В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 34
Текст из файла (страница 34)
дю дю аю ах ар а Частный случай уравнения 8.8.1.! при т(х) = о|х Ф ао, д(х) = Ьвх + Ьо, Ьг(х) = Д, Ь|(х) = у, Ьо(х) = Лх Ф б. + (ау+ Ьих + Ьо) + (Ьх + в|х + во) = (с|х + со)тп. ах ду о Частный случай уравнения 8 8.1.3 при 2(х) = йсхо -1 Ло, д(х) = л|х~ Ч-во, Ь(х) = с| хи Ф со.
дю г о дю — +(агху+а|х +ао) — +(Ьгху+Ь|х +Ьо) = (сгу+с,я+сох+в)ю. ах ду ах Частный случай уравнения 8.8.1.4 при 1|(х) = агх, уг(х) = а|ха -1- ао, д|(х) = Ьгх, дг(х) = Ь! х' + Ьо, Ьг(х) = сг, Ь| (х) = с|, Ьо(х) = сох + в. а о д ах +Ьу +сх = х(Лх+,Зу+ ~х)ю. дх ар д 1'.
Общее решение при Ь ~ — а, с ф — а: ю = схр! — х -1- — 'хро — хл)Ф(х(р! '~", хф в2*). '. 2а а -1- 6 ' а+ с 2'. Общее решение при Ь = — а, с ф -а: ю = ехр~ — х(Лх 62бу1п)х!) Ф хг]Ф(хр, тЯ да а -1- с 3', Общее решение при Ь = с = — а: | 1 и: = ехрт — х (Лх -1- 2(1)у Ф ул) 1п !х~)) Ф(ту., хл). 2а г дю аю дю ах + Ьху + схх = (Лх+ 1ду+ ух)ю. о ар дх 1'. Общее решение при Ь ~ а, с ~ а: ю = (х) |'вхр~ — ( " -1- )]Ф(х!р~ ", х(л! иа). 2'. Общее решение при Ь = а, с ~ а: п| = !х( 'ехр~ — ( — 1п)х!-е )]Ф( —, хф ' ). 3', Общее решение при а = Ь = с: ю = ехр~ — '' (Лх + 11у Ф ул)] Ф( —, — ) . г а,д ах +Ьху — +се = Ьу ю. ах ар ах 1', Общее решение при а ~ 26: ю = ехр~ ]Ф(х)рг, — — — ).
2'. Обн|ее решение при а = 2Ь: ,О ,д ,О ах + Ьу + сх = (схую. ах ар ' д ( йхр ах Л Г 6 а е а Л Общее решение: ю = ехр( !п — )Ф( — — —, — — — ). |ат,— Ьр р х р т, ах — + Ьу — + сх — = (Лх + Яу + ух )ю. гдю гоп| гдю г г г ах ар дх гл О т л уо Общее решение: ю = ехр( — х+ — р+ — л) Ф( — — —., — — — ). о Ь' с х р' х линейные ггленення вндв уг в ' + уг в + Уз и,' = уи', Л = У (х,у л) 182 8.2.3. Коэффициенты уравнений содержат другие степени х, у, л О О О 1. — + а — + Ь вЂ” = хулю. дх др дл Общее решение: ю = ехр[.'г хгул — фхв(ал Ф Ьр) -1- г', аьх 1Ф(у — ах, л — Ьх).
2. а — + Ь вЂ” + с — = (йх + ву )иг. Ою Ою Ою в г В Вр д ГЬ, в Общее решенно: ю = ехр( — х Ф вЂ” 'у )1Ф(ьх — ау,сх — ал). (,ва' Зи 3. а +Ьу +сл = (Ьх+вчх)ю. Ою Ою Ою В др Ол Общее решение: ю = ехр( — хг Ф вЂ” вхвгг) Ф()р!" е ', ф'е "). (2а За 4. + ал + Ьу = (схггх + в)чс. д д д дх др в Общее решение: ю = ехр( в сх~г~ + вх)Ф(иг, иг), где (ьр -ь пгаьл) ехр( — ъгаьх) при аЬ>0, Ьусгов(ЛггГаЬ!х) +,гг~аЬ~лв1гг(лгг(аВ~ х) при аЬ < О.
и | ~ ~ Ь у ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ 2 ~ ~ з 2 3 | ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ с 5. ах + Ьу + сл = Ьхулю. д д О Ох Ор дл Общее решение: 1 ю = юе(х,у,л)Ф(— ах где ах1п(ах) юе (х, у, л) = ехр) /схул < с (их — Ьр)(ах — сг) 1 1 1 Ьр' ах с- ьр рп(Ьр) ср 1п(ср) (Ьр — ах)(ьр — сг) (сг — ах)(сг — Ьр) Общее решение: д т игл ю = ехр< х + + у + л ]Ф(ьх — ау,сх — ал). ги(п Е1) Ь(т";1) с(ЬЛЦ 2. а — + Ьу — + сл — = (Лх +,Зу + тл )ю. Ою Ою диг и дх ду дл Общее решение: ю = ехр< х" + — У + — л ]Ф()у~ с ~4 с ). Г а(гг -1-1) Ьт с1с д ю дю Ою 3.
