В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 53
Текст из файла (страница 53)
!4. !.1 14.1.3 (см. также разд. 15.1.1 15.!.3). 3'. Преобразование 6 = 6(х, у), О = г!(х, у), ю(х, у) = чг(х, у) и(6, О) + ф(х, у) (2) где б(х, у), г!(х, у), Р(х, у), ф(х, у) --. произвольные г гадкие функции, приводит к ураннению аналогичного вида для функции п(6,О). Преобразования вида (2) можно использовать для упрощения уравнений (!) путем подходящего выбора функций д, О, И, гр. 278 нелинейные еелвнвния о двемя незлвисимымк пвеккгвннымн квлделтнчныя по пеонзводным 5.
— — =ах у +Ьх у Ою Ою л яя-(т ах Оу Частный случай уравнения 13.3.!.3 при ((х) = ах", д(х) = Ьх™. Ою Ою л„. зли =ах е +ох е ах Оу Частный случай уравнения ! 3.3.14 при ((х) = ах", д(х) = Ьх дю дю 7. — = аю + Ьх ах ду х" Их Полный интеграл: ю = (ах+ Сг)(у+ С») -е Ь(ах+ Сг) / (ах -(- Сг)з Ою дю ах ду т (ЬС,х+ у+ С»)1 " при а ф 2, Полный инта.ркк ю = С»ехр(ЬСгх+ —,) при а = 2. у сг) (л)»тяетраряура; Э. дамке ((чбб1 Ою Ою ь 9. — — =Ах ую. Ох Оу » я (АС»и -1- с -1- С»)1 Сз ехр(АСги+ — ) с , л(-1 а~-1, при с = 6-!-1 а= — 1, ( !п~гд( при при сф2, Полный интеграл: ю = при с=2, х ег при где и= а41 '1 !п )х! при Ьф — 1, 6 = — 1.
Ол Литература: Э. Камке (19бб). дю аю Ьюз Ох ду ю+а Полный интеграл в неявном виде: х + ЬС»у + С» = Сг (2~/ю + а -(- и), где члюе + а — ч а чгааун при а > О, чгт + а, -(- чеа т а ч' — а агс(8 )/ при а(0. — а а О л 11. — — = (ху+ а)ю . дх ду 2 3 — е д» д» Замена » = и '-' привалит к уравнению вида 13.2.!.2: — — = ху + а. 2 — 6 дх ду -+Ь=ае +Ьх е Ох а, = ди ди — — = ад и-е ЬЛ х". дх ду Замена и = е л приводит к уравнению вида 13.2,1.7: 12.
— — =аю +Ьх ю, Ьф1. дю дю кхт яа Ох ау Заменаи=ю привалит куравнению вида !3.2.1.7: —,— =а(1 — 6) и+Ь(1 — 6) х . 3 — з ди ди » 2 л дт ду 2ТО 13.2 Уравпепгас садерлгащае пртавагьные параиетры 13.2.2. Уравнения вида,)'(х,у,пг) ", " +д(х,у,пг) ВВ = гг(х,у,иг) Ою дю Вю +а = Ью. о оу в* Полный ин~е~рал: ю = (Ьу+ Сг)(х+ Сг — — 1п ~Ьгу -1- Сг~). 6 — — -1- (х + а) — + Ьх + с = О.
о а Виг Ох Ву Вх Полный интеграл: и~ = Сгу — дх+ (аЬ+ ЬСг — с)1п (х+ а+ Сг~+ Сг. Полный интеграл при а ~ О: 3. 1 га = — (х+ 6)(ау -1- Сг) -6 — (агу+ (ае — сСг) !п !ау+ Сг!) + Сг. аг Полные интегралы при а = О, с ф О: ю = ~ Сг — 2с(х Ч- 6) + Сг. с при Сг>О, при Сг < О. Ь О +аху +бу = О. о оу ох 1 г 1 1 У Ф Полный интеграл; и~ = — — аху — — Сгх Ч- 26 ( ' ' -1- Сг. 2 ' 2,1 ауг -!- Сг а а яв — — +ах — +Ьх = О. ах оу Ох х дх Полный интеграл: ю = Сгу — 6 ( + Сг. / ахаХС, Вю дю авю — — +ау — +Ох+с = О. Ох ду Ох ет г — — а ахг Полный интеграл: и = х (х -1- — ) тг Сг — 26у — у г- Сг. 6г ' 6О1 Вю Вю ааю г Вх Ву +ау =Ьу ю+сху +ву.
