В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 44
Текст из файла (страница 44)
а + Ь = Г(ю). Г ьГю х Общее решение: / = — -1- Ф(Ьх, — ау). ./ Г(ю) а аю дю а — + 6 — = Г" (ю + ах + )Зу). дх ду Замена и = ю + ах + ду приводит к уравнению вида 1!.3.1.5: а — + Ь вЂ” = Г"(и) Фас+ Ь)З. Вх ду а + 6 = Г(х)д(ю). а ву Г аю 1 Общее решение: / = / /(х) их+ Ф(Ьх ау). '„/ у(ю) а, 8. — + а — = Х(х)д(У)Ь(ю). аю Ввв дх ду Пю Г* Общее решение: / = / Г(1)д(у — ах Фа!) ьй-Ь Ф(у — ах), где хс..-любое.
./ Ь(ю) ./ дю дю 9. ах — + Ьу — = Г(ю). ах ду Г Дю 1 ь Общее решение: / = (н И ь Ф(И [у~ ) Г(ю) а аю дю 10. ау + Ьх — = У(ю). а ву Общее решению / = 1п[ьГабх -Ь ау~ -1- Ф(ау — Ьх ), аЬ ) О. ,/, дю лаю 11. ах — + Ьу = Г(ю). дх ду Общее решение: / "+ф( ), Г(и~) а(1 — и) ///1 Уравнении содерхсоиие нроиввооьные функнни аю /,аю 12.
ау" — + Ьх — = У(ю). ах ау Общее решение: с/ю р/ Ь и-1-1 нег Л „-и Ь пх1 ь-ьг а =и — Х вЂ” и! г/х, и =— У Г(ю) а /с-1- 1 а й -~- 1 1!ри интегрировании и рассматривается как параметр. 13. ае + Ьеди = У(ю). ах ау Йо -ри Общее решение: У/ = — — е ' Ф Ф(и!, где и = аЛе '" — Ьбе 1(ю) оЛ 14. ае " + Ьеди = /" (ю). а ау аю с(//х — Лу) Общее решение: У/ = Ф Ф(н), где и = а//с~и — ЬЛеа'. и' /(ес) и 15. У(х) + д(у) = Ь(ю). / аю / ах / йх / ау Общее решение: ( = ( + Ф(и), где и = ( 1 Ь() 1 Дх) ./(х) ~ у(у) 16.
3" (у) — + д(х) — = Ь(ю). ах ау Преобразование б = / д(х) с/х, г/ = ( У(у) с/1/ приводит к уравнению вида 11.3.1.8: Д< О„ — Ф вЂ” = РЯС(п)Ь(ю), где ГЯ =, С(//) = у(х) ' УЬ) ' 17. Уг(х) + Уя(У) = аю+ [дг(х) + дя(У)~ю". ах ау Общее решение: ю ' = Е~(х)Ф(н) Ф (1 — Ь)Ег(х) ( ' + (1 — Ь)Ея(у) / 1 — и /' у,(х) ах Уа(У) ау ,/ /,(.)Е,(*) /я(У)/Уя(У) где Е/(х) =акр[а(! — Ь) / ' ~, Ея(у) = акр [а(! — Ь)/ ~, ее = / ' †/ а аео Л 18. /д(х) — + Ря(у) — = а+ [дг(х) +да(у))е ах ду Общее решение: '" = Е ( )Ф(и) — ЛЕ~(х) / ' ' — ЛЕя(у) Г 1 У (х)Е~( ) ~ Ы~)Е~Ь) ' где Е/(х) = ехр(( — аЛ (, ' ~, Ея(у) = ехр~ — аЛ / ~, и = / — / 11.3.2.
Коэффициенты уравнений содержат проиэвольные функции двух переменных а аю 1. — -!- р(у) — = д(х,ю). ах ау Общее рещение: — — = ~(х,ю), ау 1 УЬ) где 1(х,и) = С вЂ” общее решение обыкновенного дифференциального уравнения и = д(х, и). 288 квхзилиивииыв кывивииа вилл Д(х, У) о + д(х У) о = Ь(х Р: го) 2. у(х,у) — + д(х,у) — = Ья(х,у)ю + Ьз(х,у)и + Ьо(х у).
