В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 62
Текст из файла (страница 62)
(62) ш(х, у) = щах [ду 4 (1, — х) ~/1 -1- дз — †], чел 3 (63) где 0 < х < Н у -- любое. Линии уровня этой функпии изображены на рис. 14. Жирной линией показано множество сингулярных точек, в которых решение непифференцируемо. Пример 2. Рассмотрим задачу с коночными данными хтя более общего уравнения Гамильтона — Якоби — -1- 'Н ( — ) =- 0 (О < х < Г,) дх ду (64) с начальным усяовием общего виг,а и = р(у) при х = Г. Справелливы следующие два утверждения; Пусть гамильтониан удовлетворяет условию Липшица (65) ,"Н(дз) — 'Н(д )1 <,д]д — д ] дяя л|обых д, д, б Н, а р(у) - выпуклая функция. Тогла вязкое репзение задачи (64), (65) имеет вил щ(х,у) = ВИР[ду + (и х)Н(д) ' Гс (д)] чип (66) (67) На рис.
13 в плоскости х,у изображены характеристики у(х,б) цри В = 2 для значений параметра б = О, 402, 4 О 4,..., 41.0. Видно, что характеристики пересекаются. В данном примере можно построить локальное классическое решение задачи (58), (59). Однако его нельзя продолжить на весь рассматриваемый слой 0 < т < С (т. е. не существует глобального классического репзения). Обратим внимание на то, что гамилыониан Н = у'1 4 дз уравнения (58) и функния, задающая начальное условие (59), являются бесконечно дифференпируемыми функциями. Вязкое решение задачи Коши (58), (59) имеет вил 14.2 Уравнения, содерзкашие к»бичеслпе нслннейностн относительно пронзнодныл 329 Здесь р" — функция, сопрякгенная функции Гш т, е. дз (д) = апр [дх — дз(х)].
.ЕВ 2'. Пусть гамилыониан 7((д) являезся выпуклым и удовлетворяет условию Липшица (бб), а функция р(у) -. непрерывна. тогда функпия ш(х у) = впр[х(у + (1, — х)1) — ()..— х)7("(1)] 1ЕВ (68) является вязким решением задачи (64), (65). Здесь функция 'Н" (2) = впр [д! — 91(д)] чен 14.2. Уравнения, содержащие кубические нелинейности относительно производных* 14.2.1.
Уравнения вида ВВ (" )2 = Г(ш,у,тп) В ~В Полный интеграл! и = (Збх -1- Сз) [у+ 1)з Г а(бх — С,) 1 462 ] 14-С,. С!уз ахз Полный инте!ржи ш = " 4- ., ф Сз. 2 2С1' За ье 1172 Г г За 1„1 — 272 Полный интеграж ш = ( х 4-Сг)) у 1 Ь( х ( х л:-С11 с(хд-С2. ' й -1- 1 Ь -1- 1 4. ( ) =ах у Вх Ву аСзз 2 ахз Полный инзегрнш ш = ' х + у 2 + Сз. Ь -1- 1 С1(о 2) 5. — [ — ) = ото+ 6х .
Вх Ву Полный интегршж пз = (2ах-1-Сз) (у 4-Сг) 4-Ь(2ах+ Сг) 172 172 1' хь Дх ,) (гох ф Сз)з(2 ' * Этот раздел написан совместно с Л. В. Лннчук. является сопряженной функцией к гамильтониану 'Н(д). Первоначзльно различные формулы для обобщенного регпения уравнения (64) с начальным условном прн х = О были получены Хопфом (Е. НорГ, 1965), который рассматривал область х > О.
Позже М. Вага, Е. С. Етапз (1984) показа~и, что решения Хопфа являются вязкими решениями. (в) Литерат»ри в разделу 14.1.3: Е. НорГ (1965), С. Н. Кружков (1966, 1975], Р. 1.. 1лопь (1982), М. О. СгапбаП, Р.-П (лопз (1983), М. О. Сгапбай, 1.. С. Ртапз, Р.
