В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 49
Текст из файла (страница 49)
аю дю (а1 + аяю) + (Ья + Ья ю) = с. дх др 1'. Общее решение при с = О: Ф(ю, х(61-1- Ьяю) — у(а1-1- или)) = О. 2'. Общее решение при с ~ О: Ф(пя1о 4-2а~и~ — 2сх, Ьяюв Ф 261и~ — 2су) = О. 12.2. Уроонгхня, содсрэсоине гюеггеннпге фуннннп в а (ю — ау) — + бу — = о* ау Общее решение: с(бх Ф оу) — би. = Ф(ю'у-') ( с) а(у Ь)] + [п(х — а) — !(ш — сЯ вЂ” — !(у Ь) ( ) о аиг Ох ву Уравнение винпговод поверхности и гговертносшгг гнея в~зогдення. Общее решению Ф((х — а)г Ф (у — б) Ф (и — с), 1х -1- ту -Н пю) = О.
21. г Вдо Вю (у — ) +Ьу ах ау г' Ь с Общее решение: Ф(ю у ", ею+ сх — — у дг = О. 26 [х(у+ а) — ю] + [1 — (у+ а) ] = (у+ а)ю — х. Вдо г Ою Вх ву Общее решение: Ф (х + (у -!- и) ю, х(у -1- о) -1- ю) = 0 23. аю Вю (аиг + сдх ) — + (Ьш + сгу") — = О. Ох ву Частный случай уравнения 12.4.1.16 при 2"(х) = сдхд, д(у) = сг!г". (аш+ еду ) + (Ьиг+ сгх") = О. в ау Частный случай уравнения !2.4.1.17 при 2'(у) = еду ', д(х) = сгх". 25.
12.2.2. Коэффициенты уравнений квадратичны по ш в г вю +(аю +Ью+с) = и. ах ву Общее решение: Ф(ш — вх, фош -1- фбю -1- сиг — пу) = О. Вю г о — + (адю + бдю+ сд) — = агш + Ьгю+ сг. ах ву Частный случай уравнения 1242 5 при 2(ю) = одюг -1-бгю-!-сд, д(ю) = агюг+Ьдпн-!-сг. + (аиг + Ью + сх + в) = О. ах ву Общее решение; у = х(аигд -1- Ью -1- в) -1- фсх~ Ф Ф(гдг).
Виг г Ою + (аю + Ьш+ су+ в) = О, Ох ву 1 Общее решение: х = — !п ]аю + Ьш 4- су Ч- ч] Ф Ф(иг). с Вдо г г Вю + (агиг + адиг+ Ьгх + бдх+ Ьо) = О. Ох ву Общее решение: у = х(ог хг + пг ш) + д бгх~ + хбдхг + бех. вю г г а — + (агю + адю+ бгх + Ьдх+ Ьо) — = сгх + сдх+ со. ах ау Частный сгтуучай уравнения !2.4.2.10 при )(иг) = огигг -1- огиг, д(х) = бгх -Н Ьдх -1- бо, 6(г;) = сгх -! одх + со, дт В. Ф Заапев, А д Полянин [Ь(х+ у) — с(х+ ш)] + [с(у+ ш) — а(х+ у)] = а(х+ ю) — Ь(у+ ю).
вю Ош вх ву Общее решение: Ф(ох -1- Ьу -1- его, ху -!- уш -Н хю) = О. квлзилинейные шивнзния вилл ~(х,у,ш) л +д(х,у,ш) а = 6(х у ш) а 2 2 Ош 2 — -1- (агш -1- адю + Ьгх + Ьдх + Ьо) — = сгю + сдгп + со. ах ар Частный случай уравнения !2 4 2 ! ! нри т(ш) = агюг + адш, д(х) = ьгхг Ч Ьдх ! Ьо, 6(дс) = сги '+ сди1+ со. Оид 2 2 а — + (агю + адид+ Ьгу + Ьду+ Ьо) — = О. О ду Частный случай уравнения !2.4.2.12 при Д(ш) = агшг -1- одш, д(у) = ьгуг -1- Ьд у -1- Ьо. Ою ,а — + (ю+ ах+ Ьу+ с) — = О. Ох Ор Частный случай уравнения !2.4.2.8 при Д(и) = (и+ с) . — + [агю + адю+ ао+ у(6зх + Ьдх+ 6о)1 — = сгх + сдх+ со. аид 2 2 2 Ох Ву Частный случай уравнения !242 14 при у(ш) = агш +адш+ао, д(х) = Ьгхг+Ьдс лье, 6(х) = с2х 1- сдх -1- со.
