В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 32
Текст из файла (страница 32)
ди| Ои| в а + Ьагсяп (Лх) + сагсяп (!Зх) = вагсвш (тх). вх ду Ох Частный случай уравнения 7.8.2.3 при 7|(х) = а, 7|(х) = 6атсяп" (Лх), 7з(х) = 1, 14 (х) = в атсв|п (7х), д(у) = 1, 6 (я) = с зхсв|п у! з). о в дю а + 6агсяп (Лу) + сагсзш (1Зх) = в. Ох ду дх Частный случай уравнения 7,8.2, ! при Дх) = а, д(у) = 6 атстй" (Лу), 6(з) = с зтсв!п" ((!з), Р( ) = * |и'(У) = Л(х) = О. 3. 7.7.2. Коэффициенты уравнений содержат арккосинус д|е ди| ди| я 1. — + а — + 6 — = с атосов (Лх) + в. в* ву о Общее решение: ш = Ф(у — ах, з — Ьх) -!- с / атссоя" (Лх) |1х + вх.
о в в а! + аз + аз = Ь! агссов(Л|х) + Ьз атосов(Лзу) + Ьз атосов(Лзх). дх Оу Ох Частный случай уравнения 7.8.2.! при Дх) = а|, д(у) = а|, 6(з) = аз, тз(х) = Ь| атссоз(Л|х), Ф(тд) = Ьз атссоя(Лзу), Л(з) = Ьз атосов(Лзз). Ои| Оит в а + 6 + с атосов (Лх) атосов (!Зх) = в атосов™ (тх).
вх ву дх Частный случай уравнения 7,8.2.3 при 7т(х) = а, 7з(х) = 6, 7з(х) = сагссов" (Лх), 74(х) = запхав (7х), д(у) = 1, 6(з) = атосов '(Дз). ви| в в + Ь атосов (Лх) + с атосов (!Зх) = в атосов ( ~х). Ох ву в Частный случай уравнения 7 8 2 3 при 7т(х) = а, Ях) = Ьатссов" (Лх), 7з(х) = 1, уз(х) = ватссоз (тх), д(у) = 1, 6(з) = сатссовз(|Зх). дш в Ои| а + Ь атосов (Лу) + с агссов (!Зх) = в. дх ву дх Частный случай уравнения 7 8 2.! при 7(|т) =а, д(у) =Ьатссов" (Лу), 6(х) = сатссоч" (Вз), |л(х) = в, ю(у) = г(з) = О.
3. 7.7. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции 7.7.1. Коэффициенты уравнений содержат арксинус в, в о 1. — + а — + 6 — = сагсвш (Лх) + в. дх ду Общее решение: и| = Ф(у — ах, - — Ьх) + с / атсв!пз(Лх) |!х+ ах.
173 7.8 Уравнения, еодерлеащие ирошвольньье ф> иинии 7.7.8. Коэффициенты уравнений содержат арктангенс дю Ою Ою и 1. + а + 6 = сагсяК (Лх) + я. дх др дх Общее решение: ю = Ф(р — ат.. .г — Ьх) Ф с / агсзк (Лх) бх -~- вх. ь о о о 2. аз + аз + аз = Ьт агсяК(Лдх) + Ьз агссК(ЛзР) + Ьз агс18(Лзх). О Ор О Частный случай уравнения 7.8.2.1 при )(х) = аы д(р) = аг, 6(г) = аз, ю(х) = Ь! агс18(Лгх), р(д) =- Ьг атстк(Лзр), г(г) =- Ьз агст8(Лзг). Оа~ дю Ою 3. а + Ь + Сагсзв (ЛХ) агсзК ()ЗХ) = вагсяК™( уХ). дх Ор Ох Частный случай уравнения 7.8.2.3 при 74(х) = а, 74(х) = Ь, 7з(х) = сагеэк" (Лх), 74(х) = вагс18 (тх), д(р) = 1, 14(г) = атс18 (ьдг).
д О и дю 4. а — + 6 — + сагссК (Лх) агсЬК ()Зу) агс18 (тх) — = в. дх др дх Частный случай уравнения 7.8.3.2 при Дх,р) = сатс18"(Лх)агстк"'(рр), д(г) = агст8 ( уг), 6(х, р) = я. Ою дю дю 5. а — + баггов" (Лх) — + сагсГК (Дх) — = вагсСК™(тх). Ох Ор о Частный случай уравнения 7.8.2.3 при 74(х) = а, 7з(х) = Ьнгс18" (Лх), уз(х) = 1, 74(х) = чагс18 (тх), д(р) = 1, 6(з) = еагг18 (43 ).