Ох Частный случай уравнения 13.3.2.4 при Д(у) = ау', д(у) = Ьу"', Ь(у) = суы, г(у) = вуг. дю дю я Оиг — — + аху — + Ьу" = О. вх оу ох Полный интегрхс ю = -х,(у)+Ь ~ у""у + С„,(у) = ' у""+ С,. У х(у) ' 6, ! Вю Вю „дю — — +ае" — +Ь=О, Ь~О. ах оу дх Полный интеграл: ю = — (!п!Сг -1- ае '( — х) -1- Сгу -!- С . 6 з с, 10. Вю Вю Ою — — +аху — +6=0, афО.
Вх Оу о Полный интеграл: 1, 1 6 иг= — — аху — — аСгх+ — уг(у)->сг, 1а(гу) = 2 2 а 2 Р— агс1п— 1 у —,Г:с, 1п ' ,l:сг у ч-,/:сг 280 нкььинвйныв ьглвнания о двгмя нкзлвисимымя накаминными квлдглтилныа по пгоььзводным д Вю . В 11. — — + а вш х — + Ь = О, Ь ф О. вх вр В:е 2Ь а 4 С, ЬК(х)2) Полный интеграл: ю = — аксай ' ' -Ь Сьу г Сз. 12. в в . о + а в)п()лу) = Ь яш(Лх). о вр вх ЬСь а р Полный иьпеграл: ю = соя(лх) + — сов(ру) — — + Сз.
л д ' с, 13. а — + (Ьх+ су+ виь) = 1, и ~ О. дю дьо Виь дх ду дх Замена з = Ьх 4- су + яю — осгья привалит к уравнению вида 13.2.3.14: (з — Ь)(азр с; вв) = аз, Ол Псхсрстурс: ск Кальке (!9бб). в в о 14. ау — — + ю — + Ь = О. Вх др дх , — ь/ Полный иптеграп иь = (2С,х — Ьу + Сз). 2Сь Другой полный интеграл при о = — 2: пьз = 2(х — Сь)(С у — Ь). д В дю 15. ау — — + (Ьх + су + вю) — = 1, а у'= О. вх ву дх Полный интеграл: з — у -Ь С,у ' ' -Ь зс(х) при а+ я ~ О; с а — , 'я с — у()ну — Ц -Ь Сьу -Ь зс(х) при о+ я = О. 1 Здесь ьс(х) = — ъ'2ях -1- Сз при Ь = О. Если Ь ф О, то функция уь определяется неявно с помощью выражения х = Стеля — яь '(Ь1с+ 1).
дю дьо дю 16. ю — — +а — +Ью=д. дх др дх Полный интеграл в неявном виде: СС -ЬЬС„, -иЬ. =ЬЬЬп С„ЛСгЬ. 13.2.3. Уравнения вида 3 (ХьуьЮ) дх В + У(Хьуьтн) Ох + ГЗ(Хьугщ) В = Я(Хьуьтп) дьо дьо дю дю =а др дх ду Полные интегралы: и = Сь -1- Сзх -~- Сзу, где СзСз = а,Сз -1- ЬСз, =ь*+ ° * 'с,.~з.ь.. +сь, ььь = Ьх -ь оу х -г Сз.
Вю дьо дю Вю — — +а — +Ьх — = О, аьус О. вх оу вх вр ьс,*' Полный интеграл: ю = — ', -г Сьу -г Сз. 2(о -~- С,) 281 112 Уровненин, ('одерхсии(ие нроизвознные периметры О Ою О О 3. — — = ах — + ау —. ох ву о* оу ' Четыре различных полных интеграла.' ю = — [х -1- С(у) -Ь Са, 2С и( = ах[у з; «('уз + С() -Ь Сз, ю = ау [х -Ь «( хз + Сг ) + Сз, 1 1 Г г з ю = о.(ху-Ь вЂ” 71 «уиизз -6 Сг гГи-Ь вЂ” 71 «(в~ -1-С(сГ(() -~-Сз, и = х-1-у, 2,/ Г «г +ау +Ьх =О, абфО. дх Оу дх ду Полный интегрхс ' (Ь*' — †" уа) + Са. 2 С, Если аЬ ) О, то можно так определить числа о, (3, что а = хо~, Ь = хо~, причем оба раза берутся либо верхние, либо нижние знаки.