дю а а ' ау ИУсть известно частное Решение шо = шо(т, У) данного УРавнениЯ. Тогда замена ( = ш — шо приволит к уравнению вила 11.3.2.3 при Ь = 2: ( — + д — = 6я( + (26зшо+ 61)(. д( д( дх ду При Ь„= сопвг, (и = О, 1, 2) частное решение шо рассматриваемого дифференциального УРавнениЯ опРепеллетса пУтем Репзенил кваЛРатно1о УРавненим Ьзшо + Ьзшо Ч- Ьо = О. Если функции г и Ь (и = О, 1, 2) нс зависят от у, то частное решение ищется в виде шо = п1о(х). дю д ь 3.
у(х,у) — + д(х, у) — = Ьз(х,у)из+ Ьз(х,у)ю а ' ду Замена ( = ю " приводит к линейному неоднородному уравнению 1-.Ь З" (х, у) — -Е д(х, у) — — (1 — Ь) 61(х.'р Я и- (1 — Ь) 61(х, у), д( д( д' др которое рассматривается в г11аве 5. 4. 3'(х,у) + д(х,у) = 61(х,у) + Ья(х,у)е д ду Замена с = е ~ приводит к линейному неолноролному уравнению Дх, у) — + д(х, у) — = — Л61 (х, у)Š— ЛЬг (х, у), д( д( дх ' '' ду которое рассматривается в главе 5. 5. 2(х, у) — + д(х, у) — = Ья(х, у)е" + Ьг(х, у) + Ьо(х, у)е дх ' Ву Замена С = е~ ' приводит к уравнению вида 11.3.2.2: Г(х, у) — + д(х, у) — = Л61(х, у)( + Л61(а, у)( Ч- Лйо(х, у). д( д( дх ' ду й.
~(х, у) + д(х, у) = 61(х, у) сЬ(Лю) + Ья(х, у). дю аю дх ду Используя формулу сй(Лш) = +(е~ -1- е ~ '), прихолич к уравнению вида 11.3.2.5. 7. ~(х, у) + д(х, у) = 61(х, у) вЬ(Лю) + Ьз(х, у). азс ви1 дх ду Используя форчулу в11(Лго) = +(е~ ' — е ""), прихолиьз к уравнению вила 11.3.2.5. аго дю 8. 3 (х, у) — + д(х, у) — = 61(х, у)ю!п и1 + Ьз (х, у)ю. а ' ву Замена н1 = е~ приводит к линейному неолноролному уравнению 1 (х у) — -г д(х, у) — = 61(х у)с 1 Ьз(х, у) д( д( дх ' др которое рассматривается в главе 5, аю виг ь 9. Х(х~ у) — + д(х1 у) — = 61 (хз у)ю 1п ю + Ья (хз у)ю 1п ю. дх ду Замена ш = ее приводит к уравнению вида 11.3.2.3: Пх, у) †, + д(з1 у) †, = Ьг(х, у)С + Ь (х, у)( '.
д( д( ь д* ' др 1О. 3'(х, у) — + д(х, у) — = Ь(х, у)1р(из). дх ' Ву Йо Замена С = ~ приводит к линейному неоднородному уравнению /:Р(зо) йх у) — '- д(х й) — = 6(х у) д( д( дх ' др которое рассматривается в 1лаве 3. 12. Квазилинейные уравнения вида ~(х, у, ы) — + д(х, у, ш) — = ь(х, у, ш) 12.1. Предварительные замечания 12.1.1. Методы решения 12.1.1-1.
Харакшристическая система. Общее решение. Общее квазилинейное уравнение с частными производными первого порядка с двумя незави- симыми переменными имеет вид дю дю 1(х, у, п»1 — + д(з, у, ю) — = Ь(х, у, ю) дх ' ' ду и часто встречается в различных приложениях (в механике сплошных сред, газовой динамике, гидродинамике, теории волн, акустике, теории фильтрации, теории массо- и теплопереноса, химической технологии и других областях). Частный случай (', = дю : — О рассматривается в разл. 11.1.
Если известны два независимых интеграла иг(х,у,ю) = Сы из(х,у,ю) = Сз (2) характеристической системы дх ду дю (3) 1(х,у,ю) у(х,у,ю) 1»(х,у,ю) то общее решение уравнения (1) дается формулой Ф(иг, из) = О, (4) где Ф вЂ” — произвольная функция двух аргументов. Разрешив (4) относителыю иэ или из, решение булсм часто записывать в виде: иь = Ф(из г), где й = 1, 2 и Ф произвольная функция одного аргумента. Пример 1.