7.7.4. Коэффициенты уравнений содержат арккотангенс Ою дю Ою ь 1. —, + а — + 6 — = с агсс18 (Лх) + в. Ох Ор Общее решение: ю = Ф(р — ах, - — Ьх) + с / агсстк" (Лх) бх + ях. о о о 2. аз + аз + аз = Ьт агссзК(Лтх) + Ьг агссяК(Лзу) + 6з агссзв(Лзх). дх др дх Частный случай уравнения 7.8.2.! прн 7(х) = аь, д(р) = аг, 14(г) = аз, 'Р(х) = Ь, агсс18(Лзх), Ф(р) = Ьз агсечк(Лз р), Л(г) = Ьз агсс18(Ляг). Ою Ою д 3.
а — + 6 — + сагссзК (Лх) агссзК (,Зх) — = яагссзК ( ~х). О др дя Частный случай уряннения 7.8.2.3 при 71 (х) = и, 7г(х) = Ь, 7з(х) = с агсс18" (Лх), 74(х) = вагсстй'"(тх), д(р) = 1, 6( ) = агсськ (ьгг). О д Ою 4. а + Ь + с агссзК™ (Лх) агссСК (43р) агссзК (тх) = в. О др Ох Частный случай уравнения 7,8.3.2 при 1(х,р) = сагсс18 (Лх)агссгк (ьур), д(г) = = агсс18 (тг), 6(х, р) = ч.
дю д Оте 5. а + Ь агссСК (Лх) + с агссСК (Дх) = в агсс18 (тх). Ох др дя Частный слУчай УРавнениЯ 7.8.2.3 пРи 7~(х) = а, 7г(х) = Ьшссткн(Лх), 7з(х) = 1, 74(х) = в агсс18"'(7х), д(р) = 1, 6(г) = с агсстк~(Дг). 7.8. Уравнения, содержащие произвольные функции 7.8.1. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции х > д равд. 7.8О нногди будет уназывиться ньольно частное решение ю рассльатриваелюго неоднородного уравнения и базис ин иг соответствующего однородного уравнения.
Общее решение расемаглривае ного уравнения дается фориучо41 ю = й~ -1- Ф(из, и ), где Ф(из, иг) произвольная фуниния двух нереиенныз. 174 линвнныв тгквнвния ви»»к з» з" + зг о + сз о. = д* с = с (х у х) со» до — + 2" (х) — + д(х) — = Ьг(х)У + Ь»(х)х + Ьо(х). Оп» Ою Ою Ох ду Ох Общее решение: ю = Нг(х)д+ Н»(х)г Ф Но(х) — / з(х)Нг(х) с!х — / д(х)Н»(г) сЬ: + Ф(и», иг), где Н»(х! = / 6»(х) с!х (6 = О, 1, 2); и» вЂ” — у — / у(х) с1х, иг = г — / д(х) »1х. " + ахну+ а) дю + 9(х)(х+ Ь) Ою = 6(х).
Общее решение: ю — / 6(х)дх+ Ф(п», иг), и» = !п [у+ и~ — / у(х) с!х, иг = !п )с+6! — / 9(х)с!х. — + (ау+ ((х)] — + (6х+ д(х)) — = Ь(х). дю дсо дю дх ду дг Общее решение: ю = / 6(х) с»х+Ф(и», из), и» = уе ' — / Д(х)е Ох, иг = хе — / д(х)е сзх. + [У»(х)у+ Ь(х)] — + [9»(х)у+дг(х)] — = Ьг(х)у+6»(х)в+ Ьо(х). дх Оу дх Частное решение: »о = д»(х)у+»о(х)г+ / [Ьо(х) — уг(х)д»(х) — дг(х)»л(х)] с(х, 1о(х) = Г(х) / г ' с1х., Ус(х) = / Ьы(х) с!х, Г(х) =екр[ — / у»(х) с!х~]. Г(х) Интсграпьный базисны иг соответствующего однородного уравнения см.
в 6.8.!сй + [~»(х)у+юг(х)] + [9»(х)х+дг(х)] = Ьг(х)у+6»(х)к+Ьо(х). Частное решение: й» = Зг(х)у Ф Ф(х)г+ /[Ьо(х) — Ях)У(х) — дг(х)8»(х)] с!х. у(х) = Г(х) / ~ с(х, Г(х) = екр~ — / 1»(х) с!х~, ь»»(х) = С(х) /,' с(х, С(х) = екр~ — / д»(х) с(х~. Интегральный базис и», иг соответствующего олнородного уравненив см, в 6.8. !.5. + [Уг — аг + аЛ вЬ(Лх) — а вЬг(Лх)] + з (х) вЬ('ух) = 9(х). Ох ду дх Общее решение: ю = / д(х) с!х -Ь Ф(и», иг), где 1»г Е Г, Г2о и» = / у(х)с!х — — 1п 16 —, иг = ' + 21 Ес!х, Е = екр[ — вй(Лх)]. 2 ' у — оси(Лх) ./ ' [ Л + [з»(х)У + .»г(х)У ] — + [9»(х)х + дг(х)х ] — = 6(х). дх Оу дх 1'. При 6 ~ 1, и» ф 1 преобразование 6=у, г1=г, Ис=ю — /6(х)сзх приводит к уравнению вида 6.8.126 дм' д14' д»»с — -Ь (1 — 6) [зс» (х)б Ф ~г(х)] — -Ь (1 — и») [9» (х)г! Ф дз(х)] — = О.