Если положить и = ух+ау, и = дх — ау, то получается уравнение вида 13.3.7.10( ю", х ии(, = ю,. х еюе. Таким образом приходим к другому полному интегралу, Ою Ою Ою Ою = х + у + аху+ Ь. Ох Оу О Оу Полный инте(рал лри а ф — 1: =* *со ь' с * ь( ст +Си+ ни+с(+с*. Ь а -(-! Полный интеграл при а = — 1: 6 ю = ху — С(х + — у + С(. С( Ою Ою Ото Ою = х + у + аху+ Ьх. вх оу о* оу Полные интегралы при а ф — 1: ю = х[ух ) ч-Сз, Ь =* а кД(+ и*+с е '((+ (е«с,+с,. а -(-! Полный интегралы при а = — 1: х у ю = — Гу — Ьх) — — -Ь Сз, С( 2 ю = ху ~ х,~ 26у -1- С( + Са, В. ( — +ах)( — +Ьу) = с.
Полный интеграл: ю = — —,', х [ах -Ь С( х «/С( — 4с) — фу[1(у -Ь С( Т- «(гС~ — 4с) Ь Сз. 9. ( — +ау)( — +ах) = Ь. 6 Полный интеграл: ю = — аху -Ь С(х -1- — у -(- Сз. с( ' дю дю Ою Ою 5. — — =х — +у — +ах+Ьу+с. ох оу ох ву Полный интеграх (* ысе+2 с ( ь †.(н((+ с!(+2 +с ° ( с*. 282 Нвлингйные ьггвнвния о двгмя нвзхвисимымя пвявмвнными квгдвгтичныв по нгоьизводным а ою дю о 10. — — +ау — +Ьх — +ох +ву =О, ах ар ах ор Преобразование 4св = а Ьг.
л=)/ — ",', Ьхг срг Лх — Л !у Лх -1- Л ьу г=ю 1- -Г ', и=, о= приводит к уравнению вида 13.2.6.4: г'„— г,', = 2сбиг. Ою Ою Ою Ою 11. а — +х +у = ю. дх Вр дх Ор Полный инте!ран ю = Сьх+ Сгу+ оСьС2. 13. дю аю + Ь(ах + Ьу) — а(ах + Ьу) + аЬс = О. Ого Ою Ох ду дх др Полный интсгРвл: ю = Сг(ЬУ вЂ” ах) '+ — (2аСьх -1- 2ЬСЬУ вЂ” с -1- С,) 4- Сг. 1 2 З)2 ЗС, 14. ( + )С „+ )=' Преобразование х = иь у =!и о, и = сг -1- о — аи приводит к уравнению вида 13.2.2.15: дг дг дг сс — — -1- (-сЬи -1- (Ь -1- 1) о -1- Ьсг) — = 1. ди до гзи Ог Литсрсьоурс: ая Камке П966), дго дю дю Вю 15. 2х — — — ю — + а — = О. Вх Вр Оу дх Полный интеграл в неявном виде: (аСЬю+ С,х )' — — аСЬ(хш+ ау) = Сгх + Сг.
2 22/2 3 2 з з 16. у — ю -1-а =О, афО. " о ор а ар Три различных полных интеграла: =су~сьсс сы ..= ' "" 1,,Г„'+.с ), С! ' ' /' сх -~- Сг 2у " о* ор о ау Полный интеграл: 1 а~=с!"' — гЬ вЂ” ь ~*+ьмь сЬ ь) ь ь +с '+ ЬЬ ' Ьь' 2дгогдюх2ого 18. (х + а) — ( — — 121 + ху — = О. о х оу ) ар Полный интеграх Сь ю = х — ' !п(х + с) + Сь + 2 Сь вхсгб —. р С, Лттй — ', С для верхнего знака, атя нижнего знака. 12. дю Ого -1- Ь(ах + Ьу) + а(ах + Ьу) + або = О. о дю Ох Ор дх ду Полный интеграт ш = — ' — аСьх -~- ЬСьу х — (сх.
