В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 29
Текст из файла (страница 29)
2а 2Ь 2с а ою ою ою о ар ро Общее рсшение: ю = — сх -г вх -г Ф(н|, ня), глс |,2 (бр+ д|гаЬ 2) схр( — угабх) при аЬ>0, и| = Ьр — а2, и| = Ьрсов(ЯаЬ~ х) Ч- 222)аЬ~ 2В1п(тгг1аб~ х) прн НЬ ( О. у 3. + (адх+ ао) + (Ь|х+ Ьо) = гдх+)др+ 7Х+ б.
0|н 0|а Ою Ох др о Чнстный случнй уравнении 7.8.1.1 нри )(2|) = и|х -1- ао, д(х) = Ь|х Ф Ьо, 6|(х) = 13, 1|д(х) = 71. Ьо(х) = ах -~- б. Вю Оп| Оп| 4. — + (аяр+ адх + ао) — + (Ьяу+ Ь|х + Ьо) — = сор+ с|в + сох+ в. о вр о Частный слУчай УРВвнсннЯ 7.8.1.4 ИРи 72(х) = аъ 72(х) = а|х Ф ао, дд(х) = Ьг, д (х) = Ь|х Ф Ьо, Ьд(х) = сш Ь~ (х) = сд, Ьо(х) = сох+ в. дю дю дю 5. — + (ар+ 1е|х+ (ео) — + (6Х+ вдх+ во) — = с,х+ со.
дх др а Частный случай уравнения 7.8.1.3 прн 7(х) = Ьдх -1- Ьо, д(х) = в|х -1- во, Ь(х) = с|х -~- со. ах +Ьр +ох =сдх+)Зр+ гх+б. Ою дю Ою Ох Ор ОВ а д .г б 7 р" Общее решение: и| = — х+ — р+ — + — 1221Х~+ Ф~ ь,, ). и Ь с и ( ~х~ь' ~ ~ )' о о а х — +ах +Ьр — =с. Ох Ор Ох Общее решение: ю = с1п 1Х~ + Ф(п|, иг), где 1х! 'Л(Ьр — ~/аЬЬЕ) при аЬ>0, 2 2 и| = Ьд — ая, 'ид — ь г уг — иод 1х! " Нхр( — Иге|8 ) при НЬ ( О. Ьр абх + Ь(ар + Ьх) + а(ар — Ьх) = с.
Ою Ою о Ох Ор Ох г Общее решение: ю = — 1п1х~ + Ф(и|,ая), где аЬ и| = [ауе(ъ'2 — 1)ЬЕ))х), п| = (ар — (ъ'2-|-1)ЬЕ))х! Частное решение: и| = — ' 1п 1Х) + Ф(идрд — 2абре — 622'). ао Ою Он| Ою (а|х + ао) — + (Ь|Р + 6о) — + (сдх + со) — = сдх + )ЗР + ух + б. Ох Ор о 1'. Общее решение при а| Ьдс| ф 0: О 7 1 У пио вод| чсо д нд = — х Ч- — р -~- — 2 Ф вЂ” (б — — — — — — ) 1п~а|х -1-ао~ -|- и| Ь| ' с| а| и| Ь| сд Г (Ьдд-~-Ьош;Ьддтьо~'д ~ (ид:г ч- ио | )с|2 + со~ | 7.2 Уравнения, сидерзгсаиггге енгененные Фуннгдии 2'. Общее решение при адЬд ~ О, сд = 0: 2 1 7 а"о Взо 3 7 !Ьду -! Ьо!" и — згей — — — — !Ь,уч-Ь,~" '-).
