В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 42
Текст из файла (страница 42)
К. Апв, Х К. Апшпсаоп (1986), В. Ф. Зайцев. А. Д. Полянпн (1996). 223 10 2. Копкрегппые )равпепгип О О 4. )3 уб — + сз-)6( ухз — 6х4) — + Охс Охг Ою Ою + а)З6(ахг + )Зхг + Зхз) + а)З у(ахс + )Зхг + бх4) = О. Охз Ох4 Интегральный базис: иг — — )Зхг — ухз — 6хв, иг = ( ухз — 6хв)е из = (О"гу1хз — О6х1х4 — О;г1 — гЗхг — 6х4 — 1)е Ою Ою Ою Ою 5. О)ЗЗХ1 — +УЗЗ()Зхз+-~х4) — +а"у(ахг+ ухв) — +О(З(ахг+УЗхз) — =О. Ох, ОХ2 Охз ОХ4 Интегральный базис. иг = хг(ОХ2 —,Зхз)г иг = Хг(ахг — ух4), из = (Охг -)-охз+ ухс)хг 6.
)Зуб()Зхг +.ухз + бх4) + а уб(сехг + -ухз + бх4) + Огп Ою Охг Охг Огп Ою + а)З6(ахг + )Зхг + бхс) — + сз)З-у(сххг + )Зхг + ухз) — = О, Охз Ох4 Интегральный базис иг — — ' ', иг = ', из = (6хс — ссхг) (Охг+ гЗхг+ уха+ 6хп). 6 .„- Убег 6хс — -у., 6Х4 — агг ' 6тг — ОХ1 ' Ою О О О хгхз + хгхз + хз + (хгхг + ахзхв) = О. Охс Охг Охз О 4 Интегральный базис: х., иг = =, Хг иг =— хз Хг 2 Ою Осп г Ою О 8 (Збхзх4 — а)Зхсхг) + а ухгхз + а'ухз + а'ухзхв = О.
О ОХ2 Охз ОХ4 хз хп удхзхс ))Хг Интегральный базис: иг —— — ', иг = —, из = (Охг — 2 11 ехр) — 1. Хг *1 ' У)хг ') ' У*З г О Ою Ою Огп 9. )З'убхгхзх4 + а-убхгхзх4 + а)З6хгхгх4 + а(З ухтхгхз = О. Охд Охг Охз Ох4 2 2 2 2 2, 2 Интегральный базис; иг = Ох, —,Зхг, иг = (Зхг — ухз, из = ухз — 6хв. 10.
~ ~хь — = аю. Ою Охь Дифферепцпапьное уравнение дю однородных функций порпдка а, Общее рсшениег ()З Лгпгервпгурвг ен Камне 11966). Х= Ех' Ь=1 Х вЂ” пх Интегральный базис: и, = '; и = 1, 2, ..., и — 1. Х вЂ” пх, 11. ~ ~(Х вЂ” хь) — = О, Ою Ь=г О, х г -1- (а — 1)24хг при а у= 1 хз х4 х2!пх1 нри а=1. 2:з 224 Линвйнык тгдвнкния с хтыгьмя и волка ивэхвнснмыми пвгвмвниыми Одс 12. ~ (аьо + ~ аыхд) = О. ь=д д=д Пусть зд,..., з„- корни характеристического опрелелителя иы — з адд адз ..
ад„ иш адд — з азз ... ад азд азз — з ... аз азд а а з ~ аг„Ь„. = Ь„„зб тл = 1, 2, ..., л, д=д и число г! =Еа Ь !. Если з, = д1, = О, то один из интегралов имеет вид 2. Если к, и з, отличны друг от друга и от нуди, то один из интедралов имеет вид ( — д-!- 2 б. х ) Если все з, различны, то можно таким образом получить интегральный бадис.
3. Если среди я, имеются кратные корни, то можно воспользоваться подстановкой, понижающей число независимых переменных (см. равд. 10.1.1-2). 13. ~ (Аохь — Аь) — = О, О О „ ь=д где Аь = аьо + Х ~аыхд. д=д уравнение Хессе. Введением однородных координат хд = — ', х = — д, ..., х„= —" сд „бд . б сс со сс уравнение Хессе сводится к уравнению для нд = ш(бс,бд,...,б„) с и + 1 независимыми переменными, по с линейными коэффициентами Вд. = О, где Вь = ~ аыбс дх ь=с ' дбь ~=с О решении этого уравнения см. 10.2.1.12.
