В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 38
Текст из файла (страница 38)
дх вр о Общее решение: ю = едеЫФ(6х — ау, х'г ') — —,(йх+ а). 19 о дю дю г б. ах +Ьу +ох = йхид+ах . дх ду дг Общее решение: ю = с '~'Ф(х у ', хег е) — —,(йх Ч- а). йг т. ах +Ьу +сг = (йх+в)ю+рх,+71. Ою аю а ах ар в Общее решение: и7=х е [Ф( — — —, — — — )+ — 27 (рхо-9)х е" дГх]. дд„д 7 Г /6 о с о'д ! à — П +Нуе х р х г о 9.2.3. Коэффициенты уравнений содержат другие степени х, у, х дю дю дю 1.
+ (ад д/х + ао) + (Ьд дух + Ьо) = сю + вд ъ'х + яо. дх др а Частный случай уравнения 9.8.1.! при Г(97) = одд/х -!- ао, д(х) = Ьдчдх Ф Ьо, 6(х) = с, р(х) = 91ддх+во 2. — + (6дх + 6о) — + (еду + со) — = аю+ вдх + яо. В7Ю а. з дю 3 дх ду дг Частный случай уравнения 9 8 2 ! при 2 (х) = Ь7 хе -! 6о, д(у) = сд у + со, 6(х) = яд ха ! яо. 3. +(ау+йхз) +(Ьг+пх ) =ею+ах . дх ар дг Частный случай уравнения 9.8.1.3 при У(х) = йхз., д(х) = пхз, 6(х) = с, р(х) = яхг. дю з аю 9 г г 4. +(адху+агх ) +(Ьдуг+Ьгу ) = (сдг+сгу)ю+ядх у+вгхг .
дх др аг Частный случай уравнения 9.83.4 при Гд(х) = адх, Гг(х) = а хз, дд(х,у) = Ьду, дг(х, р) = Ьдуз, 67(х, р, г) = сд г -1- еду, 6 (х, у, г) = яд Югу -~- ягх г. 5. ах + Ьуз + сгз = хю+ йх+ я. дх др а тоосодв Общее решение: ю = ехр( — — )Ф( —, — —, — — — ! — — '+ ая — й. 9.2.4. Коэффициенты уравнений содержат произвольные степени х, у, х Вдю О7ю Вю 1. а — +Ь вЂ” +с — =йх ю+вх ах ар а 1'. Общее решение при и ~ — 1.' нчд! Г и7 = ЕХР х ] 7 Ф(6х — ау, сх — ог) + — ' 27 х 'ох!7( — хн ' )дг ) д оГп -~- 1) о о(п Ч 1) 204 лннкнныв гвлвненна вндл )1 о„' +.(г в'„' +Уз о", = д~юч-до, Л = Л(х У:») 2'.
Общее решение при п = — 1: ю а х Ф(Ьх — ау, сх — а») + ' при а(пг + Ц ф Й, вх а(т -1- Ц вЂ” й т ~'Ф(Ьх — ау, сх — аг) Ф вЂ” 'х ~" !пх при а(т -1- Ц = 6. а О О О 2. а — + Ьу — + с» — = Ьх ю+ вх™. Ох Оу О» 1'. Общее решение при п ~ -1; х = Е(х)Ф(у е л", » е '*) Ф вЂ” Е(х) / гтх, а Е(х) Е(х) = ехр[ х" 2'. Общее решение при и = — 1: ю Ф т а с'" ! г а(т -!- Ц вЂ” Ь х ~'Ф(у"с ', »"с ") Ф вЂ” х"~'!пх а при а(т -!- Ц ф й, при а(тФЦ=Й. В и~ Ою О 3.
— + ໠— + Ьу — = сх" ю + вх Оу 1'. Общее решение при п ~ — 1: ио = ехр( х ~') [Ф(иг,иг) +в / х ехр( — хо~ ) о(х~, где ( Ьу+ лгаЬ») ехр( — тгабх) при аЬ) О, Ьдсеа(ДиЬ~х) Ч-,~~аЬ|»щп(т~~аб~х) при аЬ < О. 2'. Общее решение при п = — 1: х'Ф(иг, и ) Ф х"'~ при т-1-1 ф с, га = ' т-!-1 — с х'Ф(иг, иг) + вх' !и х при тч-1=с, где иг и иг определены в и. 1'. 4. + ах -(- Ьх~ Ох Оу О» Частный случай уравнения 9.8.1. ! при 1" (х) = ах,", д(х) = 1лхы, 6(х) = сх~, р(х) = вх .
5 Ою +Ьх Ою + Ою + а Частный случай уравнения 9.8.2, ! при г(х) = Ьх", д(у) = су, 6(х) = вх". + (ау + !ах™) + (Ь» + ух ) = схвю+ вх~. Ох Оу О» Частный случай уравнения 9.8, !.3 при 1'(х) = !ух", д(х) = ух, 6(х) = схл, р(х) = чх'. 7. + (атх 'у+ агх"г) + (Ьту '»+ Ьгу ') — = ею+ вгхув'+ вяхи'».
