В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Вх) Вх Ву 1'. Полный интеграл при Ь ф О: ЗВЬгх -!- 6(аг. — 2Ь)у + КС, (Ь Р ас) и|— Загбг 2'. Полный и|пег рал при Ь ~ — ас: КЬС,х — (ас-!-26)С|у [(КС1)г — 46(б-!- ас)(бх 1- ср)) ю '1 1 «С, 26(б+ ас) 1261 (б 4 ас)г 3'. Полный интеграл при Ь = О: ю = С| х — " (су + 2С,') + Сг. 2аС| 4*. Полный интеграл при Ь = — ас: сг(2у — ах!х (сзу -!- 2С|г)р |с = — ' +С!.
2С| 2асС| рт / г Полный интеграл: ю=(х — — )12|С| — — у' — 1п тг — лбу+ а(ДС| — Ьу") +Сг. 2а )| а 2уг-аб 3. ( — ) +а — — +Ью=О. Вх Вх ду Полные интегралы: (ЬЧ-1-С )(р — ах -1-С ) 6(С|х-1-р-!-Сг)г аг 4С| (а+ С|) ( ) Вю тг Вю Вю я — ) + а — — + 6ю + су = О. Вх) Вх Ву бр+С! ! Полный интеграл: ю = ' ' [у — ах «- а с ( а- ря йр ,, «-СЗ1. (бр Ч С,)г В 'Вю'г 34 ' те!~( — +Ь зк«иг = т + (Вх) Ву Частный случай уравнения 13,339!7 при гг(х) = аеА", д|(|с) = ен1"', 1г(у) = Ье"'", дг(и|) = екг, 6(и|) = се' -1-к. 13.2 Уравнении содерхсын1не нроазвольньа нораььеньры ( ™) +а — — +Ьу и1=0. дх Вх ду 1 6 161 Полный интеграл: ю = —,!у — ах -~- С1)( у 4- С ).
а( — ) +6 — — =ею'. дх дх ду Полный интеграл: иь = Са ехр(Сьх -1- Сау), где аС1 4-ЬС1Са = с. ( — ) +ау — — + (Ьх+с)у = О. Вю а Вю диь Ох Вх ду Полный интеграл: абх -!- ас — 2Ь 2 ьь аС1 26у на 6 — Ь ь„~с,Ь ° . ' ь — — "° с,,ь ьеь. аь С Сьх — ' ' -1- Ст су -!- С11п )у! при Ь=О. аС1 ( ) дю та дю дю — ) + ау — — + Ьху + с = О. дх ! Ох ду ах — 2, 26у 2(ей С ) ! 2Ьу Полный интеграль иь = Сь — — ' — ' агота,! —, — 1 4- С .
а о, а! — Сь)11а ь1! аС1 Полный интеграл ю — ~ аа тдю'а д Вю 10. ( — ! + !ау+ Ь) — — + сую = О. Ох Ох ду Полный интеграл: гь1п ау + б~ — ох + Сь ) (асу — бс!и )ау 4- б! + Са) аа ю= (у — бх-1- С Ису 4 Со) 26а при афО, при а=О. Полный интеграл: 1 иь = — — х(аСьх — атС,'ха — 46) 4- Сь 1л !у( 4 — !п аСьх -1- ааСаха — 4Ь -1- Са. ас ' Оиь 'ьа ах Оиь дю 12. ( — ) + — — — +6=О. дх у Вх ду Полный интеграл: Полный интеграи = " ь.) ) — ',тьо,' — ьн: — "' ь. ь па С 1,16ха иь = — — х(аСьх — а С'х — 46! + — Сьу — 1п1аСьх+ а Ссх — 46 + Се. / 1,, 1 1 1 Ь 2 а т 4 ! 2 аС 1 1 ( — ) +у — — +х Ох ду Полный интеграл: — — х+ — ) ~С,'-— 4х ах — ' +Сз при аф1, г г., су' 2 а -.! — — 'х -Ь вЂ” / ~,/С~ — 4хь 4х -Ь Сг 1и !у! 4- Сз при а = 1.