— + [у(аггп + адгп + ао) + Ьгх + Ь,х + Ьо) — = О. дю г г Ош ах ду Частный случай уравнения !24 215 при у(ш) = агю +адю Фаз, д(х) = Ьгхг-!Ьдхщьо. дш 2 дид — + [(агх+ аду+ ао)ю + (Ьгх+ Ьду+ Ьо)ш+ сгх+ еду+ со~ — = О. дх Оу Частный случай уравнения 12 4 2 17 при ((ю) = агш'+ Ьгш Фси д(ю) = о 1 юг + 61 ш+од, 6(ш) = аоюг -1- Ьою -'; со. (а + Ьх ) + (дд + )Зшю),у В ау 1'. Общее решение при аЬ ) О: Ф(дггаь ш — у агстй ( Ь)а х), 2'.
Общее решение при оЬ ( О: Ьх — лгг — оь Ф (ддг — 2аЬ од — у 1п Ь. тлг'л оЬ а'с+ з пш Уу) = О. д+-,Вдо-Уу) =О. 1 з Вю дю 2 2 х(ю + ах) — + у(ю + ау) — = ю — а ху. Ох ау Гш ш Общее решение: Ф( — + а1п !У[, — + а1п !х[) = О. ' у ах (6у — сю) — + Ьу (сш — ах) — = сю (ах — Ьу). 2 Ош 2 дш дх ау Общее решение: Ф(хую, аЬху+ Ьсуш+ асхи) = О.
(адш + Ьдю+ сд) + (агю + Ьгид+ ся) = О. г О дю дх огшг -1- Ьгш Ф сг Частный случай уравнения !2.4.2.1 нрн т(ш) = о, шг т ьди1 -!- сд (адгп + Ьдх + сд) — + (агю + Ьгу + ся) — = О, г г аш О ах Ор Частный случай уравнения !2 4 2.23 при 7(х) = Ьдх, дд(и) = а1идг Ф сд, 6(у) = Ьгу", дг(ш) = агю Ф сг. — + [аяю + адю+ по+ у(Ьгх + Ьдх+ 6о)1 — = О.
дю 2 2 Ош Ох Ву Частный случай уравнения !2 4 2 13 при у(ш) = агюг -! иди +ао, д(х) = Ьгхг+Ьдт ! Ьо. 122 Удпллненнп, епдергенюне етепенннле функяпн 20. Ь(Ьу+ сю) — а х(Ьу+ 2сю) = а хю. Ох др Общее решение: Ф(илл(Ьу+ у+ 2сил), алхл + Ьлуг — Ьс юг) = О.
21. (ах — Ьу — сю ) + 2аху = 2ахю. г г г дю Ох ор ' пхг Х аул+ еюг ю д Общее решение: Ф( ,— )=о. р р 22. Ьу(Зах +Ьу +ею ) — 2ах(ах + Ох / ахл -!- Ьяг -1- сюд йпгг -1- Общее решение: Ф!д ю ю- сю ) = 2абхуид. Ою Ор г г г Ою дю 23. 6(а ху — абутю — 6 тс ) — + аЬ(Ьхю — аху — ау ) — = Ох др г (ах у + Ьхю + Ьую + ау ахг) Общее решение: Ф(ах!+ ар + 26рю, агх + 6~иле -1-2агхр) = О. 24. ху(а ху+ 2Ь ю ) + Ьую(Ьую — ах ) — = Ью (Ьуил — ах ).
г дю г ддлл г г Ох др лю агю' а Общее решение: Ф( —, + - ' + ар) = О. р пх р 12.2.3. Коэффициенты уравнений содержат другие степени ил 1. — +(аю +Ь) — =О. дю Вю дх др Общее решение: Ф(ю, р — аю х — Ьх) = О. л, При с = О см. уравнение 12.2.3.1.
Общее решение при с ф О; нхл Ф(ю — сх, + Ью — ср) = О. я -\-! 3. + (аид + Ь) = сю" + а. о Ою о, вр Частный случай уравнения 12,4.2,5 при Дю) = аюл -1- 6, д(ил) = сил" -1- х в вр Общее решение; р = ахюн Ф н Ьх~ Ф Ф(ю), Ох др ! л. Общее решение: х = — 1п(аил + Ьр~ + Ф(ил). лд б. — +(аю +Ьх ) — =сдх +сг. дю ддс о.
