
рг)ь Ою Ою г г г Ою 20. 2схх — + 2сух — + (сх — ах — Ьу ) — = О. а* ду дг охг + Ьрг .Ь сгг о,г .1. Ьрг !. с,г Интегральный базис: ил = ', иг = х р 21. Ьсух + асхг + аЬху = О. а дю Ого о Ор о Интегральный базис.' ил = ах — Ьр, глл = сг — Ьд . г г г, г 22. Ьс(х — а ) — + с(Ьху + асг) + Ь(схг + аЬу) — = О. , а а а Ох ар а Ьр -1- сг Ьр — ллг Интегральный базис: ил =, ил = г — в х-~-о (19 Лпюгдпмида, Э.
Камке 3966), 23. Ьх(бу + с) — + (Ь у — асх) — + Ь ух — = О. дил г Оил г дю Ох др о ох — с ! ох -~- Ьр Интегральный базис: ил =, иг = + 1п~ ох-!-Ьу' пхибу х 24. х(Ьу — сх) + у(сх — ах) + г(ах — Ьу) = О. Ою О Ого а Ор а Интегральный базис: ил = ах -1- Ьу+ сг, иг = хуг. 25. а(у+ !3)(х+ у) — — 6(х+ ск)(в+ у) — — с(х+ сг)(у+,3) — = О. дил дю Ою Ох Оу дг Интелральный базис: ил = Ь(х Ч-а)г+ а(р-Ь О) .
иг = с(х+ ге) -1-а(г -1- 1)'. 27. а(у + х ) + х(Ьх — ау) — х(Ьу+ ах) = О, г г Вю влю а а др Ох Интегральный базис: ил = хг -Ь рг -!- гг, иг = 2а вгсьб(рллх) -!- 6!н(уг -!- гг). (и) Пплпедплпура: Э. Квмке (1966). 28. 6(Ьу+ сг) — ах(Ьу+ 2сг) + абхх = О. Ох др Ог Интегральный базис: ил = г(бу -1- с ), иг = атг -1- Ьгрг — сггг. (Уох — )г ) +(~ау — ~~) +(~ох — Рв) = О, )'„= а„+Ь„х+с„у+с(„х. дю дгп а Ох Ор а Уровнеплле Хассе (и, = О, 1, 2, 3). Введение однородиык координат х = бллт, р = г1)т, г = б(т приводит к уравнению с линейными козффиднентами, но с четырьмя независимыми переменными для функции ил = лп(т,б, г1,6): 29 де де де де до — +дл — +дг —,+дз — =О, дт дб ди дь где д, = о,„г + 64 -!- су+ д,ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
