В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 66
Текст из файла (страница 66)
15. Нелинейные уравнения с тремя и более независимыми переменными 15.1. Предварительные замечания 15.1.1. Квазилинейные уравнения 15.1.1-1. Характеристическая система. Структура общего решения. Общее квазилинейное уравнение с частными производными первого порндка с и независимыми переменными имеет вид характеристической системы нхз ах„ 0ю З1(хы,х„,ю) у„(хы...,х„,ю) д(хы ..,х„,ю) то общее решение уравнения (1) дается формулой (5) Ф(из,,и„) = О, (4) где Ф .
—. произвольная функция п аргулзентов. 2'. Пусть Ь = Дхз,..., х„, и) — интеграл вспомогательного линейно|о однородного уравнения с (и, -1- Ц независимым переменным уз(хы...,х„ып) + + 1 (хы...,х„, ю) +д(хы...,х„,ю) — = О. дс' дь дь Тогда интеграл ю(хм..., х„) исхолного квазнлинейного уравнения (1) можно получить путем разрешения алгебраического (трансцендентного) уравнения с(хы...,х„,и~) = О (~„,. ф О) относительно ю. !5.1.1-2.
Квазилинейные уравнения специального вида. Для построения общак решений квазилинейнык уравнений с тремя и более независимыми переменными можно использовать следующий способ. Пусть известны общие решения двух квазилинейных уравнений с двумя независимыми переменными: дю дю Уравнение: — + )1(х, у, ю) — = О дх ду дю дю уравнение: — + з з(х, у, ю) —, = О щ Р ((,у.),) дх ' ' ду Зз!ось Ф(и, ю) произвольная функция двух аргументов.
Тогда общее решение «составив~он квазилинейного уравнения с тремя переменными дю д д — 1-)!(т,у,ю) + зз(х з,ю) — = О (6) дх ''' ду ' ' д» дю дзс гз(хз,..., х„, ш), Ч- Ф 1„(хы..., х„, ю), = д(хы..., зн„ю) и часто встречается в ~сории массо- и теплопсреноса, теории фильтрации, гилролинамике, химической технологии и других приложениях. 1'. Если известны и независимых интегралов пг(хы...,х„,п) = Сы ..., п„,(хы...,х .,|и) = С (2) Збб !5.1.
Првдваратвльнмв зачвчаяяя будет даваться формулой Ф(и~(х,у,ю),из(х,з,ю),ю) = О, (7) где Ф(и, и, ю) " . произвольная функция трех аргументов. Сказанное легко обобщается на случай всоставного» квазилинейного уравнения с произвольным числом переменных. Таким яге образом рассматриваются два неоднородных уравнения (5), в правой части которых стоит одинаковая функция д(х,ю). В этом случае, в качестве второго аргумента в обоих решениях (5) вместо ю будсг стоять некоторая функция ю(х, ю).
Тогда общее решение неоднородно~о уравнения (б) с правой частью д(х, ю) будет описывап ся формулой (7), где вместо последнего аргумента будет стоять функция фуцкпия чз(х, ю). Указанный способ позволяет использовать результаты главы 12, тле рассматривались различные квазилинейные уравнения с двумя переменными, для построения решений квазилинейных уравнений с тремя и более переменными.
Отметим, что общие решения в формулах (5) могут быть записаны виде, разрешенном относительно ю или ия, например, ич (х, у, ю) = Ф(ю) [в таком виде часто записывались решения, приведенные в главе 12]. Рассмотрим две формулировки задачи Коши. 1'. Обоошвнная задача Коши. Требуется найти решение га = га(хм...,х„) уравнения (1), уловлсгворяющее начальным условиям х! = 61(бг,...,бв-1), ..., х = 6 (бг,...,б -1), и~ = 6 вгоды...,б -1). (8) гдебь .-параметры (6=1,...,и — 1),6в(бм...,бв ~) - заданныефункции (т,=1,..., и+1). Геометрическая интерпретация: в (и-1-1)-мерном пространстве хг,..., х„, ю ищется решение уравнения (!), проходящее через (и — 1)-люрнос начальное многообразие (8). 2'.