Ся) Литграмура: Э. Камке 1!обб) аьх "— = Ьдо+ с. случай уравнения !0.2.3.1 при (ь(хд) = адх, ', д(хд) = 6, 6(хд) = с. 14. — + Ош Охд Частный (аяхь + Ььх ') = сд до + ся. Охь случай уравнения 10.2.3.2 при уь(хд) = Ьдх",'", д(хд) = си Ь(хд) = св. 15. + Охд Частный Для каждого значения з, можно найти и чисел Ь„, не равных одновременно нулю, для которых выполняются соотношения 226 ЛинеЙные ИРАВнения с щтыРьмя и ВОлке, 'незАВисимыми ИВРьмянными 8. ~ аа сЬ(Лаха) = Ью + с. д джа Общее решение: ю ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ и ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ !и ~ ~ и — — Ф ехр< атс!Н(АСЬ " "))Ф(иыие,...,и е) при Ь ф О, Ь а Л„2 атсец(ЕЬ " ") ФФ(иыиш...,и -~) при Ь=О, тде зтм = и Лм атстб[!Ь(ЛЛ хи)) — НАЛА асс!О[!Ь(ЛЛЫЕ,А)); ш = 1,, и — 1. 9.
~ паеЬ(Лажа) — = Ью+ с. дю джа Частный случай уравнения !0.2.3.3 при уа(ха) = аа. 1Ь(ЛАха). 1О. ~ аа 1п(Лажа) — = Ью+ с. дзл джа а=1 Частный случай уравнения !0,2.3.3 при уа(ха) = па !п(Лаха). дю дзл 11. — + ~ ~павш(Лахт) — = Ью+ с. дж, джа а=я Частный случай уравнения !0,2.3.! при (а(хе) = НА, е!Н(Лахз), д(хА) = Ь,!З(хе) = с. 12. ~ ~па в!п(Лажа) — = Ью + с.
дю джа Общее решение; Ю ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ и ~ Л ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ и ~ е — — +!О" А. ( "' " )Ф(из,ие,...,ие,) при Ь ф О, !и[!я " " -1-Ф(иыие,...,и е) при Ь = О, где и — с!О '" ( †. Л„х ) !я " " ( — Л х ), тп — 1, ..., и — 1. 13. ~ аа сов(Лажа) — = Ью + с. дю дха Общее решение: Ь ю ~ ~ и ~ с и ~ ~ ~ и ~ ~ ~ ~ ~ и и ~ ~ ~ ~ и ~ л ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ и ~ и — — Ф [вес(Л х„) -~-ся(Л х„)) ' А Ф(иыиш...,и е) при Ь ф О, 1п[еес(Л„х„) + сн(Л„х„)[+ Ф(иы ие,..., и„з) при Ь = О, О„Л„ зде и, =а„ЛЫ!и!Вес(ЛРЕ„) 3-сб(Л„х )!-!-а Л„!Н[есс(Л,,х )-а!я(Л„,х ф т =1,..., и — 1. 14.
~ аа сн(Лажа) — = Ьи~ + с. дю джа Частный случай уравнения !0.2.3.3 при уа(та) = аь ен(Лыха). 22Т 10.2 Ксмкреемые урнененмн 10.2.3. Уравнения, содержащие произвольные функции а а + ~~д Эй(хд): д(хд)ю + )д(хд). а*, а*й й=я Общее решение: ю = С(хд) [Ф(ид,ия,...,и„д) + 1 ( ') д(х], .г С(хд) С(х~) = ехр[/ д(хд) г(хд] — / 1;-д(хд) д(хд; т = 1, 2,, и — + ~~ г(айхь + уй(хд)1 — = д(хд)де + )д(хд).
