В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Ф Заапев, А Д Полянки Будем считать, что функция ю(х, у) дважды непрерывно дифференцируема в рассматриваемой области. 1'. Преобразование Лежандра вводится гак: х = И'х, у = !(гг, ю = ХИ'х + УИгн — И', Обратное преобразование Лежандра имеет аналогичный вид Х =ю, У = в„, И'= твв+уи>„— а>, Переходя в уравнении (!) к новым переменным (! 6), получим Е(И'х, И'г, ХИ'х -1- Уй!гк — И', Л, У) = О.
(! 8) Это уравнение иногда проще исходного уравнения (1). Если И' = И'(Х, 1') -- интеграл уравнения (18), то соотношения (!6) дают параметрическое представление соответствующего игпсграла и> = в(х, у) уравнения (!). Заыечание 2. При использовании преобразования Лежандра отдельные интегралы могут д(ю„ю„) пропадать, если в некоторой подобласти якобиан " " тождественно равен нулю. д(х,у) 2'.
Прямое и обратное преобразование Эйлера имеют вид х = И'х, у = 1; и> = ЛИ>х — И; где И' = И'(Х,1'); (19) Л = ю„1' = у, И' = хвв — ю, где ю = ю(х,у). (20) Переходя в (1) к новым переменным (19), получим следующее уравнение: г (!йх, У; ХИ'х — И', Х, — И'к) = О, (21) которое иногда проще исходного. Если РУ = И'(Х, 1') —. интеграл уравнении (2!), то соот- ношении (19) дают параметрическое представление соответствующего интегршга ю = ю(х, у) уравнения (1).
Замечание 3. При использовании преобразования Эйлера отлсльные интегралы могуч пропалать, если в некоторой подобласти вторая произаолная ю ь (или гиии) тождественно равна нулю. Оа Литература к ри>делу !4.1.1: В. В. Стег>апов (1958), Р. Беллман (1960), Р. Курант (1964), Э. Камке (1966), Л. Э.
Эльсгольц (1969), И. !1 11етровскнй (1970), В. И. Арнольд (1974), Е. 2апдегег (1988), !. Ееейп (1994), О. 2ей11шйег (1998). 322 НИЛИНЕЙИЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУНЯ НВЗАВИОИИЫИИ ЦИРВЯИИНЫЛ!И ОВЩЕГО ВИЛА 14.1.2. Задача Коши. Теорема существования и единственности 14.1.2-!. Постановка задача и процедура построения решения. Рассмотрим задачу Коши лля уравнения (!) с начальными условиями х = Ьг(б), у = ЬИЯ, и = Ьз(6,.
где 5 параметр (ее ( д ( 13), а Ьь® заданные функции. Решение этой залачи осуществляется в несколько этапов: 1'. Сначала определяются дополнительные начальные условия для производных: р = рс(6, д = до(6. Для это~ о решают а:и ебраическую (или трансцендезпную) систему уравнений Г(Ь г ®, Ьз ((), Ьз (б), ро, до) = О, (24) роЬЯ) и- доЬЯЮ вЂ” 1лзЮ = О (25) относительно ро и до. Уравнение (24) получено в результате подсшповки начальных данных (22) в исходное уравнение (1). Уравнение (25) является следствием зависимости ш = ш(х, у) и формулы для лифференциаза ейи = рг(х + дну, где г(х, г(у, г(ги вычисляются по начальным данным (22).
2". Решается автономная система уравнений цх Пу пш пр ид (26) 1Р 1Р р1"„-и дгт ГР -1- р1"„, г"„т д!', которая получена из (7) путем введения дополнительной переменной т (играющей роль времени). 3'. Постоянные интегрирования определяются из начальных условий: х = Ь!(8), у = Ьг(6, иг = (гз(б), р = ро(б), д = до(б) при т = О., (27) которые получены объединением условий (22) и (23). В результате находим три функции х = х(т, б), у = у(т, б), ш = ш(т, б), (28) которые дают решение рассматриваемой задачи Коши в парамегрическом виде (т, с — парамегры).
(23) !4.1.2-2. Теорема существования и елинствеиносзи. Пусть функция Г = Г(х, у,ш,р, д), с помощью которой задается уравнение (1), дважды непрерывно дифференцируема по всем пяти аргументам (в рассматриваслюй области), причем ГР + Гз ф О. Пусть функции Ьз ®, Ьг(8), Ьз(Е), определяющие начальные данные (22), дважды иепрерынно лифференцируемы по 6 причем ()г~г)~ ч- (1л~з)~ ~ О. Считаем, что функции ро® и до(с), залающие дополнительные начальные условия (23), удовлетворяют системс (24) (25).
Кролле того, считаем, что выполнено условие г5: — ГРЬŠ— ГЯ1л, ф О, в котором фигурируют функции из (22), (23) и штрихом обозначены производные по 6 При выполнении сделанных предположений, существуег единствешюе дважды непрерывно дифференцируемое решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям (22), (23). Замечание 1. Эта теорема носит локальный характер: существование единственного гладкого решения задачи Коши гарантируется лишь в некоторой окрестности линии, задаваемой начачьными данными (22) вместе с дополнительными условиями (23).
Замечании 2. Алгебраическая (или трансценлентная) система (24), (25) может иметь несколько решений (см. пример 3 в конце этого раздела), что приводит к различным дополнительным начальным условиям ддя произволных (23). Каждое из этих дополнительных условий булат порождать свое собственное решение задачи Коши (! ), (22). Замечание 3. Для нелинейных уравнений пюбальное решение задачи Коши (1), (22) может оказаться многозначным также из-за пересечения характеристик в плоскости х, у (см. пример 1 в равд.
