В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 48
Текст из файла (страница 48)
(67) Геометрический смысл этих условий заключается в том, что характеристики, выходящие из оси х (эти характеристики «несутн информацию о начальных ланнь1х), должны пересекать линию разрыва, см. рис. 7. Условия (67) являются важными; они обеспечивают единственность и попускают существование обобшенно1 о решения. Положения пп.
1' и 2* являются следствиями интегрального равенства (65), а условия п. 3' являются дополнительными [они не выводятся из интеграчьного равенства (65)]. При отказе можно представить в эквивалентном (консерватианом) виде ди1 д — + — г'(х, у, ш) = С(х, у, ш), дх ду где новые функции введены по формулам (юс - — любое) Г" Г'"' д г'(х,гдю) = / т"(х,у„т) Ф,, С(х,у, ю) = д(х, у,ш) -1- / — '[Г"(х,уД)] 1(1. (64) "'а Далее считаем, что функции 7' и д непрерывны и имеют непрерывные первые производныс. Как было показано на конкретных примерах в разд.
12.1.2. 12.! .3, характеристики уравнения (62) в некоторой области могут пересекаться, что приводит к неоднозначности (и физической неинтерпретирусмости) решения. Поэтому вместо классического непрерывного гладкого решения приходится использовать обобщенное решение, описываемое разрывной функцией. Будем рассмазривать класс функций ю(х, у) Е К, удовлетворяющих условиям: 1'. В любой ограниченной части полуплоскости х ) 0 имеется конечное число линий и точек разрыва; вне этик линий и точек функция ю(х,у) непрерывна и имеет непрерывные первые производные. 2'. На линиях разрыва у = у(х) существуют ленью ю(х, у — 0) и правые ш(х, у+0) предельные значения.
253 121. Пред«ар«шельныв заве»пиля О 1 2 3 4 у Рис. !О от выполнения условий и. 3' можно строить различные решения, удовлегворящис положениям пп. 1', 2'. Пример 8. Рассмотрим задачу Коши для уравнения (14) с начальныч условием (23). Положим ) «~ нрпр<ух, ю,хюз (68) [юз приу>ух, Эта функция постоянна слева и справа от линии разрыва у = 1'х, на которой выполняется условие Гюгонио (66) [поскольку здесь Р'(х, у, ю) =.
жюз), н удовлетворяет начальному условию (23). Поэтому ю является обюбшенным решением. На рис. [О показаны линия разрыва и характеристики. соответствующие решению (68). Видно, что характеристики «выходят» из линии разрыва и не пересекают ось х. Поэтому решение (68) не является устойчивым, оно не удовлетворяет условиям (67) и фнзи шеки не решзизуемо. Устойчивое решение данной задачи бьшо посзросно раньше и описывается формулой (26).
Если 7" (х,, у,ю) -. знаконеременная функция, то условия устойчивости обобщенного решения несколько усложняются и записываются так: Р(х,у,ю„) — Гг(х,у,юз) 1г(е,у,ю„) — Р(х,у,ю ) ю* юз ю, — юз у=у(х) юз <ю <юз, где ю, - любое значение из интервала (юы тпз). 12.1.4-3. Законы сохранения. Вязкие решения. Существуют также и другие способы определения обобщенного решения.
1'. При С = О обобщенные решения можно ввести с помощью закона сохранения д Г"' — / зпг(у-Р Е(х,уз,гвз) — Р(хчуз,юз) = О, дх которое считается справедливым для любых уз и уз. Прн формулировке закона (69) были использованы краткие обозначения: и~ = ю(х, у), ю = ю(х, ув), где п = 1, 2. Можно показать, что гладкие решения закона сохранения (69) удовлетворяют дифференциальному уравнению (33), а для разрывных решений выполняется условие на разрыве (66). 2'. Вместо уравнения можно взять вспомогательное уравнение второго порядка параболического типа ди ди дзи — ч- Г(х,у,и) — = е,, ф д(х,у,и) (е > 0), дх ' ' ду дуз которое рассматривается с тем же начальным условием, что и уравнение (62). Обобщенное решение задачи Коши для уравнения (62) опрелеляется как предел: ю(х, у) = !пп и(х, у).