дх д( »ЭН 2*. При 6 ф 1, ш = 1 преобразование 6 = у' г', И' = ю — / 6(х) с!х также привалит к уравнению вила 6.8.1.5. 3'. При 6 = »и = 1 см. уравнение 7.8.1.5. 7.8 Уракнен(и, содержащие нро)окольные Я нк(рщ 8. — + [Ут(х)у +,6(х)у ] — + [дг(х) + дг(х)е ] — = Ь(х). Преобразование 6=у, )7=с ', И =щ — /Ь(х)((х приводит к уравнению вида 6,8.1.5: дИ" ди дИ» дх Ч- (1 — Ь) [~)(х)б Ч- ~г(х)) — Л[д)(х)У Ф дг(х)], = О, д( дп 9. + [Ут(х) + Уг(х)е "] + [дг(х) + дг(х)е *] = Ь(х). Преобразование 6 = е ", и = е, И' = щ — / Ь(х)((х приводит к уравнению вида 6.8.1.5: дИ' дИ' дИ' дх Л[7) (х)С + тг(х)) )3[д((х)о + дг(х)] = О, д( д») 7.8.2.
Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции разных переменных 3( ) о +д(у) о +ь( ) о ='р(х)+'рЬ)+х(х). Общее решение: го = ((х -1- (1у Ф Нг -~- Ф(и(, иг), у д(х) у у(у) / »(г) где 3"( ) + у +УЬ) о, — ь.( )+ь (У) Общее рс(пению с(х + ( + Ф(и), иг), ».,га()-' () —..* (' » т) /'т» 1 аэ где дг о(~) — 1 ~(~)к " = о()) — —,, + за(х)Ь(г) 34(х). 4.
+ [Ут(х)У+ Уг(х)) + [дт(х)х+ да(У)] = Ьг(х) + Ьг(У). Частный случай уравнения 7 8 3.5 при дг(х» у) = у)(х), дг(х) У) = дг(У)* Ь(х У г) = Ь((х)Ф Ьг(у). 5. д + [И, )у+Ь(х)у"] — "+ [у.(у) +д Ь) ) — =Ь (х)+1 Ь) Ох ду дх Частный случай уравнения 7.8.3.6 при дг(х. У) = д)(у), дг(х, у) = дг(х), »(х,у, г) = Ь((х) -~- Ьг(у).
3. ут(х) + уг(х)д(у) Общее решение: щ= 1 ОхФФ(иг,иь), / 14(х) 7((х) Ых) уЬ) ' 7,(х) х»( ) — +лог~ +лоза.' =д* Л=Л(туз) 178 — + [уз(х)у + уг(х)у 1— Ох Оу Частный случай уравнения 7.8.3.7 => ( )+6 Ь). + [уз(х) + уг(: )е "1 Частный случай уравнения 7.8.3.8 = Ь (х)+> Ь). + [Х ( ) + У (х) "") Частный случай уравнения 7.8.3.9 = Ьл(т) Ф Ьг(у). + [дл(х) + дг(у)е ) — = Ьл(х) + Ьг(у). при дг(ход) = дл(х), дз(х, у) = дл(у), 6(х, у, г) + [дл(у)х + дг(х)х") = Ьз(х) + Ьг(у). лори дл(хо у) = дл (у) дг(х у) = дг(х) 6(х у ) + [дз(х) + дг(у)ее*1 = Ьл(х) + Ьг(у). при дл(х, у) = дл(х), дл(х, д) = дг(у), 6(х, у, я) 1 ля / а(л — у) Общее решению ю = Ф(ил, ил) Ф вЂ” ) д(х Ф ., $) лй, глс л" о Л а(Л вЂ” у) ил = Ьх — иу, ил = Ьг — ул 7'(х+ , е) ллл, уо — любое.
оо 6 + Ь „ + У( у)д( ) О, = 6( у). л а(л — у) Общее решение; ю = Ф(ил,иг) -~- — л 6(х-~-, Л) л]Ь где л" лзл Го .Г а(л — у) ил = Ьх — ау, иг = 6ул — ул у(х -Ь , е) лЬЬ, уо любое. /д(.) А, ~ 6 Ою Ою Ою * — +у — +( +Х(х,у)] — =д( у) Ох Оу Ох Л'о л' хл х лЛл Общее решение: ло = Ф(ллл, ил) -~- ( д( —, С) —, где ил = —, и = —" — зл л" ( — ', ел1 —,, уо любое.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