Частный случай уравнения !3.3.6.10 при 1(з) = азл, д(х) = Ьз". с г дь зГз Полный интеграл: ю = — '+ ( ) (у — Сзх -!- Сз) а 4асз (Ою) Ою дю !з з +аю =Ью. о* о* оу Полный интеграл в неявном аиде:  — С хь(сгх -!- Сзу -1- Сз) = Л -!- Сг !и ', тле В = аСгСзю -!- С,. и 'дю з дю дю з 18. х( — ) +а — — +Ьу =О. '1О ) О Оу Полный интеграл: и = — Сгхе -1- — (у — 2ау -1- 2а )е " Ь Сз. ь з яГ с, ,о,;г о, о,„ 19. х( — ! + ау —,— = Ь.
'1а ) ох оу Полный интегрюп и = — у + Сзху + Сз. ь гг С, Другой полный интеграл при а, = 1.' 2 — — уГ4Ьх —; С вЂ” С, ,Ла(а, —,Н, с,ег, с;, а„н, с. С, и гдю'з аю о 3 20. ах( — ) — (ау+ 6) — — + су(ау+ Ь) = О. 1а*) дх ду Полный ндтеграт: ю = Сгх(ау+ Ь) + -г Сз. су- 2С, 21. (х+ у)( ) + ау — + Ь = О. Полный иитезразп С~ (х — )у — — у -!- Сз а — 1 С, зс = — — — — !п !у~ -1- Сг д с, прн а~1, при а=1.
22. ю( — ) + а — — + Ь = О. дх дх ду 1 гГз зГЗ Полный интеграл; ю = —, — ( з ) (Сзх — у+ Сз) С, Л4Сз) 298 Ннлинвйяыв зглвнвния о двгмя нвзлвисимымн пьввмвннымн квлдглтичныя по пес~заводным 13.2 Уравнения, еодерхеощие произвол ные параигетры Гдштз дю дш ш( — ) +аш — — +Ь=О. (,в г' Ох ду 9Ь ззгз Полный интезрхи ш = 1 1 (у — Сзх+ Сз) [4С,(а — С,)! 3 /Вш ья вю ао у(ш + а) ( — ) + Ьхю — — = 4сх у. дх дх Оу 23 24 Полный интегрвл в неявном виде: Внз = — 'ъ'с(Сзх' -1- Сг у ) .1- Сз.
13.2.8. Другие уравнения ( ) Ош тз Ою Ош а — + а — — + Ьу — + сх + г4 = О. ах т' дх ау вх 1 з 2 зГз Ь з Полный интеграл: ю = — — аСзх — (а С, — 4г! — 4сх)' — — у + Сгу -!- Сз. 2 12с 2а )' дшт дю дю ваш г — +а — — +Ьу — — сх =О. д ! д Ву дх 11олный интеграл: ю= — — аС1х-!- — а'С, +4ст — — у'+С1у+ !л(2зззсх+ а'С +4сх' +Сз. 1 х . з Ь з азС'-,' 3 з з 2 4 За' ' яз/с ( + +Ь- =О.
Вш )Я дю дш, дш +а— + Ье' о* о, ау оу с (а — с ) Полный интеграл: ю = — !п с Ьс(С х — у -1- Сз) ( )'. Ош ) дю дю дю Ою В ) Вх Ву В ду Се+ ЬС, 4 4 Полный интеграл, ю = Сгх — ' ' у -~-Сз. аСз +с Ь(х+ Сзу) Полный интегрхи н~ = — ' + Сз. г(1+ аС,) ( ) Ош тв Вю дю дю дш — ) + а — — + (Ьш + с) — + (рго + з1) — = О. Ох з' Ох ду а. ду р-ьс, Полный интеграл; ю = з ехр[ (у — Сгх+ Сз)1 4-сС1 — 9), р — ьс, ( (с(а — с) ( ) Вшта дю дю яВш дю — +а — — +Ьш — +ею — = О. Ох Вх ду дх ду с Полный интеграл: ш = с) Ьсг — ехр~, (Сгх — у+ Сз)1 1 [ Сг(а — Сз) г ь(с, — и)' 1 Полный интеграл: ш = Сзехр[,'г ", 1.