т- о Полученная таким образом функция и~ часто называется вязким резпснием. Важно отметить, что для широкого класса функций 7" и д в уравнении (62) определения вязкого решения и обобщенного устойчивого решения (см. равд. 12.1.4-2) эквивалеш ны. Опрелеление непрерывного (но неглалкого) вязкого обобщенного решения, основанного на пробных функциях и интегральных неравенствах, приведено равд. 14.1.3. 254 квлзилннейныь леввнкння видя < (х, р,в) е +9(х у в) е = А(х у и) ! 2.1.4-4. Конструктивный метод построения обобщенных устойчивых решений.
Рассмотрим задачу Коши для квазилинейного уравнения д<р д — 4- — Г(х, у. и<) = 0 дх др (70) с начальным условием в = зл(у) при х = О. (71) Считаем, что функция Г(х, у, и) имеет непрерывные первые производные по всем аргументам при х > О, — сю < у < сю и любых ограниченных и<, и вторая производная Г„,„, > О. Пусть функции зс(у) и 9<'(у) кусочно-непрерывны при любых ограниченных значениях у. Запишем характеристическую систему для уравнения (70): р',.
= Г„.(х,у,в), в,' = — Г„(х,у,в), (72) где Г, и Г„--- частные производные функции Г по аргументам в и у. Пусть функции у(х) = У(х, т,б, <7), в(х) = Ит(х, т,б. 0) являются решением системы (72). уловлетворяющим краевым условиям у(0) = <1, у(т) = 6. (73) (74) 12.2. Уравнения, содержащие степенные функции 12.2.1. Коэффициенты уравнений линейны по тп дв дв Уран«ение 76олфа. Используется как модельное уравнение нелинейной теории волн и газовой динамики, где независимые переменные х и у играют соответственно роль времени и пространственной координаты. 1'. Общее решение: или у = ахи+ Ф(в), Ф(ахи< — у, <е) = 0 где Ф и Ф .- произвольные функции.
Злссь у, 6 проязвольные числа, т > О. Будем считать, что задача (73), (74) имеет единственное ограниченное решение. Обобщенное устойчивое решение задачи Коши (70) (71) определяется формулами и<(х, у — 0) = И'(х,х, у,б (х, у)), (75) в(х,у э- 0) = И'(т,х,у,бе(х,у)), где через 6 (х„у) и бь(х,у) обозначены точная нижняя и точная верхняя грани л<ножества значений Д = бе), при которых функция Г! 1(х, у,б) = / [р(0) — И'(О, х, у, 0)) <10 (76) о принимает наимсныцее значение при фиксированных значениях переменных т, у (х > 0).
Если функция (76) принимает наименьшее значение при единственном значении 6 = 6<, то 6 =- бт и формулы (76) описывают гладкое классическое решение. Формулы (75) (76) были получены О. А. Олейник (1954), обобщение этих результатов на случай уравнения (63) было дано в работе А. Н. Тихонова, А.
А. Самарско<о (1954). Эти и другие конструктивныс методы построения обобщенных решений излагаются в книгах Б. 3Е Рождественского, Н. Н. Яненко (1978), Н. Кйее, К. Лпз, йй К. Ашппбвоп (1986). Ое .<гне<ератури к разделу 12.!.4: О. А. Олейник (1954, 1957, 1959), И. М. Гельфанд (19591, А. 1.. НорГ (1965), С. Н. Кружков (!9661, Б.
Д. Рождесгвенскнй, Н. Н. Яненко (1978), Р. 1.. 1 юпя (1982), М. Сь С<авда!!, Р.-!.. 1 юпз (1983), Н. КЬее, К. Апл, Н. К. Апшпсиоп (!986, 19891, А. И. Субботин (1991), А. !. 8нЬЬонп (!995), Л. А. Меяикян (1996), А. А. Ме1еуап (!998!. 2бб 12.2 Уравнения, содержащие с»явленные Функции 2'. Решение зада ~и Коши с начальным условием ю=!о(у) при х=О можно записать в параметрическом виде у = Е+ ар(б)х, ю = ьо®. При а > 0 и 6о'(б) > 0 эти формулы описывают классическое однозначное решение. 3'. Рассмотрим задачу Коши с разрывным началы<ым условием ( тот при у < О. ( юя при у > О. Считаем, что а > О.