дю дю ахд дхь й=э Общее решение: ю = С(хд) [Ф(пд,иг,...,и„д) + 'д д(х], С(хд) = ехр[/ д(х1) д)хд], ,г С(гд) где и = х ед екр( — о,едхд) — / э" ед(хд) ехр( — о,„хдх1) д(хд,' т = 1, 2, ..., и — 1. Е Мхь) — = Ью+ Е дь(хй) дю й=д дхй й=д Введем обозначение: г1х 1 Дум (х ) г 1„(х ) 1'. Общее решение при Ь = 0: т = 1, ..., и — 1. ю = Ф(ид, и,...,и,. д) Ф ~ ~уг г(хй.
р дй( й) г'й(хй) 2'. Общее решение при Ь ф О: м к=ад(хд)Ф(пд, иг,..., и .д)+~ Гр(хй) ~ й й д, Ги(хй) =ехр~Ь ~ 1й(хй) рй(хй) д,г )й(хй) г дю + Э г1хй(й(хд, иг,..., хй-д) -е дй(хдрмг,...,хй-д)~ = Ьд(хд, иг,..., хд)ю .1- Ьг(хд, нг,, хй), (2) коэффициенты которого оцрелеляются следующим образом: Д(хд,хг,...,хд д) = 2й(хм иг,..., хй д). Уравнение (2) аншюд ично исходному, но содержит уже меньшее число персменнык хд, хз..., х (в преобразованном уравнении нет пронзволной по иг, поэтому иг можно рассматривать как параметр). Последовательно используя преобразования вида (1), можно свести исходное уравнение с частными производными к линейному обыкновенному дифференциальному уравнению первого порялка по переменной хд, коэффициенты которого зависят от параметров и г,..., и„. а дю + Э ~хной(хдд хя,..., хй — д) + дй(хд, хя,..., хь — д)~ дхд дхг, й=э — ддд(хд хя ° хй)ю + ддя(хд хэ ° ° ° хй).
Перейдем от переменных хд, хя, хз ., х„к переменным хд, ия, хг,..., х, где иг = хгРг(хд) — / дг(хд)гг(хд) ддхд, гд(хд) = екр[ — / рг(хд)ддхд]. (1) В результате получим уравнение 228 ЛинеЙные РРАВнения с 1ятыРьмя и ВОлке, 'незАВисимыми НЯРямянными дю е дю + ~ [Хй,)й(Х1 Х2 ° ° ' Х1 — 1) + Хй 91'(Х1 Х2 ' ' Х1* — 1)] дхд дхй = 111(Х11 Х2З ° ° ° З 'Ей)ЗН + )12(Х1 З Х21 ° ° ° З Х1 ). 1'. Пусть из,..., а„не равны единице одновременно.
Тогла преобразование ей = х, (й = 2,..., и) приводит к уравнению вида 10.2.3.4: ди1 ди1 Ч- ~ (1 — ий) [едй(хг, 22,..., Яй !) Ч- дй(В1, 22,, 21 1)] дх, А=2 дей = 61(хг, 21,..., ей)ю + йз(хг, 21, , 21), Где зй(х1, 22,..., Рй — 1) = 1й(х1, х2,...,х ) и т л. 2'. Пусть а = 1, а другие ой ф 1 (й ~ т). Тогда прсобразонаннс еа = х,„, ей = х„'" (к ~ ш) приводит к уравнению аида !0.2.3,4. д д б. + у ! зий(хг, хя,..., Хй 1) + ехр(Лйхй)дй(хт, хя,..., Хй — 1)] дхт дх1, й=2 = 61(хтз ХЕ, ° ° °, хй)зп + )22(хт, хгз ° ° ° з хй).
Преобразование ей = Ркр( — Лйхй) ()с = 2,..., и) приводит к уравнению вида !0.2.3.4: д1Р дю Лй [ейзй(х1 22 ... 21. 1) + Тдй(хг 22 ... 21 — 1)] дхг дЕ 1. = 61(хг, Ем..., ВР)и; -)- 62(х1, 22,..., 21), ГЛС 11(Х1 22 ... Ей — 1) = зй(Х1 Х2 ...,Хи) И т. Л дю дю 7 ~' (Уй — ~охи) — + Х ~1рй(уд,...,у ) — = О, 2'й = аы1+ Х ~аых1. дхй ду1, й=1 и=1 1=1 Меголом Хессе (см. уравнение !0.2.!.13) можно добиться, чтобы первые и + 1 коэффициента стали линейными.
