В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 46
Текст из файла (страница 46)
По обе стороны от разрыва функция ш(х, р) является гладкой и однозначной; как и ранее, она описывается уравнениями (29). Скорость распространения разрыва 1г выражается через производную: 1' = л'. При этом должно выполняться соотношение Г(ш) = / 1(ш) дгю зч(юг) — Р(ю ) юг — юг глс индекс 1 соответствует значениям величин перед разрывом, а индекс 2 после разрыва. В приложениях соотношение (31) принято называть законом сохранения на разрыве (вывод этог о соотношения дан ниже в разд. 12.1.3-4). Непрерывная волна опрокидывается и приводит к разрыву тогда и только тогда, когда скорость распространения 1"(ш) убывает с увеличением у, т.
с. выполняется неравенство .(( ) (!'(й ). (32) 1"еомсгрический смысл условий (32) заключается в том, что характеристики, выходящие из оси х (эти характеристики «несут» информацию о начальных данных) должны пересекать линию разрыва, см. рис. 7. В этом случае разрывное решение будет устойчивым по отношению к малым возмущениям начального профиля (т.
е. соответствующее решение также мало изменится). Положение точки разрыва в плоскости у, ю можно определить геометрически, следуя правилу Уизсма: разрыв должен отсекать из профиля опрокидывающейся волны области с равными площадями (на рис. 6 эти области заштрихованы). Положение точки разрыва можно найти путем решения уравнений э(х) = бг -Р хгх, э(х) = ьг + а'гх, (33) 1'Гг "г "г 1 шгрг — ццаг = г(шг) — Г(юг) + ' / ш гК.
— ./П здесь ц~ и е определяются как функции б по форлзулам та = уг® и е = г(иг), функция е(ш) введена в (31), а ицлексы обозначают значении соответствующих величин при Ег и бг. Уравнения (33) позволяют найти зависимости в = а(х), бг = бг(х), бг = бг(х). Можно показать, что из последнего уравнения (33) следует условие на разрыве (31). 246 КВЛЗИЛННЕйНЫВ ЯЯЛВНВНИЯ ВИДЛ 3 (Х, У, Ю) Л + У(Х, У, и) Лм — — 6(Х, У, Ю) 6 у Рис.
8 Пример 6. Для уравнения Хопфа, которое соответствует 7(иб = ю в (27). условие на скачке (31) с учетом равенства Р(ю) = — юг записывается так: '"г 2 а система(33), определяющая положение положения точки разрыва, принимает вид (х) = бз + з(бг)х, л(х) ьг 1 гг(ьг)* гг(сз) ж зг(сг) г бг — бз,/„ " тле функция гг(б) задаст начальный профиль волны. Иа рис.
8 изображена формирование ударной волны, которая описывается обобщенным решением уравнения Хопфа при У(иб =-ю и образуется из уединенной волны с гладким начальным профилем (30). Большое число решений задачи Коши для уравнения (27), описывающих слияние и распад разрывов, периодические волны и другие физические эффекты, приведено, например, в кни1 ах Дж. Уизсма (1977), Б.
ЗЕ Рождественского, Н. Н. Яненко (1978), А. П Куликовского, Е. И. Свешниковой (1998). 12.1.3-4. Использование интегральных равенств Атя определения обобщенных решений. Обобщенные решении, которые описываются кусочно-гладкими (кусочно-непрерывными) функциями, формально можно ввести путем рассмотрения слелующего уравнения, представлен- ного в интегральной форме: дф дй т — ~ / '(гп — + и (п~) — ~ с(у с(х = О.
дх ду " и (34) Здесь Р произвольный прямоугольник в плоскости у,х; ф = ф(х,у) любая «пробнаяя функция с непрерывными первыми производными в Р, которая обращается в нуль на границе Р, а функция Р'(ю) определена в (31). Если ю и Р'(иг) непрерывно дифференцируемы, то уравнение (33) эквивалентно исхолному дифференциальному уравнению (27). Действительно, если умножить уравнение (27) на у) и проинтегрировать по области Р, то, интегрируя затем по частям, получим (34). Обратно, интегрируя (34) по частям, имеем И Поскольку это равенство должно выполняться Лля любой пробной функции уб отсюда с учетом соотношения Р«(ю) = 7"(гн) получим исходное уравнение (27). Однако, уравнение (34) имеет более широкий кзасс решений, поскольку допустимые функции и~(х, у) не обязаны иметь произволныс.