1.. 1ловз (1984). Р. 1.. )лопя, Р. Р. Еопйапн)ш (1985), Е. 14. Вапоп, й. )епьеп (!987), Н. !зйй (1988), А. И. Субботин (1991), М. О. Сгапдай, Н. 1збп, 18 1.. Еюпя (1992), Ч'. Н. Р1еш1пй, Н. М. Залег (1993), А. 1. Зпббобп (!995), А. А. Меликян (1996), А. А. Меййуап (1998), М. Вап)ь 1. С. По)сена (1998). ззо Нвлиизйныз заявления с Лззмя нззззнонмычи пзгвывниыьш овщьго вндз Уравнение (!) может рассматриваться независимо.
Если его решение получено, го решение уравнения (2), которое линейно относительно 3Ь, находится элементарно. Уравнение (1) интегрируется в квадратурах, например, в следующих трех случаях: а = О, Ь = О и Ь = и. 14.2.2. Уравнения вида Х(ш, у, пг)( О™ )4 + д(ш, у, ю) ю = )з(ш, у, ю) Полный интеграл ю = (Ь -1- аСг) т — Сз и -1- С Пз ( — ) +а — = Ьх. дх ду Полный инте!рак ю = — (Ьх+ аС!) — С!у+ Сз.
= 3 зтз 4Ь Полный интеграт ю = ( (Ьх -1- аС!) ~ !(х — Сгу -1- Сз, Полный интеграт ю = аСгх — а С,у -1- у -Ь Сз. з 3 Ь ьг1 а(Ь -!- !) ( — ) +а — = 6х" +су дю з д,„ Ох ду Частный случай уравнения !4.3.3.3 при й = 3. ( — ) +а — = Ьху +су дх ду Частный случай уравнения !4.3.3.4 при Ь = 3. Полный интеграл: ю = — (2ах -Ь Сз)' -1- Сгу. тта зтз 9а а( ) +(у — 6) дю ду ьгаа (2ах + Сз) ~ + С! (у — Ь). 3/з 9аз Полный интеграэ; ю + Ь = О. Полный интеграл: ю =, (аСгх — Ь) ~Ш + Сг !и )у! 4 С . 4аСг дю Гдютз ь — ( — ) = ах ю + Ьх у + сх дх 'т ду,) Полный интеграл: : = ур(х) + ф(х), где функция Зз(х) и р(х) определяются путем решения системы обыкновенных лифференпиальных уравнений 9з !з„ = ах !з -1- Ьх", (!) И ф„= ах ф -1- сх'". (2) 142.
уравнения, содерэсищие кнбинеские нетннейнос2аи относителнно 22ро223ноднна 332 ( — ) +аху +Ьх=О. 10. 3(аС2 -~. Ь)С~ 423 Гг Полный интеграх ю = — ' х ' — — ' -Ь Сз. 4 у ( )' а 13 3аю — ) — ау — = Ьх — су . о* ) ду Полный интегрхс ю = — 1и ~у[ —, -Р 22 (бх + Сг) 4)х+ Сз. с Сг 1 2 273 а 2ауз ( Он2 )3 дю а 3 Полный интеграл, ю = (Сгх — у -!- С2) . 4Сз 12. (а )з,а Полный интеграл; н2 = Сз ехр[хчсаС2(х+ Сгу)). ( — ) — ах" у ю — = О.
ах ау 3 Полный интеграл: юси [ '( '3: 3 + ' у и'+Сзц 2 п43 1 — т 14 ( Ою )'+,- Он2 О Полный интеграт: ю = 2 1п 2 — !л(аСг) — 2!и ~х — С2у -б С2[. 15. „га тз ато ау ю ( — ) — — +Ьу'ю=О. Ох Оу Переобозначая х ~~ у, получим частный случай уравнения 14.4.!.10 при Ь = 3. 1б. ау ел ( — ) — — +Ьу =О. Ох Оу 17. Переобозначая х у, получим частный случай уравнения 14.4.!. П при Ь = 3.
( — ) =а( — ). 3 3 Полный и2пе2рал: ю = аС,х+ аСгу+ Сз. ( — ) — а( ) = Ьх. Полный интеграл: ю = — (Ьх -1- аС2) -!- С2у и- С2. 3 3 4/3 4Ь ( ) — а( ) +Ьу+с=О. 3. Полный интеграл: ю = Сгх х (Ьу+ с-б С;)' 4-Сз. 2 ззгз 3 63Га ( — ) +аю( — ) =О. а(Сгх -1- у -~- С2) Полный интеграл: н~ = ехр|— СЗ 14.2.3. УраВНЕНИя ВИда У(х,у4нг)(" )3+у(х,у,ю)(" )' = 12(х,у,ю) 332 Нзлннзйныв згзвнвння с даяна неззвнгнмыии пегзмвнными овщвго видя а( — ) + Ью( — ) = юз 1пю.