После введения однородных коорлинат х1 = бгДВ, х„= б„ДВ, получим уравнение дю ди ~дй, + ~ )РА(у1,...,у ), = О, где дь = ~ой1б1. и=о д1. ' ' дд .й 1=С Пели, в частности, ш = 1, 921 = 92(уг), то в характеристических уравнениях в качестве Г 49, независимого переменного может быть выбрано ! = ( ' ' ; при этом характеристиче/ р(91) ' скис уравнения образуют линейную систему; бй(!) = дй (к = О,....,и). Ои диаерааура: 21 Камке (!96б).
11. Квазилинейные уравнения вида У(жз У) ф + д(Х, У) ф = й(Х, У, и ) 11.1. Предварительные замечания 11.1.1. Методы решения 11.!.1-1. Метод решения, основанный на переходе к новым переменным. Рассмотрим квазилипейное уравнение вида дш дш ) (х, у) — -1- д(х., у) —, = 6(х, у,ш). (1) дх ду Пусть известно частное решение и(х, у) (званный интеграл) соответствующего линейного однородного уравнения ди ди ((х,у) —, Фд(х, у) — = 0 (и У! соггвз). дх ' ду Переходя в (1) от х, у к новым переменным х, и = и(х, у), получим г(х, и) — = 1~(ай и, ш), дх где Д(х, и) = г'(х, у), )г(х, и, ш) = П(х., у, ю). Уравнение (2) можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение лля ш = ш(х) с параметром и.
Его решение после перехода к исходным переменным х, у приводит к решению уравнения (1). 11.!.1-2. Метод решения с помощью характеристической системы. Осли известны два независимых интеграла и~(х,у,ю) = Сы из(х,у,ю) = Сз характеристической системы г!х Ыу дю Я(х,у) д(х,у) 6(х,у,ю) ' то общее решение уравнения (1) имеет вид Ф(иыи ) =О, где Ф произвольная функция двух аргументов. ! 1,1.1лй Использование вспомогательного линейного уравнения. Пусть б = Дх, у,1с) †. интеграл вспомогательного линейного однородного уравнении с тремя независимыми переменными Д(х, у) — + д(х, у) —, -Ь 6(х, у, ю) — = О.
дь дб дь" (2) дх ' ду дш Тогда интеграз гс(х, у) исходного неоднородного уравнения (!) можно получить цугом разрешения алгебраического (трансцендентного) уравнения б(х,.у,ш) =0 (б ~О) относительно ю. О решении уравнений вида (2) см. равд. 6.!.1. квхзилннсиныв тгхвнсниа вилл з (х, У) е + У(х, У) з„= )з(х, У, ю) 230 11.!.1-4. Уравнения, содержащие олпу частную производную. Рассмотрим уравнения специального вида дю дю — = у'(х, у, ю) или — = 7 (х, у, ю). гзх ' ' ду Так как в эти уравнения входит только одна частная производная ь ' (или —,), то их можно рассматривать как обыкновенные дифференциальные уравнения для функции ю(х, у), где у (нли х) играет роль параметра.
Решения зтнх уравнений для многих конкретных функций у приведены в справочниках Э. Камке (1976), бй М. Мгцрйу (1960), В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина (1997, 2001). 11.1.2. Конкретные примеры Пример 1. Рассмотрим уравнение дю дю — -1- а —, =. Ь(ю -1- су) дх ду Частное решение и(х,у) линейного однородного уравнения, соответствующего нулевой правой части, имеет вид и(х,у) = у — ах.
Переходя в (3) от х, у к новым переменным х, и = и(х, у), получим уравнение дю з — = Ь(и~ -1- асх -1- си), дх (4) которое можно рассматривать как обыкновенное дифференписльное уравнение для ю = ю(х) с параме- тром и. Замена з = ю + асх + си приводит (4) к уравнению с разделяющимися переменными, которое легко интегрируется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