14.1.3). Подобная ситуация подробно обсуждазась в равд. 12.1.3-!2.1.4, где рассматривались квазилинейные уравнения. 323 14.1. Преаваритшьныс заигечания !4.1.2-3. Задачи Коши для уравнения Гамильтона Якоби. Начальное условие для уравнения Гамильтона-Якоби (14) обычно формулируется в виде ю = гр(у) прн х = Е. (29) В данном случае решение задачи Коши сводится к решению характеристической системы (15) с начальным условием у=6 ю=«з(б), г)=р(~) нрн х=Г, (30) где штрих означает производную по параметру 6 14.1.2-4.
Примеры решения задачи Коши. Рассмотрим конкретные примеры. Пример 1. Требуется найти рещение уравнения дю дю аю=рч, где р=- —, «=в дз др проходящее через прямую х=-1, Ьу=-ю. Запишем уравнение прямой (32) в параметрической форме (31) (32) (33) у=6 ю=ЬЬ. Определим ро (6 н Чо (6 из системы (24), (25), которая в данном случае имеет вид: айб = РсЧс: Чо — Ь = О. Отсюда получим Ро=аб Чо=Ь. Система (26) при и = рч — аю записывается так: (34) г)х а и г(ю г(Р 4« =. — = — = дт. Ч Р 2РЧ ар ач (35) Ве регпение лается формулами (сначала интегрируются лва посяедних уравнения): Р = Сггр .
Ч = Сзе"", х = — зе "-1-Сз, Р =- — ге -~-С4, ю = з ез -1-Сз. (36) С. С С С а а а Используя начальные условия !гюлученные из (33) и (34Ц (37) х=1, у=б ю=66 рс=-а6 че-— .Ь прн т=о, определим постоянные интегрирования в (36): Ь Сг =об Сз=Ь, Сз=-1 — —, Сх=-Сз=о. а Подставляя зти значения в (36), находим рещение задачи Коши (31), (32) в параметрическом виде Ь Ь х =- — е" -1-1 — —, у = бе, гс =- Ьбезч а а Исключая параметры б и т, получим решение в явном виде; ю = (ах 4- Ь вЂ” а)у.
21 Пример 2. Получим теперь решение уравнения (31), удовлетворяющее начальному условию ю = Х(р) при х = О. Запишем начальное условие в параметрической форме * = О., р = 6 ю = УЮ. (38) Система (24), (25) для определения РОЮ и Чо(с) имеет югдг аУЮ '— Ро«с Чо Х Ю— „=.—, «.=Х'Ю ХЮ Х'(6 ' (39) Общее решение харакзеристической системы (35) описывается формулами (36). Используя начальные условна (38), (39), которые должны быть выполнены при т = О, находим гюстоянные интегрирования Сг — — а, Сз — — Х (6, Сз — — —, С4 — — с —, Сь — — О.
УЮ .. 1 У'Ю, Х(6 Х'Ю ' а Х'Ю ' 324 НЕЛИНЬЙНЫЬ УРАВНЕНИЯ С ДВУЫЯ НЕЗАВНОИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ ОВЩЕГО ВИДА Подставляя зги значения в (36), получиьз решение задачи Коши (3 1), (38) в параметрическом виде х —.— — 7 (с)(е"" — 1), р =- (е — 1) ч-б ю = 7(6)езв Х(6) а Д(6) Пример 3. Требуется найти решение уравнения (40) прохоляшее через окружность х + р = 62, ю = О. Вводя иарамстр В запишем уравнение окружности так: (41) (42) х=бшпб, у=бсоаб, ю=О. Уравнения Лля определения Лополнительных начниьных условий (24), (25) в данном случае имеют вип Ро ф ро —— и,, Ро гое 6 — В1п бро — — О. 2 З 2 Отсюда получим Уо —— еашп6, ро — — еа сов 6, Система (31) при 12 = рз -1- 92 — аз записывается так: (43) гле е = х1. дх 2(у им 49 — лт, 0 (44) 2р 29 2(рм ' 92) 0 Ее решение лащся формулами (сначала инте~рируются двв последних уравнения]: Р = С!, 9 = Сз, х = 2Сзт-1-Сз, Р = 2Сзт-! С4, ю = 2(С22 -1-С22)т-! Се.
(45) Используя начальные условия (42), (43), которые должны быть выполнены при т = О, нвхолим постоянные интегрирования С! — — а в!п 6, Сз — — си сов 6, Сз —— Ь шп 6, СА — — 6 сов 6., Сз —— О, тле е = +1. Подставляя зги значения в (45), находим решение залачи Коши (40). 141) в параметрическом виде х = (2еат-1-Ь) в!пб, у = (2еит ф 6) совб, ю.= 2а т. Исключая параметры 6 и т, запишем решение в более наглядном виде: а (х -1-у ) =(абхю) .
(46) 14.1.3. Обобщенные вязкие решения и их приложения !4.1.3-1. Предварительные замечания. В разл. 14.1.1 — !4.1.2 изучались классические глалкие решения п~ = ю(х, у), имеющие непрерывные производные цо обоим аргументам. В теории оптимального управления, дифференциальных израх и некоторых других приложениях однако часто возникают задачи, решением которых являются нспрерывныс, но нсглалкис функции, см., например, А. И. Субботин (!99!), )ч2. Н. Р!епцп8, Н. М. Вопег (! 993), А. 1. БНЬЬоз)п (1995), Л. Л. Меликян (1996), А. А. Ме!йкуап (1998), М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