2Сг(а, — Сг) з ( )'+— Ош '1з у Ою дю а Ош Ох / х Ох ду х Оу а Полный интеграл: ю = — —, 1п (Сгх 4- у! 4- Сз. С, Полный интеграл в неявном ( — ) +аю — — + дх дх др С2 Полный интеграл: ю = 12 13. Полный интеграл: ю = Ах+ Сту -1- СА, 4 = — — , 'Ь -!- —.', Полный интеграл 14. 15. 1б. 17 18 19 20 НВЛИИВЙИЪ|В 1'РАВИВИИЯ О ЛВУМЯ ИЕЗАВИСИМЫМИ ПБРЕМВИИЫМИ КВАЛРАТИ'1НЫВ 1Ю ПРОИЗВОДНЫМ Ью =О. Ою !и !ю~ -!- С1 у виде: = — — х+ С1. Ью = С1 Ь(х — +у — ) =О.
дх др —,йю,в, *Р % .С, ( — ) +а( — ) = Ью — +ею +11. Полный интетрют в неявном виде: х+ С1у+ СЗ = 2(аС1 + Ц ЬВ1 х (асС2 -!- ЬЗ)юв -!- ОНС21 а( ' )'+ 6( д )'+ .. д" +.у д Частный случай уравнения ! 3.3.7. !О. а( — + су) + 6( — + сх) = Ь.
ПОЛНЫЙ ИНтЕГраЛ: и = — СХу -Ь СУХ -Ь Стд -!- СЗ, ГЛЕ аС, -1- ЬСА = К. -('..')'"('.„')'= (*'.. + '.„--) ! ЬСЗ Полный интеграл: ю = Сгх + Сау— с ( — ) + ( — ) +(х+а) — +(у+6) — = ю+с. Полный интеграл: ю = С1(х+ а) -1- СЗ(у -Ь Ь) Ч-С, + СА — с. Полный интегрюи ю = Стх -!- САу -!- Сз, где С12 + С22 = аСУСЗ. Полный интет рюп С1т .,1 'С ~тгх~ С„тР— т.,'Ю+~т|С,ОВ у'1 '""' и'С, (*;". +'„)'-.'Е:".)'+ С;"„)'+'1 =' хсоВС1 -Ь ра!ВС1 ю = ОАгсй + С2 а Перекопа к полярным координатам х = р сов д, у = р внп У, можно получить другую форму полного иитегрюта1 т+1 ас 2 ьС2 ю = а1п)( — С1 агстй —, -1-Стд-!-СЗ, гте тт )! а — 1 С 1 112 Урпвпеппа гоаерлгоюпе пртмвольпые пораиетры 21. (ау — — Ьх ) =а( — ) +Ь( ) +аЬ.
ПеРеходЯ к полЯРным кооРдинатам хиг6 = Р сов В, Ухта = Р з(гг В, полУчим УРавнение с разделяюп2имися переменными. Полный интеграл: о 2 2 2 ю = а — С~ агськ — + СгВ+ Сз, где а = р (С, — 1) — С,. С, ' ( '.. -*'."„)'=-(хя ')Г('..)' (Ф)'+'1 Переходя к полярным координатам т. = рсоа В, у = рыпВ, получим уравнение с раздедяющимися переменными. Полный интеграл (при 0 < а < 1): Г а С, о — С,! ю =Сг~ В-ра-р — '1и,' 1Ч-С2, где о = Сз — р 2 ггФСг (следовательно, должно выполняться условие рз < Сз). Полный интеграл: (СгЧС)~згь[ 3(бг+зу1 2)~при — Г.,-С2 2(С, - Сз) (х '," +.',-)' = (1 — -') ~а'( — ';. )'+ Ь'(';„)'~ Общий интеграл в неявном виде: 62.2 ! 2.2 ау асс!5, ' — 1 — агссй — = хг 1 — юз Ф(ю).
а262(1 — юз) Ьх где Ф(ю) — произвольная функция. 25. (у — — х — ) +а(х — +у — ) = Ь. д Оу Ох Оу Ь вЂ” Сз 2 2 у Полный интеграп ю = ' 1п(х + у ) — Сг агстй — + Сз. 2а т дто Ою хя дю Ото 26. (х — + у — — ю) = а — —. д ду ) О Оу ' Полный интеграл: и~ = Сгх -г Сзу х ъ'аС2С . 27. (х — +у — — ю) =а( — ) +Ь( — ) +с.