Функции ю(х, у), удовлетворяющие интегральному равенству (34) лля всех пробных функций уб называются обобщенными (или слабыми) решениями уравнения (27). Использование обобщенных решений удобно шзя описания разрывов, так как позноляег автоматически получать условия на разрыве. Рассмотрим решение уравнения (34), непрерывно дифференцируемое в двух частях Рз и Рг прямоугольника Р, которое имеет конечный разрыв 247 12 6 Прел«ар«тел»им« з««ачал«я первого рода на границе Г, разделяющей 72г и Пв.
Интегрируя в каждой из областей Пг и Пз по частям, из (34) получим + ) фг(уг!х+ 0 ~ + 1грг)уг)х 4- / ([ш) ду [Е(ш)) дх)ф — О, где [ю) = юз — ш1 и [)г(ю)[ = Г(юз) — Г(ю1) скачки на Г. Криволинейный интеграл по Г образован граничными членами интегралов по Пг и Пз, возникающими в результате интегрирования по частям. Так как полученное равенство должно быть справедливым для всех пробных функций ьэ, отсюда следует, что уравнение (27) справедливо внутри каждой из подобластей 11г и )2з, и кроме того, должно выполняться равенство [ю) г(у — [Е(ю)[пх = О (на линии Г).
Считая, как и ранее, что линия разрыва описывается уравнением у = л(х), получаем отсюда условие на разрыве (31). Следует отметить, что условия (32) не следуют из интеграпьного равенства (34), а выводятся из дополнительного требования устойчивосги решения. 12.1.3-5. Законы сохранения. Вязкие решения. Укажем злесь другие способы введения обобщенных решений. 1'. Обобщенные решения можно ввести с помощью закона сохранения г! Г«2 — / шну-1-г (юз) — г (юз) = О, г!х ю (35) цри записи которо1о использованы краткие обозначения: ю = ю(х, у), ю„= ю(х, уа), где и = 1, 2; функция Г(ц~), как и (31), ввалится по формуле Е(ю) = / 7'(ю) г)ю.
Равенство (35) считается выполненным для любых у~ и уз и допускает простую физическую интерпретацию: скорость изменения общего количества величины ш, распределенной на интервале (уы уз), компенсируется «потоком» функции )г(ю) через копны этого интервала. Пусть ю непрерывно дифференцируемое решение закона сохранения. Тогда дифференцируя (35) по уз, а затем полагая уг = у, приходим к уравнению (27). Закон сохранения (35) удобен тем, что он допускает и рирывные решения.
Нетрудно показать, что в этом случае должно выполняться условие на разрыве (31). Поэтому законы сохранения типа (35) иногда используезся в качестве основы для опрелелсния обобщенных решений, см., например, Р. Курант (! 964), Дж. Уизем (1977), Б.
Л. Рождественский, Н. Н. Яненко (1978). 2'. Возможен также другой подход к опрелелению обобщенных решений, связанный с рассмотрением вспомогательного уравнения параболического типа дш дз, — Ч- 7(ю) — = е,, > О. дх ду дха ' (36) дш дш даю ю =г, е)0 дх ду дхг ' (37) При этом обобщенное реп!ение задачи Коши (27), (28) (для финитного начального профиля) определяется как предел решения уравнения (36) с тем же начальным условием (28) при - » О. В работах О. А. Олейник (!957), И. М.
Гельфанда (1959) бьшо показано, что рассмозренные выше опрелсления обобщенного решения приводят к одинаковым результатам. Параметр е играет роль «вязкости» (по аналогии с вязкостью жидкости или газа), которая «разыазывает» разрыв, делая непрерывным профиль искомой величины ш. Поэтому указанную конструкцию, основанную на предельном переходе при г — э О, называют методом исчезающей вязкости, а полученную предельную функцию вязким решением. Уравнение (36) при малом е нередко используется в качестве основы для численного моделирования разрывных решений уравнения (27) [в этом случае нег необходимости в численной схеме специально выделять область разрыва]. Пример 7.