+ ал + Ьу = сх"ю. Общее решение; пг = ехр( х )Ф(иг,иг), где с и -~- 1 г (Ьу -1- 'ГаЪл) ехр( лгсаььх) при аЬ>0, бусов(лгг<аЬ~х) + лг)аЬ|лв1п(лДаЬ) х) при аь < О. Ою д В 4. ах — + Ьу — + сл — = (Лх" + ггу + ~л )ю. дх ' др дл г' л гв 7 ЬЛ /~рн ~4' Общее решение: иг = схр( — х + — у ' Ф вЂ” л ) Ф(, ). ( ип Ьт' са,) 1 (х(в х' 8.2.4. Коэффициенты уравнений содержат произвольные степени х, у, л 8.2 Уравнения, евдерлеищпе сваленные дункана 183 а а а х — +аг — +бу — =ох ю. Ох ар а гс Общее решение: и = охр( — х )Ф(ддд, ид), где ( ( [х! " (Ьу — дуа1( ) при аб > О, и =Ьу ' = ":д д,г — ь [х! " схр( — агсд8 ) при аб ( О. Ьу дш ди( дю абх — + б(ау + Ьг) — + а(ау — Ьх) — = сх ю. дх ду а с Общее решение: ю = ехр( х 71Ф(ид.,иг), где сап ид = [ау -(- (д72 — 1)бг) !х!, ид = [оу — (ъ'2 Ф 1)ЬХ) (х! Частное рстснис: ш = ехр< х г(Ф(а у — 2аЬуг — Ь г ).
с „1 г г г г абп а аю „,,а +ах у — +Ьх у'х =ох ю. Ох Ор а Общее решение: ш = Ь-(-! ехр< х ~ )Ф(и(, пд) при Ь ф — 1, (х[еФ(и(, пд) при Й=-1, где ид, иг †. интегральный базис уравнения 6.2.4.1. 8. + (адх 'у+Ьдх ') +(агх 'у+Ьгх ') = (сгх 'у+сдх 'х)ю. дх др а Частный случай уравнения 8.8.1.4 при гд(х) = адх"', уг(х) = Ьдх ', дд(х) = адх ', дг(х) = Ьгх"", бг(х) = сгх"', б((х) = с,х"', бо(х) = О. 9. + (адх У+ Ьдх ) + (агх х+ бгх ) = (сгхь У+ сдхь г)ю.
дх др дх Частный случай уравнения 8.8.1.5 при гд(х) = адх" (,,(г(х) = Ь(ха', дд(х) = агхчг, дг(х) = Ьдх"'„бг(х) = сдхд', Ьд(х) = с(хд', Ьо(х) = О. а а дю 1О. — + (адх 'у+ Ьду ) + (агх 'х+ Ьгх ) — = сх"ю. Ох др дх Частный случай уравнения 8 8.1.7 при у( (х)=а(х"', уг(х) = Ьп дд(х) =агхн', дг(х) = Ьи Ь(х) = сх'. 11. + (адх 'у+Ьду") +(агу ах+бах ) = (сдх" +сгу" +сах г)ид.
дх ар Ох Частный случай уравнения 8.8.3.6 при 7((х) = адх ', дг(х) = Ьд, дд(х, у) = агун', дг(х,у) = Ьг, б(х, у, г) = с(х -(- сгу —; сзг дю дю дю 12. х — + у — + а;/х~+ уг — = Ьх ш. дх др дг Общее решение: ш = шо(х)Ф(ид, иг), (де ,—,,—;- ( ехр(ЬХ"((и) при и ~ О, и = —, и = аЪ'хг -(-гуг — -", шо(х) = при п=О. с. * — е — е( —,( ед е ( — =в*" дш дш Ою Ох др дг Общее решение: ш = шо(х)Ф(ид, иг), дде (ехр(ЬХ"(и) при и ~ О, — — =(*(' '(*+веди+*в(, (*(=( х' '(и' при и = О.
линейные гтлвнения виля ~г е ' + ~г е + Хз е",' = ди', Л = У (х,у г) 184 8.3. Уравнения, содержащие экспоненциапьные функции 8.3.1. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные функции о. л Оге Л дгн 1. — +ае ' — +Ье — =се ш, о, оу дх Частный случай уравнения 8.8.!. ! при 1(х) = ае"', д(х) = Ьев", 6г(х) = О, 6г(х) = О, 60(х) = сел'. о оу в Частный случай уравнения 8835 при 11 (х) = О, уг (х) = пел", дг (х, у) = О, дг (х, у) = Ьег", 6(х, у,г) = сеча + ае"'. Ох ду дх Частный случай уравнения 8.8.3.9 при )г (х) = О, уг(х) = а, ду (х, у) = Ье ", дг(х, у) = О, 6(х,у.,г) = се'*' + вен 4. — + (Аге ' + Вге"г +хи) — + (А е г" + Вге г "тл ) — = йеч иу о оу ге — = е иу. Частный случай уравнения 8.8.1.9 прн Г1(т) = Аге ", уг(х) = Вуе ", д~(х) = Аге"г", д (х) =Д е г',6(х) =Ьетй н ехр~ е ')'Ф(иы иг) при Л ~ гу, ы— а(Л вЂ” а) ехр( — х) Ф(иу, иг) прн Л = а, Ег 1 Л„ гЛс иг= — — е Ф вЂ” е, иг= — — е Ш вЂ” е аа ЬД ЬО гу ехр( — / ) Ф(иг, иг) е *.~- ааиу ехр( — у) Ф(иг, иг) Ь е.р(- —..