оп > О, юз > О. Обобщенное решение и1! < нм! ( ю, при у/х < (гы ю(х,у) = у/(ах) при Тгз < у/х < Рз, где (гг = аю,, 1'з = аюи. ом при у/х > Ъз, Это решение является непрерывным я полуплоскости х > 0 и описывает «волну разрежения». Обобщенное решение юз > о~з. ) он при у/х < (г, (юи при у/х > 1', где 1' = з а(ю! + юз). дю д 2. — + аю — = Ь. дх ду Общее решение: Ф(ю — Ьх, аюз — 2Ьу) = О. д д 3. — + ато — = Ьх. дх ду Общее Решение: У = ахю — з абхв -1- Ф(ю — з Ьх ). 4.
+аю = Ьу, д дю д ду з и б % =7 +Ф1 — »1. м. 7,. ° ~ ") "° * дю дто +аю +Ью=О. дх ду Молельное уравнение нелинейных волн с затуханием (а, Ь > 0). 1'. Общее решение: Ф(аю -1- Ьу, юеие) = О. 2'. Решение залачи Коши с начальным условием !и(0, у) = /(у) записывается в параметрическом виде у = Е 4- — (1 — е *)/(Е), 6 Оа Литератора; Дж. Уизем (1977). ю е-ь*/(с) Это решение терпит разрыв на линии у = 1гх и описывает «ударную волну», 4'. В раза. 12.1.2 — !2.!.3 на примерах рассмотрены качественные особенности решений уравнения Хопфа (в том числе явление опрокидывания и ударные волны). Там же приведены общие формулы, позаодяющие строить разрывные решения при произвольном начальном условии. Большое число решений задачи Коши, описывающих слияние и распад разрывов, периодические волны и другие нслинейныс физические эффекты, привелено в работах, указанных ниже.
(в) Пнтеритури: Е. Нор1' (!950), Р. О. 1.ах (!954). О. А. Олейник (!954, 1957, 1959), Р. Курант (!964), Дж. Уизем (1977), Дж. Лайтхилл (!981), Б. Л. Рождественский, Н. Н. Яненко (1978), А. Г. Куликовский, Е. И. Свешникова (1998), А. Г. Куликовский, Н. В.
Погорелов, А. Ю. Семенов (2001). 256 квязилинейныв ыывнвння вилл Д(х, у, ю) о + д(х у ю) д = 6(х у |о) 12. 14. 15. 17. 18. 16 1О. а дю — + (аю + Ь) — = ею+ а, ах ар Частный случай уравнения 12.4.2.5 при 7" (ю) = пю -1- Ь, д(и~) = сю -1- 4. + (аю + Ьх) = О. дх ар Общее решение: у = ахю + фбхв -1- Ф(ю). дю дю — + (ато + Ьу) — = О. дх др 1 Общее решение: х = — !и !аю -1- ЬУ~ Ф Ф(ю). Ь вЂ” + (то + ах + Ьу + с) — = О. дю дю ах др Общее решение: Ьх = !и!а+ Ь(ю+ ах+ Ьу+ с)~ Ч- Ф(и~). дю дю — + (аю + Ьх + с) — = О.
дх ар Общее решение: ах1о+ х 4-ахи-Ф(и~) при й ~ — 1, 6 яч| у = ' Ь-~-1 пхю+6!п~х~+ сх+ Ф(то) при 6 = — 1. а дю а. +(аю+Ьх +с) =рх" +ц. ар Частный случай уравнения !2.4.1,4 при 7"(х) = Ьх" -1- с, д(х) = рх" -!-д. + (аю + Ьу" + с) = О. ах ар Частный случай уравнения 12.4.1.6 при 1" (у) = Ьу Ф с, + (аю + Ьх у) = О. дх ар Частный случай уравнения !2,4.!.5 при 1" (х) = Ьх~. аю а + ахю = Ьх.
ах ар Общее ре~нение: Ф(ают — 26у, 2ю — Ьхв) = О. аю а — + (аую + Ьх ) — = О. а. ар Частный случай уравнения !2.4.1.7 при 7(х) = Ьхл. дю а + (ахю + Ьую + с) = О. дх ар Частный случай уравнения !2.4.2.17 при 7(ю) = пю, д(ю) = Ьин 6(ю) = с. аю а (а — ю) — + (а + ю) — = О. дя. ар Общее решение: Ф(ю, х(ю+ а) + у(ю — а)) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