-~- Ьу) (аг -1- Ьу)2 — с -1- Сг х (сх -~- Ьу)2 ! 2 2 — 'Ьс1-.Ьь».с+ь +ф* ЬЬ вЂ”. сь +сг. 283 13.2 Урооиеиип, годгрлготие произвольныг параметры а а~ Ою 19. с(ах — Ьу) — — + Ь(ах — сю)— дх Оу Ох Общий интеграл в парамезрическом виде: х = — [Ф(з) + — (2и — с+ ЦФо(з)~, 1 ю = — [хи Ф уо — (их ь — ЦФ(г)), с а + а(сю — Ьу) — = О.
вр у = — [Ф(з) -!- — (2о — и -Ь ЦФ,(я)1, 1 ( 3 ь[ м 1 з " = — (и, -1- м — Ц' . Ою Ою Г Ою Ою ) 20. тс =а(х +р Ох ду Ох др и з Полный интеграл: ю =, (Сгх -!- Сгу) -1- Сз. с с Ою Ою г Ои~ г Ою 21. аю +х у +ху =хую. ах Оу Ох ар Полный интеграл.
ггР = Сгх -!- Сгу -!- аСгСз. 22. (а + Ь)ю — — + Ьу — + ах — = О. диз Оиг Вю Ото дх Оу дх Ор аСз + Ьсз Полный интеграл: ю = Сз — „(Сгх Ф Сзу ). (а -!- Ь)С, Сг 13.2.4. Уравнения вида в + у(х,у,ю)( в ) = д(х,у,ю) 1. +а( ) =Ьу. Это уравнение описывает саоболное вертикальное падение точечного тела у поверхности Земли (у координата, направленная вниз, х время,т = + масса тела, д = 2аЬ ускорение свободного падения).
2а Г Ьу Е С! хзГз Полный интеграч: ю = — Сзх х — ( ' ) + Сг. ЗЬ а Оь Литературо: А П. Маркеса (!990). — +а( — ) +Ьу =О. Ох Ор Это уравнение описывает своболные колебания материальной точки массы гп = 1((2а) в упругом поле с коэффициентом упругости Гс = 2Ь (у - отклонение от положения равновесия, х время). г с — ьу Полный интегран ю = — Сзх+ Сг х ( йх+ Сг. а Оь 7итгратура: Ф. Р. Гаитлзахер (1966). 3.
В +а(В ) Ь "+су Частный случай уравнения !3.3.3.1 при г(х) = Ьх", д(у) = су". Полный интегра н Ь ьч.! 1 сум -!- Сг ю= — Сзхе х ~ +( ' йуФСз. Ь-~-1 г а Частный случай уравнения !3.3.3.2 прн Г(х) = Ьхь, д(х) = сх". Полный интеграл: Ьхьчч гх +! аьгхгь-1-3 2аьС хььг и)=у( +С 1+ с,'-х -!- с,. (ьхц (2ь-~з) (ьтц(ьч-2) > Ураапешт зтога типа встречаются е механике, ггзе пгренеипая х играет раль орел~ел!и и перел!синая у играет роль пространственной координаты. 284 Нелинейные у РАВнения о дВумя нъзАВисиыыни ДВРъывнными ИВ»дР»ти'|ные |ю ИРОНВВоднъю дю Хдю»2 — +а( ) =Ьх у +сх у+ях д (,др) Частный случай уравнения !3.3.3.3 при ((х) = Ьх», д(х) = сх", Ь(х) = ях". О, г — + а( — ) = й(Ьх+ су)".
Вх др Частный случай уравнения !3,3.3.4 прн ~® = ИС". Полный интеграх Ь ! 2асл ., l Частный случай уравнения !3.3.3.1 при 7(х) = Ьх»', д(у) = се~я. Полный интеграл; Ь Аа| |' сея" + С| =-С,х+ * +~' ' ' Оу+Сг. й-1-1 а, — + а( — ) = Ье + се~я. Ох Вр Частный случай уравнения !3.3.3.1 при т(х) = ЬР»', д(у) = сеЛУ. Полный инте| ран Ь„, .т са+С, ю= — С|х+ — е '+) ' | с!у+Сг. л ) а В|В+ (дю) ! л + ъ Ох Ву Частный случай уравнения 13.3.3, ! прн 1(х) = Ье»*, д(у) = суг. Полный интеграл: ср 4С А ю = — С|х+ — е + ( с!у+ СЗ. Л У а Ою г — +а( — ) =Ьх у+се~ . Вх Ор Частный случай уравнения ! 3.3.3.2 при 7(х) = Ьх", д(х) = сев*. 10. 2 — + а( — ) = Ье "у+ се ".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