О Оу О» Частный случаи уравнения 9.8.3.4 прн гг(х) = аох"', уг(х) = агх"', дг(х, у) = Ьгу~', дг(х у) = Ьгу 61(х,у,») = с Ьг(х„у,») = я!ху +агх "». 8. + (атх 'у+ агх 'у ) + (Ьлх~'»+ Ьгх~г»™) = стх пю+ агу а. Ох Оу О» Частный случай уравнения 9.8 3.5 при У~ (х) = агхл', уг(х) = агхлг, дг(х, у) = 6~ ха', дг(х,у) = Ьгхи' Ьг(х, у,») = сгхт', Ьг(х,у, ») = саут' 205 й2 Уравнения, еадврясащпе еадененные фуняяаа Частный случай уравнения 9.8.3.5 при уд(х) = адах', 1»(х) = огхд', дд(х, у) = Ьд ул', дг (х у) = б у », Ьд (х, у г) = одх»д, бг (х, у з) = с» »»».
дю Ою дю 1О. х — + ау — + Ьх — = сх ид + Ьх дх ду дх .ь Общее решение: да = ехр ( — х ) [Ф ( —, — ) -~- б ) х'" д ехр( — — хз) г2х1 . а у з / дд дю дда дю 11. х — + ах — + Ьу — = сх и + Их™. Ох ду Ох 1'. Общее решение при и ~ 0: ю = ехр( — х ) [Ф(ид> иг) + Ь / х ехр( — — х ) ддх1, и „д а тле )х~ "ь(бу — ъ'абг) при аб>О, г ь / ) ~à — аь» д )х! ' охр( — атс18 ) при аб < О. б, ид — бу — аз г 2'.
Общее решение при п = 0: х'Ф(ид, аг) + х ' при т ф с, ю= » б и — с хеФ(иь, иг) -~- Йх'1пх при т = с, тле ид и иг определены в п. 1'. 12. Ьсх + с(Ьу + сх) + Ь(Ьу — сх) = Ьх ю + вх Ою О Ою Ох Оу Ох 1'. Общее решение при п ф 0: иь = ехр( х") [Ф(иыи») Ч- — / х екр( — х") е2х~, где ад = (бу+ (д/2 — 1)с»1 )х! г, иг = [бу — (ъ2+ 1)с»1)х! 2', Общее решение при и = 0: з х ь Ф(ид, иг) -~. х при Ьст ~ lс, ю= бст — и х Ф(ид,иг) Ч- — х"'!пх при бст = Ь. бс где ид и иг определены в и. 1'. 13.
Ьдх — + Ьгу — + Ьзх — = пи+ сдх + сгу + сзх , дю дю з Ода нд д» яз О ду дх Частный случай уравнения 9.8.2.9 при уд(х) = Ьдх ', уг(р) = бгу"', уз(г) = Ьз»'", дд(х) = с~х ', дг(у) = сгу г, дз(г) = сз» '". , дю Ода з дда 14. адх ' — + агу г — + азх ' — = Ьх и»+ ох Ох Оу дх Частный случай уран»де»див 9.8.2.3 при тд(х) = одх"', ~г(х) = гз(х) = 1, гв(х) = бх, 1з(х) = сх, д(у) = агу"', Ь(г) = азг"'. 9.
— + (адхк'у+ агх~~у~) — + (Ьдундх+ Ьгунгх ) — = сдхт'ю+ сгхтг. Ох Оу Ох 206 линвяныв зялвнвния вилл уд з,' + ггг в"„' + г'з з, = 91ю ! до, Г = Г !х р г) 9.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции 9.3.1. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные функции д" +ад +Ьд Е. + д др д 1'. Общее решение при д ~ 0: ид = ехР! — е ) <Ф(У вЂ” ах,г — Ьх) -!-Ьуд ехР1Лх — — е ! дгх~. Гс ЕЛ! Г Г с ЕЛ д 2'. Общее решение при дд = бч ю=е' Ф(у — ах,- — Ьх)+ е л Л вЂ” с 2. — + ае — + бе — = се ю+ ве дид н дю л„дю д дх др дх Частный случай уравнения 9.8.1.
! при Г(х) = ае'г', д(х) = Ьел, Ь(х) = се ", р(х) = вен '. ддв и д л, дю д др д Частный случай уравнения 9.8.2.1 при Г!х) = Ьез, д(у) = сел", Ь(х) = зс 4. — + ае — + Ье — = ею+ Ье дю е„дю л дид 7 ° дх др дх Общее решение: при сф Ь ю= е"Ф(ид,иг) -1- е" 7 — с ег" !Ф(ид, иг) Ф Ах) при с=у, дле ид = аедь — 19у, иг = ЬЛх+ е Частный случай уравнения 9.8зй8 при Ях) = адео', Гг(х) = аг, дд(х,у) = Ьдео", дг(х, р) = бг, !ддд!х, р, г) = сд, Ьг(х, у, г) = сге" . 6.