Для уравнения Хопфа (!4) вспомогательное уравнение (36) имеет вид КВЛЗНВННВЙНЫВ УРЛВНВННЯ ВИЛА г(х,р,ш) В '1 9(Х У ш) о — 11(х У ш) 248 и является уравнением Бюргерса. Решение задачи Коши (37), (28) дается формулами (см. В. Нор! (1950). Дж. Уизем (1977)); ехр [ — — Н(х, р, 0)] 40 р-0 1 х 2В ш(х, р)— / ехр[ — — Н(х, р,р)] й) 2В (38) гле Н(х, р, О) = 1 )с(0) й) -1- Г' (р- г))а о 2х (39) Рассмотрим асимптою)ческое поведение решения (39) при малых е, когда х, у, )с(у) фиксированы. При е — 1 0 основной вклад в интегралы, входящие в формулу (38), дают окрестности стационарных тачек функции Н.
Эти точки определяются из условия равенства нулю частной производной: Н = О. Отсюда ч имеем д(б)- У ' =о. (41) Вклал окрестности стационарной точки ц = б в интеграл вида ! Ц(1)) Ехр [ — — Н(0)] й! 2В прн с — 1 0 определяется помощью метода перевала (см. М. В. Федорюк (! 977, 1987), Ф Олвер (19908 и равен: !4(с)г ехр[ — — Н(с)].
|НВ(5)~ 2В Предположим сначача, чта существует только олив стационарная точка б(х, у), удовлетворяющая уравнению (41). Тогла р — 4 Г4хе ! 40 . ехр[ — — Н(х,р,б)], х ~Н (ь)~ 2» ! й), ехр[ — — Н(х,р,б)]. )) ))!" (Р)) 2е ехр [ — — Н(х, р, О)] С "." (42) l 1 ехр [ — — Н (х, у, 1))] 2В Отсюда из формулы (38) получим ш(т,р) (при  — 1 0), р — б (43) где О = б(х, у) определяется уравнением (41). Полученное асимптотическое решение можно переписать в параметрическом виде ш = э Ю, р = б -.' щ(6х. (44) Видно, что оно точности совпадает с решением (19), (20), полученным путем решения задачи Коши (14), (15) лля уравнения Хоифа) при этом стационарная точка б = б(г,!) соответствуез характеристической переменной.
Ранее была показано, что а некоторых шгучаях при достаточно больших х формулы (44) дают многозначные решения и приходится вводить разрывы. В тоже время решение (38) уравнения Бюргерса (37) однозначно и непрерывно лвя яюбого х. Деяо объясняется тем, что в таких случаях имеется сразу несколько стационарных точек, удовлетворяющих уравнению (4!), н надо несколько скорректировать предыдущий асимптотический аншгиз. пусть б и б две стапионарныс гочки, удовлетворяющие неравенству б < 5 . Каждая из них вносит свой Вкяад в решение, этот вклад определяется по формулам (42). Учитывая сказанное, из формулы (38) имеем ((р К))(х)(НВ(лг))-!7зе-д(41)7(з ) ~)НВ(л )) )уз» п(П)7(з') -1- Нп(б, )1 — )узе — д(ЕВ)l(з') ((Р— бзУ )~НВ(бг)~-"'е-гз((з)7(з' )Нл(с ) — )уг — НКПНЩ ) 4 )Нгг(( У вЂ” Нг — и!4зу(г ') ' (45) Щ(0) —" " =О.
(40) Пусть 0 = б(х,у) стационарная точка, т. с. функция 5(х,у) определяется неявно, как решение алшбраическога (или зранспенгтентного) уравнения: 121. Нредваритюьные зичечивия Из формулы (39) отсюда имеем ' =,/", (у г )г гег о ' 2з .1о 2л Поскольку и бг, и бг удовлетворяют уравнению (41), то условие (46) можно записать в виде гег (бг бт)(згЖ) 4 Р(ьг)1 .= 2 (г УгЮ йф (47) сг 1очио такое же соотношение получается путем решения задачи Коши (14), (!5) лля уравнения Хопфв (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