Ор Частный случай уравнения !2.4.2.10 при )(и ) = аю, д(х) = Ьх", Ь(х) = сдх'" + сг. лт' 19. (адю + Ьду + сд) — + (агди + Ьгх + сг) — = О. г г О г г Ою Ох Ор Частный случай уравнения 12.4.2.24 нри Д(р) = Ьд рд, дл(ю) = адюг + щ, 6(х) = Ьгх~, дг(ю) = алю -е сл. квлзилинейные юывнвния внял Д(х,у,ю) ю +д(х,у,ш) д = Ь(х у ш) 260 О Ою — +(аю +Ьх ) — =стю +ся. Ох Ор Частный случай уравнения 12.4.2.11 при 1(ю) = аюл, д(т) = Ьх", Ь(~ю) = с~ш + сх Ою дю — +(аю +Ьх +с) — =О.
дх др Частный случай уравнения 12.4.2.9 при Д(ш) = аюл, д(я:) = Ьх -!- с. Частный случай уравнения 12,4.2.12 при у(ю) = аю", д(у) = Ьу" -н с. Частный случай уравнения !2.4.2.13 при Д(ш) = аюл, д(х) = Ьх . 10. дю Ою + (атю + Ьх у) = стх + ся. Ох Ор Частный случай уравнения !2.4.2.14 при т(и~) = аи"„д(х) = Ьх", 6(х) = с1х + ся. — + (ю+ ах + Ьу+ с) — = О.
Ою в Ою Ох Ор Частный случай уравнения !2.4.2.8 при 1(и) = (и+ с)". 12. Частный случай уравнения !2.4.2.15 при 1'(ю) = аю', д(х) = Ьх . 13. — + (ахю + Ьую + с) — = О. дю в дю дх др Частный случай уравнения !2.4.2.17 при у(ш) = аюл, д(ш) = Ью", 6(ю) = с. д л Ою — +ах у тю — =О. Ох ду Частный случай уравнения !2.4.2.20 при 1" (х) = ах", д(у) = у", 1~(ш) = юл.
Обн!се решение при и ~ — 1, п~ ф. 1: у — х' ш = Ф(ш). 1 — т' и-1-! дю Вю +ах у ю =Ьх. О. ду Частный случай уравнения !2.4.2.21 при )'(х) = ах", д(у) = ую, 6(ю) = ш~, р(х) = Ьх'. 17. (а + Ью ) — + (с + яю ) — = О. Ою дю дх Ор снеш" Частный случай ураваения 12.4.2.1 при т(ш) = а -~- !июл 18 (ах + Ьтею ) — + (су + Ьяю') — = О. дю , дю Ох ду Частный случай уравнения 12.4.2.23 при 1'(х) = ах", д1(ю) = Ьыю, 6(у) = су дя(1ю) = Ьяий. 19. Ь +ах у ю =Ью. дх Ор Частный случай уравнения 12.4.2.22 при 2"(х) = ах, д(у) = у", Ь(ш) = юл, р(ш) = Ью'.
261 121 Др>тив уравнения, оолврнсюди(ие нроиювольнив яираиюпры 21. (ах+Ьу+спд) ~ +Ь ) =1. „д'а о (, о ор,) аюь Общее решение: I = х+ Ф(у — Ьх), тле и = пх -1- Ьу+ сю. ,д си " -(-и -(- ЬЬ ( ь — -в„( ьь = нвь. в о Вх ду Общее решение: (юю — ь, ьи — .-я (=ю,, =, ° яь. дю Ою ( *';ь итищат( — ю.( юьь ить Р( =ю а ау Частный случай уравнения !2.4.2.23 при у(х) = идх, дд(ю) = 6(Я 4-сдюг. Цу) = агу, д ( ) =ЬгЛ+ ('+ * — (~" ь(нгд 'т- * 'Рьт'ь ":( — ' о ар ю Общее решение: Ф ! ю, х- -(- ид — о, 24 12.3. Другие уравнения, содержащие произвольные параметры 12.3.1. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные функции а, в 1. — +(ае +Ь) — =О. дх др Общее решение: у = х((де~и Ф 6) -(- Ф(ю).
о о 2. — + (ае + 6) — = еде + сг. Ох Ор Частный случай уравнения ! 2,4.2.2 при 7" (ид) = пе~ ' -1- Ь, д(х) = од евв -1- с . 3. — + (ае + 6) — = еде + сг. дю дид дх ду Часпдый случай уравнения!242 3 при р(ю) = пе~ -1-6, д(у) = сьев" + си. Ою а 4. — + (ае + 6) — = еде + сг. дх Ор Частный случай уравнения 12.4.2.5 при у'(ю) = под ' -(- 6, д(ю) = сь е "; сх ах оу Общее решение: у = пхед 4 фбх~ -1- Ф(ю). дх др Общее решение: х = — !п (дде 4- Ьу( 4- Ф(ю).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