ад Ьд 2со со ! ад Ьд .) ( !адх-~-ао!гч 3'. Общее решение при ад ф О, Ьд = сд = 0: 55 г 'т 2 1 7 и"ао 1 зп — "до ю = — х -1- — !5 -'; — з -1- — (б — )з Ч- Ф(~!адх+ ао( 'е ', соу — Ьоз). ог 2Ьо 2со со а, 4'. При ад = Ьд = сд = 0 см. урввненис 7.2.1. !. 7.2.2. Коэффициенты уравнений квадратичны по х, у, х а — +6 — +с — =ах +,Зу +-52 +б. Вю ддо дю 2 2 2 дх Ву Вх а з д з .5 з Общее решение; ю = — т' + — у -1- — у + — х -1- Ф(Ьх — ау, су — 62). За ЗЬ ' Зс а ддо 2 дю г дю + (адх + ао) + (Ьдх + Ьо) = сдх+ 5Зу+ 52+ б. дх ду Вх Частный случай уравнении 7.8.1.! при 7(х) = адт + ао, д(х) = Ьдх + Ьо, Ьг(х) = 53 Ьд(х) = '7, !до(х) = ах + б.
в 2 дю ,2 ВЮ 2 3. + (ау+ Ьдх + Ьо) + (Ьх+ ядх + яо) = сдх + со. в ду дх Частный случай уравнения 7 8.1,3 при 7(х) = Ьдхе -! 5со, д(х) = вдхг 4 во, 1д(с) = сгхг 4 со. дю дю 2 дю 4. — + (паху+ адх +но) — + (баху+ Ьдх + Ьо) — = сгу+сдх+ сох+ я. дх ву дх Частный случай уравнения 7.8.1.4 при Зд(х) = агх, 72(х) = адхг Ф ао, дд(х) = Ьгх, дг(х) = Ьдх + Ьо, Ьг(х) = сг, Ьд(х) = сд, Ьо(х) = сох-1-я. ддо дад дю ах — + Ьу — + сх — = х(ах + 5Зу + 72). дх ду Вх 1'. Общее решение при Ь ф- — а, с ф — а: ю = — х + ху+ хз+ Ф(гс!у! ", х!2( ' е).
и» г В 2а а -!- Ь а -!- с 2'. Общее решение при Ь = — а, с ф — а: иг = — х(ах+ 255У!п(х() + ' тз+ Ф(ху, х)з! '5е). 2а ' а-!-с 3'. Общее решение при Ь = с = — а: 1 ю = — х(ах+ 2(55у+ уг)!и!х!) -1-Ф(ху,х ). 2а 2 дю ддо дю ах — + Ьху — + схх — = ах +,Зу + 72. дх Ву дх 1'. Общее решение при Ь ~ а, с ф а: В!у ю = — 1и !х( + — ( -!- ) + Ф (х)ду! ' , х(з( " '). 2'. Общее решение при Ь = а, с ф а: ю = — 1п!х)+ — ( — 1п(х!+ ) +Ф( —, х! ! "е). 3'.
Общее решение при а = Ь = с: !а,:с 72 хт пд = ' ' (ах 4-55у+72) -~-Ф( —, — ). ах у липеиппш хггенгния пиля 11 и, +.6 и -1 12 й. = У 1 = 1 (х:У г) 10О 2 Вгп в,а 7. ах — + Ьху — + сх — = 1су . ох ау а 1'. Общее решение при а, ф 2Ь: ю= +Ф(ху, — — — ). (2Ь вЂ” а)х ' х 2'. Общее реп!сине при а, = 26: +ь а + ах +Ьу +ох = уху. о* ву в Ьху 1ах ГЬ а г а! Общее решение: ю = 1п~ — Ф Ф( — — —. — —— ах — бу у х у х 9. ах — + Ьу — + сх — = сгх +,Зу + тх . 2 Вгп 2 агп 2 Вгп 2 2 2 ах ву ах о 19 7 Гб а с а! Общее регнение: и = — х Ч- — у + — г -1- Ф ( — — —, — — — 1.