Полный интеграл: ю = С~ т -1- Сзу х аС2 -~- ЬС.„-~- с. 28. (х — + у — — ю) = ах( — ) + Ьу( — ) . Полный интеграл: з/Сзю = з/Сгх Ч- игГ у — Л, где аСг Ф ЬС2 = Аз. " (*:". + У--)'=.'(*'+ '+-'+')'Е:.) +($) +'1 Полный интеграл в неявном аиде: (х — Сг) + (у — Сз) + (ю — Сз) = и а, где Сз + Сз + Сз = — 'а 30. х (х +у — ю) =а Ох ду ду Это уравнение описывает семейство конусов, вершины которых лежат на оси ю.
Полный С2х2 интеграл: ю = — ' + Сз -1- Сзх. ау 31. (то — + х) + (тп — + у) — а~н> [( — ) + ( — ) + 1] = О. Полный интеграл: (х — С>) + (у — С>) + тл = . (тл т- О). > 2 2 СГ";Сз в> 13.3. Уравнения, содержащие произвольные функции 13.3.1. Уравнения вида " а = г(х,у,и>) а а 1. — — = ау+ Г(х). а оу Полный интеграл: тв = хуъ~2ах -Ь С> х / Г(х) л ' -1- Сз. т>2ах -1- С> г. —" " =У(х)у+д(х). а ау Полный интеграл: фх) = ~[2/ /(х) ггх ~- С>] н> = и(х) у -'; / — ' г!х -'г С>, Г у(х) з>(х) 3.
— — = Х(х)тд + д(х)у о ау По>шый инге>рал: И(х) = х [ / д(х) >Гз> -~г Сз] и> = д>(х)у ~ -г / >Гх -г С>, ьх> 1 1 1(х) и -> 1,/ Ь>(х) 4. — — = г'(х)е "+д(х)е а ау Полный интегря и д>(х) = х [ — / д(х) гГх -1- Сз] и = в>(х)е' " -1- — / >Гх + С>, ьв 1 Г Г(х) Л,/ х(*) 5. — — = 1" (х)д(у).
а а дх ау 1 Г Г!олный интеграл.' тл = С> / > (х) г!х -1- — / д(у) >!у з- Сз. с,/ 6. — — = г(ах+ Ьу). о а ах ду Полный интеграл: 1 и> = С>(ах — Ьу) * / [С, + — Дх)] >!в+ С>, аб д = ах -1- Ьу. Полный интеграл: ю = С> 1п — ' ~ / — (С,'+ вД(в)~ >Гл -1- Сз, у,> а,л ан, Г(х уь) ах оу ху Полный интеграл: — ь Г1г и> = С> 1п(х'у ) х / — [С> + — >" (в)] >!в+ С>, аь ь х=я у 302 Нвлинвйныв твьвнвния о лять>я нвзьвиоимь>мя пяввмянными квьдввтипныя по пгоизводным зоз 13.3 Уравнения, содероеищив произвольные функвии а аю 9. — — = аю+ 1'(х).
ах вр Полный интезрал: ю = (ах + Сз)(у + Сз) + (ах + Сз) / 1(х) дх (а, -» С,)з ' 10. — — = Т(х)ю+ д(х)у+ 6(х). в а вх ау Позшый интеграл: = Фх) у -» ф(х), где функции р = р(х) и ф = ф(х) определяются из обыкновенных дифференциальных уравнений Ззиз, = 3"(х)р Ч- д(т), (1) рф', =П ')ф-»6(х)- (2) Точные решения уравнения Абеля (1) для различных зависимостей г'(х) и д(х) указаны в книгах В.
Ф. Зайцева, А. Д. Полянина (!997, 2001). Уравнение (2) линейно относительно функции У и интегрируется для любых функций 3 (х) и 6(х), если известна функция 1о. В простейших случаях решения уравнения (1) имеют вид яо(х) = )' д(х)г(х+Сз при 6(х) = О, д(х) любая, 1/я Зо(х) = х[2 / 6(х) г(т Ч- Сз~ при д(т) = О, 6(х) любая. ь-1-1+3( ) яь вх ар Замена и = ю' л приводит к уравнению вида 13.3.1.9: — — = а(1 — 6) и -1-(1 — 6) 3'(х). Ои ди г з дт, ду — л аи Ои Замена и = е ' привалит к уравнению вида 13.3.1.9: — — = оЛ и -» Л ((х). Ох др 13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