Ьде — + Ьге — + бзе — = аю + еде + сге + сзе л ддс л,я дид лг* дю Рд Ргя Нз* дх др д Частный случай уравнения 9.8.2.9 при Гд(х) = Ьде"", Гг(у) = бгел'", Яг) = Ьзелг", д~ !х) = с,е '*, дг(ду) = сге'", дз(г) = сзе. ". 7. аде и-иди ю г -Нзги ю г д -1-ию г -1-нги-1-л +аге + !Ьде + иге ) = сдю+ сг. дх др дя Частный случай уравнения 9.8хй1! при Гд(х) = аде '", дд(у) = ев'", Гг(х) = аге ", да дду) = еда", Ьд ддх, у) = Ьде ' ч ш ", Ьг !х, р) = бге"" ' я'", огд ддх, р, г) = сд, уз ддх, у, г) = сг.
9.3.2. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциапьные и степенные функции дю дю . дю ,з„ дх ду дя се Общее решение: ю = ддхр! — е ' ) <Ф(ду — ах, — Ьх) + Ь уд х ехр! — — е' ~ с!х|. з. Г с Е.Л дю дю л„дго .„ и — + ах — + Ье =се ю+вх . дх ду д* Частный случай уравнения 9.8.1.1 при Г1х) = ах, д(х) = Ьел, Ь(х) = се *, р(х) = вхд'. 207 и 4. уравнения, год) врэ~гииднв гипербол ингения удуд ниуидд а и о „а — + Ье — + су — = аю+ ве ах ар Оя Частный случай уравнения 9.8ай! при Д(х) = Ьее*. д(у) = су", 6(х) = яег'. 3.
Ою „„аю р„и а а + (адх + аге ") + (Ьдх + блеющих ) = сдю+ сг. ар а Частд~ый случай уравнения 983.7 при 71(х) = идх, )г(х) = аг, дд(х,у) = Ьы дг(х, у) = Ьгев", Ьд(х, у, г) = сд, Ьг(х, у. г) = сг. — + (адеи + аяе ") — + (Ьдеии + Ьгел') — = сдю+ сг. ох Оу дх Частный случай уравнения 9.8.3.8 при )д(х) = идеи", рг(х) = аь дд(х,у) = Ьде ", д (х, у) = Ьг, Ьд (х, у, г) = сд, )н (х, у, г) = сг. — + (аде ' Р+ аге ' ) — + (Ьде~' х+ Ьгер' ) — = стет' ю+ сггтг ах др а Частный случай уравнения 9 8 3 4 при тд(х) = адед", Уг(х) = аге"", дд(х, у) = Ьдев", дг(х, у) = Ьге ", Ьд(х.
у, г) = еде"*, Ьг(х, у, г) = сге'". ох Ор Оя Частный случай уравнения 9 8 3 5 при уд(х) = пдгд", уг(х) = агедг*, дд(х, у) = Ьдгед'6 дг (х, у) = Ьг ели, Ьд (х, у, г) = сд етд, Ьг (х, у я) = сг е 'г" . +(адел' р+аге~г"р ) +(Ьдер*"х+Ьгер'"х ) =сдега ю+сге"г*. ох ор Ох Частный случай уравнения 9 8 3 5 при гд(х) = ад ел"', уг(х) = адели*, дд(х, у) = Ьде""", дг(х у) = Ьге' '" Ьд(х у г) = еде ', Ьг(х, у г) = сгег'в аде — + аге — + (Ьдх е + Ьгу е ) — = сдш+ сг. р„а дю ии а Ох ар дх Частный случай уравнения 9 8 3, ) ! прн ) д (х) = 1, дд (у) = ад ее", )гг (х) = о, е '", дг (у) = 1, 6д(х,у) = Ьдх"гд", Ьг(х,у) = Ьгу е в, угд(х,у,г) = гд, угг(х,уг) = сг. 10. 9.4.
Уравнения, содержащие гиперболические функции 9.4.1. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический синус Общее решение: ш = Е(х)Ф( у — ах, — Ьх) + ЬЕ(х) / яй™(Лх) '', Е(х) = ехр(с / яки()3х) д)х~. Е(х) ' Ою Ою Од а — + Ь вЂ” + се)д()дх) — = [рв)д(Лх) + 9д)ю + 6 в)д(тх).
О ар дх Общее решение; Ь ~ рой(Лх) -)-уЛх ~ ( Г ( рса(Лх) -)-уЛх ~ ! глс ид —— Ьх — пу, иг = с)3х — а )и 16 — ~. ох + (аду + агху ) + (Ьдх + Ьге~ичл ) = сдю + сге д ор ох Частный случай уравнения 9.8.3.6 при тд(х) = аы Гг(х) = агх, дд(т, у) = Ьдх, дг(х., У) = Ьге' ", Ьд(х, У, г) = сд, Ьг(х, У, г) = сгег'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