а 6 ' с г у х 7.2.3. Коэффициенты уравнений содержат другие степени х, у, х ьа +а +Ь = хух. ау Общее решение: ю = —,х уг — Зрх (а Ч- Ьу) Ч- — „аЬх + Ф(у — ах, г — Ьх). 1 2, 1 3 1 -1 2. а +Ьа + а" =Ь.+ вх ау вх г з Общее решение: щ = — х + — у + Ф(бх — ау, сх — аг). еа За о о в 3. а — + Ьу — + ох — = ух+ еггх. вх ву вх Общее решение: т = — хг -1- — гхщ~ + Ф()у1~с *,121'е г*). 2а За Общее решение: щ = 2 схг12-пах -1-Ф(иг,иг), где (Ьу+ пгаЬ ) ехр( — ъ'абх) при аб)0, и1=Ьу — аг, иг= ЬусоеЯ<аЬ| х) -1- уг)аб) г юп(;у<аЬ| х) при аЬ ( О.
2 5. ах + Ьу + сх = 1схух. ,аш пах яаш ах ау а Общее решение: Г! 1 1 1 и1 = п1п(х, у, г) + Ф ~ — — —, — — — 1, ах Ьу ах сг где шо = юо(х, у, г) час!нос решение, ко!орое определяется по формуле ах 1п(ах) бу1п(бу) су1п(су) пгп = бахус + + (ах — бу)(ах — сг) (Ьу — ах)(бу — сг) (сг — ах)(сг — бу) 1 7.2 Уравнения, соаерасохое снкненныв Фунаднн 7.2.4. Коэффициенты уравнений содержат произвольные степени х, у, х Общее решение: ид = хо -1- ух + г ' + Ф(Ьх — пд1, сх — о,г).
а(п -1- Ц Ь(гп -1- Ц с(Ь -1- Ц дю д 0 2. а +Ьу +сх =сдх" +)ду + ~х . дх ду дх Общее решение: ю = х"~ -1- — у'" 4- — г + Ф([у)'е ",1г~ е "). а(п -1- 1) Ьгп сй д дю дю +ах +Ьу =ох". Ох др дх Общее решение: ю = хот + Ф(ид, .пг), где п41 д 2 (Ьу+ ъ'абг) ехр( — ъ'абх) при аЬ)0, и1 = Ьр — аг, иг = Ьусов(лгу[об)х) ч- дугг[аЬ| хв1дд(луг[аЬ~х) нри аЬ < О. х У 0 дю дю 4. ах +Ьу +сх =ах +Ьду +тх 0 др д Общее решению и = — хо + — у'" -1- — 2 + Ф ( д* ° з д 7М' Ф д ап Ьдп сЬ 1х1ь 1х!о ь х +ах +Ьу =сх". др с Общее решение: ю = — х + Ф(ид, иг), где ид =Ьу — аг, нд = 2 [х~ 'ь(Ьр — ъ'аЬЬг) при аЬ)0, 2 2 ду — оЬ 2 [х! " ехр< — вхс18 ) при аЬ < О.
Ьр Ою дю дю б. аЬх + Ь(ау+ Ьх) + а(ау — Ьх) = сх дх др дх Общее решение: ю = х" 4- Ф(и„иг), где аЬп ид = [ар+ (д72 — 1)Ь2) 1х(, иг = [ау — (д72+ 1)Ь ) 1х! с д д Частное решение: ю = х + Ф(а р — 2аЬув — Ь г ). оЬп 7. дю + дю +1 ун лддо ь дх ду дх Общее решеаие: с дед х при Йф — 1, ю = Ф(ид, иг) + Ь 41 ( с1п[в~ при Ь = — 1, где ид, иг . — интегральный базис однородного уравнения 6.2.4.!. — + (адх 'у+ Ьдх ') — + (агх 'у+ Ьгх ') — = сгх 'у+ сдх 'х. 0 др дх Частный случай уравнения 7,8.1.4 при 72(х) = а1хо', 72(х) = Ьдх ', д~(х) = адх"', дг(х) = Ьгх"", Ьг(х) = сгх ', Ьд(х) = сдх"', Ьо(х) = О.