Рассмотрим уравнение аю дю — +аю — = 1. ах ду Два независимых интеграла характеристической системы дх ау дю 1 аю 1 имеют вид т — ю=С1 2у-аюз — С Поэтому общее решение исходного уравнения дается формулой Ф(х — иь 2у — аи~~) = О. Пример 2. Рассмотрич уравнение а за — -1- ую — -1- аю = О. дх ду Характерис т ическая система 1 уюз аю имеет нсзависимыс инте~разы юг ' =- Сг, 2а!и'!у!+ эаз =-.
Сз. Отсюда получим общее решение исходного уравнения; Ф(зае"», 2а !п ~р~ -~- за~) =. О. 240 квхзизгинейные тгявнкния вилл )(х,у,ю) и +у(х,у ю) и'" — — 6(х,у,ю) относительно ю. О решении уравнений вила (5) см. разя. 6.1. 12.1.1-3. Использование частных решений. Пусть двухпараметрическое частное решение уравнения (1) дается формулой Б(х,у,ю,Сг,Сг) =О, (6) где Сг и Сг .
произвольные постоянные. Тогда решение уравнения (1), имеющее функционщгьный произвол, можно представить в параметрическом виде с помощью равенства (6) и двух уравнений Сз = К(Сг), дСг дСя дСг где Г = )г(С) произвольная функция (см. также разд. 14.1).
(в) зйгояерангури к разделу!2.1.1: Р. Курант (1964], ух Камке (1966), И. Г Петровский (1970), Е. 2апдетег (1983), Ю. 2едй!пяет(1998). (7) (8) 12.1.2. Задача Коши. Теорема существования и единственности 12,1.2-1. Рассмотрим две формулировки задачи Коши. 1'.
Обобщенная задача Коши. Требуется найти решение ю = ю(х, у) уравнения (1), удовлетво- ряющее начальным условиям х = 6г(ь), у = !гг((), ю = 6з(ь), где ( параметр (и < ( < (3), а 6ь(Д) — заданные функции. Геомегричсская интерпретация: требусгся найти интегральную поверхность уравнения (1), проходящую через линию (9), заданную параметрически.
2'. Класси геская задача Каши. Требуется найти решение ю = ю(х, у) уравнения (1), удовле- творяющее начальному устовию ю=р(у) при х=О, (9) (10) где р(гу) заданная функция. Кдассическую задачу Коши удобно представить в аиде обобщенной задачи Коши, записав начальное условие (10) в параметрическом виде: х = О, гу = (, ю = зт((). (11) 12.1.2-2. Процедура решения задачи Коши.
Процедура решения задачи Коши (1), (9) состоит из нескольких этапов. Сначала определяются два независимых интеграла (2) характеристической системы (3). Затем для опрелеления постоянных интегрирования Сг и Сз в интегралы (2) подставляются начальные данные (9); иг(6г((),!гз((),6з(()) = Сг, иг(6г((),6 ((),6з(()) = Сг. Исключая из (2) и (12) постоянные Сг и Сз, имеем и,(х,у,ю) = иг(6г((),6з((),6зЮ)г из(х,у,ю) = иг(6г((),6г((),6з(()). Формулы (13) представляют собой параметрическую форму решения задачи Коши (1), (9). В некоторых случаях, исключая параметр (, удается получить решение в явном виде. (12) !2.1.1-2. Сведение к линейному уравнению.
Пусть ( = ((х, у,ю) — . интеграл всномогательпого линейного однородного уравнения с тремя независимыми переменными 7(х, у, ю) — + у(х, у, ю) — -1- 6(х, у, ю) — = О. д( О( д( (5) бх '* бу '' а. Тогда интеграл ю(х, у) исходного неоднородного уравнения (1) можно получить путем разрешения алгебраического (трансценлентного) уравнения ((х, у, иг) = 0 ((, р 0) 241 121. Прсдсаритетьныс замечиния !2.1.2-3. Теорема существования и единственности.
с начальным условием ю 5з(у) прн х О. Сначала представим начальное условие (15) в параметрическом виде (9): (15) (16) х =. О, у = (, ю = 'тт(ь). Решая характеристическую систему дх йу ди~ (!7) находим два независимых ннгсгрш~а: и~=С!, у — юх=Сз. (18) Используя начальныс условии (16), определяем значения постоянных ннтсцнзрования С = щ(Г), Сз — — б Подставляя зтн выражения в (18), получим рещение задачи Коши (14), (15) в параметрическом вндс зс = ьт(Г), (19) у = б -Г 1с(с)х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