)Ф( „.,) ь с"у при Л у- ен Л у- О; прн Л=афб; при Л=О, ш= 1, 1 Ет ОУ вЂ” ат глс иг = — — е -Н вЂ” е, иг = оо Ьд ' Ьде"* — ааевг рассмауривается как параметр. — е '. При интегрировании и~ су ГЬ, 1/ Общее рсшенис: ш = Ф(иг, иг) ехр [ — х + — ( аг а иг = — [ах — 1п(аг + аге '))— ага 1 и = — [ах — 1п(аг -1- аге "))— аг а о,,„в в ае + Ье + се = ие иу. о оу о Общее решение: б. ае — + Ье — + се — = Усе иу.
н„о дш ,. Ою дх ду о Общее решение: + сге"') = (йт + Юге )ю. дх Ьг Ьг Л вЂ” — — ) 1л(аг и аге )1, гпс аг аг — [Гду — й (Ьг Ч- Ь е " )1, Ь,д — [уг — 1п(сг Фсге )). 1 сг у 185 Ц 3 Уравненлиа лийерукллиуие зкгпиненциильные функции ил = — 1п(ал+пзе ') — — 1п(61+Ьзе 1 1 зу азлл ь,д 8.3.2. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциапьные и степенные функции а а ви о оу а Частный случай уравнения 88.1.1 при Д(х) = ах.", д(х) = Ьт, 62 (х) = сел', 61(х) = йеа', Ьс(х) = зе *.
— + ас — + Ьх — = (сх у+ йе х+ яс )иь дю л аи дтп Р 7 вх ву Ох Частный случай уравнения 8 8.1.1 при л" (х) = аел*, д(х) = Ьхн', 62(х) = ах", 61(х) = йее*, Ьа(х) = че»'. — + ае — + Ьу — = (йе х+ зе )зю. дил л дтп Влп и ах ау а Частный случай уравнения 8 8.1.4 при )л (х) = О, )2 (х) = а елл дл (х) = Ь, дз (х) = 62 (х) = О, 61(х) = 1уе *, Ьа(х) = зе»'. ах у ву ав Частный случай уравнения 8.8.2,1 при Дх) = 1, д(у) = ау", 6(2) = Ьз, цл(х) = сел*, цз(у) =йс'" Х(х) =' ". Ох Оу дх Частный случай уравнения 8.8.2.1 при 1(х) = 1, д(у) = аер", 6(х) = Ьх'". 22(х) = сел', ф(у) = йу Х(л) = че — + [у + Ьу+ ае "(у — Ь) — Ьз| — + [хя + с(хх — 1)св ~ — = йс" ю.
Ох Оу Вх /й Общее решение: ю = ехр1т — е )Ф(ил, из), глс ил, из интегральный базис уравнения (,л 6,3.2хй л й лел Общее решение.' ш = схр!1 — е ') Ф(ил, ил), глс ил, из интегральный базис уравнения (л' ) 6.3.2.6. + (ас уз+ Ьс — ) + [л! 1з 2 + сс» (7 сЦслв Ь») )~ й л Вх Оу Вх /й Общее рсшсннс.' ил = вхр( — е ') Ф(ил, ил), глс иы из - интсгральный базис уравнсння (,л 6.3.2.7. — + (агс ' у+ Ьте™у") — + (азе"' х+ Ьзеея х ) — = сх'и.
ах ду дх Частный случай уравнения 8.8.1,7 при (л(т) = а,ел", 12(х) = Ьлев", дл(х) = алел", дз(х) = Ьлевуе 6(х) = схл. с~и(ат+азе" ) — +е" (Ьг+Ьзе~и)— вх ау Г 61122 Общее решение: и = Ф(ил, из) ехр[ ' з х -1- +сев"+» — =йаери(йг+йзе )ю. ах 62 62 61 — ( — — — ) !п(ау+ але )!, глс а аз ил 1 1 из = — [ах — 1п(алц-азеие)~ Ф вЂ” е ал а ет линвиныв ылвненнв видо (~ о ' + ~Я о ! Гз я,' = дп'* Л = У (т,д в) 186 — -1- (агедг у + Ьгет' у ) — + (аге~~ + Ьгеа + ) — = сх ю. ах ау ах Частный случай уравнения 8,8.!.8 при т1(х) = а~си'"', уя(х) = 61ет", д1(х) = аяе~'*, дя(х) = Ьяелв*, Ь(х) = сх'. дю яя Ою я ,в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