— + (адх у+ Ьдх д) — + (агх™х+ Ьгх ) — = сгх у+ сдх х. дх ду дх Частный случай уравнения 7,8.1.5 при 7~(х) = а~х"', 72(х) = Ьдх ', дд(х) = адх"2, дг(х) = Ьдх 2 Ьг(х) = сгхдг Ьд(х) = с|хдд, Ьс(х) = О. 11 В. Ф Завпев, А Д Поняиии линвйвыв яооонения Вилл 7| о + (| о г |в в д ! ! (х у в) 162 1О. ю -1- (а|х у+ Ьту") — + (аях ох + Ьях™) — = сх . а ар а Частный случай уравнения 7 8.1.7 при 7|(х) = а|х"', г|(х) = Ь|, д|(х) =а|х"', д|(х) = Ьо, Ь(х) = сх'. 11.
+ (а|х |у+ Ь|у") + (аяу ох + Ьгх ) = с|х" + сгу Я. Ох др о Частный случай уравнения 7.8.3.6 при 7|(х) = а|х"', 7о(х) = Ьг, д|(х, р) = а|у"', д|(х, у) = Ьш Ь(х, у, х) = с|хи Ф с р' . а* " ор " ах Общее решение: и| = Ф(и|, и|) Ч- и|о(х), тле и| = —, иг = ат(х'-'+ у| —, юо(х) = т ' ' з..| о( —,й о„оп! о в дю Вх др Ох Общее решение: ю = Ф(и|, |н) -6 юо(х), |ле .,=(а( — О,т,„* °, |...|с|=((|"!' (61п(х( при и = О.
7.3. Уравнения, содержащие экспеиеициальные функции 7.3.1. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные функции 1. — +ае — +Ье — =се Р дю 7 дх Вр дх Частный случай уравнения 7.8.!.1 при 7(х) = аел, д(х) = Ьео*, Ьо(т) = О, Ьг(т) = О, Ьо(х) = се'*. 2. — +ае ' — +Ье — =се +яе д|с Л.О Ряаю дх ву дх Частный случай уравнения 7 8 3 5 при ~!(х) =О, Ях) =ае " д|(х у) =О.до(т;у) =Ьг' "* Ь(х, р, х) = се '" + яел". -1- (А|е ' + В,е"' т"я) + (Аяе ' + Вяе"'"+ ) = 7се~ Ох Ор дх Частный случай уравнения 7.8.1.9 при 7|(х) = А|е '*, уо(х) = В|е"", д|(х) = А|е '*, д|(х) = Вве '*, Ь(х) = 1|е".
5. ае — + Ье — + се — = (се .а па а ., Вю л ах ар дх Общее решение: Ьс(л — |. + ю Ф(и|, и|) Ф(и|, и|) при Л ~ а, о(Л вЂ” а) и + — х о ,-и — — е + Ьо при Л = а, .в„ гле и! = — — е "-1- — е ', и| = аа 63 1 — || с7 3. — +ае — +Ье — =се +яе дю ли Ои| Пи дю | н* дх, Ор о Частный случай уравнения 7.8.3.9 при 7|(х) = О. Ь(х) = а* д|(о: у) = Ье * У|(х у) = О. 1|(х, у, в) = се ' -1-аг."', 7.3 Уравнен~и епдергкпнгнй экгппнннянпгннын грункяни ае — + Ье — + се — = (се н„ а . о ,. а ох ар Ов Общее решение: егп дх ЬД,! е *шайи 6 ,у при Л~о,Л~О; Ф(иг,из) Ф Ф(иг, из) + при Л=офб; при Л=О, Ф(иг, иг) — — е 6 сг 1 1 Вн Др — ох гле иг = — — е -1- — е, иг = йа Ьа ' Ьде" — асеан рассматривается как параметр. 7 — е .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