Полный интеграл в неявном виде: ю = ехр~( з а, е+ Сз) + ( — Ь у+ Сз) ~. — гуз ззз г ггз ( — ) +аю ( — ) =О. 1 Полный интеграл: ю = ас,з ( + с, у ч- с,) ' (О, з „(О, )з Полный интсграш ю = [а(! — /с)(Сгт + С! у -1- Сз)) и Ою 3 о азю ( — ) + азу ( — ) = Ьзх + Ьзу'. Полный интеграл: н~ = / ( ' ' ) г!л + / ( ' ' ) оу -,'- Сз. /( ...- ) /(, аут 14.2.4.
Уравнения вида у(ш,у,тп)( ™ ) +д(ш,у,цз) о о — — !ь(ш,у,пз) Сз Полный интеграл ю = Сгх — ' у+ Сз. аС Ою з О,л О,л ( — ) +а — — = Ьумх Полный интеграл, ю = — (у -1- Сз)(ба л — Ьу — ЗЬСзу-~- Сз). Ь з 2 3 12аз о )з о о ( '+ + ау = Ью'. ом о* оу Частный случай уравнения ! 4.4..14 при Ь = 3, п = 1, 1" (у) = ау", д(ю) = Ью"'. ( ) + ау" ' = Ьу"ю+ сюу -1- зу'. Полный интезрал з (у) -й ф(у), где функции 1з(у) и ю(у) определяются путем решения системы обыкновенных дифференциальных уранненнй ау ьзчзз — — Ьу ьз 4- су (1) ау~ззфз — — Ьу" ф — аз~ ч- зу~.
(2) Уравнение Абеля (1) может рассматриваться независимо. Осли его решение получено, то решение уравнения (2), которое линейно относительно ю, находится элементарно. В простейших случаях решения уравнения (1) имеют внд з(у) = у" Я~'ч-С прн с=О, а(п — Й -1- 1) з !!3 ьз(у) = ~ ~ у ~ ч- Сг~ при Ь = О. го(т — й Ь1) ( — ) +ае "— — =Ье Ом о оу Частный случай уравнения ! 4.4.2.14 при й = 3, п = 1, 1(у) = аз~Я, д(и ) = Ьгз~™.
14.2.5. Другие уравнения ) о тв О, Π— ) +а — +Ьу — +с=О. о* ) ох оу Полный интеграл: та = Сгх— С13 1- аСг -~-с !и )у! + Сл. 6 а( ) + (х+ Ь) + (у+ с) = н2. Полный интеграл: ю = Сгх + Сяу 4- аС3 -1- ЬСг -1- сС2. Полный интеграл.' СЗ 23 — 3 у 3 — С2ху 3 +Сл при 26~за, 26 — За — С, 1п(у( — Сгху Г + Се при 2Ь = За. Ь ( — ) — а ( — ) + Ь вЂ” + су + с! = О. 2(асу -!- аС' и оЬС Е ад)лГ2 Полный интеграл: и~ = Сгх ' ' + Сл. Зияс (0~) 0~ 0~ Ото О~ ох ох оу о* оу С~я 4- ЬС 4- 4 Полный интеграл: ш = Сгх — у+ Сл.
аС2 -!- с ( )( "+а)=(Ь +с) Полный интеграт в неявном виде: ЬС2(Сгх 4- Сяу 4- Ся) = С2В и- аС2 2!и ~ — аСг~, 2де Я2 = 4ЬС22х 4- (;".)'+.('."„)' = '" 2~6Ь 3Г2 Полный инте2рхс и~ = (С, х + у+ Сл) 9ъ'а+ Сгт (О ) + у(0 ) +ь=о. зс, яг, з гс,'тьтггя лгя Полный интегрхп ю = ' х à — — ( ' ) у Г + Сл. 2 2 а ( д,о )3 ( диг )2 дно Ь гЛь 3Г2 Полный интеграл: и = (Сгх + у 4- Сл) 9Сг, га -!- Сг (;.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