Классическая задача Коша. Требуется найти решение ю = ю(хг,...,х„) уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию ю = Чв(хз,...,х„) при х~ = О, (9) где 2з(хз,...,х„) заданная функция. Классическую задачу Коши удобно представить в ниле обобщенной залачи Коши, записав начальное условие (12) в параметрическом видш хг = О, хз = бг, ..., хв вв б„м ю = чз(бг,...,бв .г). ! 5.1.1мй Процедура решения задачи Коши. Процедура решения задачи Коши (!), (8) сосюит из нескольких этапов. Сначала определяются независимые интегралы (2) характеристической системы (3).
Затем для определения постоянных интегрирования Сг,..., Св в инте~рады (2) подставляются начальные данные (8): гля(6г,...,!зв,!гв+г) = Сь, где 6ч = 6ч(бм....б, г), 6 =1,...,п. Исключая из (2) и (10) постоянные См..., Св, имеем иь(хг,...,х,ю) = иь(6г,...,6„,6 тг), й = 1,...,п, (11) где 6г. = 6я(бг,...,б г). Формулы (П) представляют собой параметрическую форму решения задачи Коши (1), (8). В некоторых случаях, исключая параметры бг,..., бв г, удается получить решение в явном виде.
!5.1.1-5. Теорема существования и единственности. Пусть коэффициенты квазилинейного уравнения (1) ут,..., 1„, д - — непрерывно дифференцируемые функции переменных хм..., х„, ю, а 6м..., 6„, 6„ч ~ непрерывно дифференцируемые функции переменных бм..., б„г.
Считаем, что выполнены неравенства: аь ~4ь ФО, аь ас 23 356 НВЛННЕЙНЫЬ УРАВНЕНИЯ С 'ГРЕМЯ И ВОЯЕЕ НЬЗАВНОИЧЫНИ ПЕРЕМЬННЫНИ 15.1.2. Нелинейные уравнения 15.!.2-1. Полный, общий и особый пыле!реп. Общее нелинейное уравнение в частных производных первого порядка с и независимыми переменными имеет вид дю Г(хь.....,х„,ю,рь, ...,р ) = О, где р» = (12) а*, ' Такие уравнения часто встречаются в аналитической механике, вариационном исчислении, теории оптимального управления, дифференциальных играх, динамическом программировании.
геометрической оптике, дифференциальной геометрии и других областях. В этом разделе будем рассматривать глалкие решения ю = ю(хь,..., хв) уравнения (! 2), имеющие непрерывныс произволные по обоим аргументам (в разл. 15.!.3 будут рассмотрены негладкие решения). 1'. Пусть ю = Б(хь,...,х, Сь,..., Св) является и-параметрическим семейством репьений уравнения (12), ьде Сь,..., С„произвольные постоянныс.
Функция (13) называется полным интегралом уравнения (!2), если ранг ма- трицы Б11 Б1 1 (14) почти во всех точках рассматриваемой области равен и. В матрице (! 4) Бь обозначает частную произволную по Сь, Б»м -- вторую частную производную по аргументам Сь и х, где Полный интеграл уравнения (! 2) часто записывается в неявном виде* Б(хь....., т., иь, Сь, ..., Сн) = О. (! 5) В ряде случаев полный интеграз удается найти методом неопределенных коэффициентов, задав подходящим образом структуру частного решения. 2'. Общий интеграл уравнения (12) можно представить в параметрическом виде с помощью полного ишеьрала (13) [или (15)), который рассмаьривается вместе с и уравнениями Сн = г(С», ..., Св 1), аБ аБ ау(с„...,с„ь) дСм дС„дС,„ где Г' произвольная функция своих аргументов. Общий интеграл в определенном смысле играет роль общего решения, зависящего от произвольной функции (вопрос о том, все ли решения он описывает требует дополнительного анализа).
3*. Особый интеграл уравнения (12) находится без испоэьзования полного интеграза путем исключения рь,..., рв из системы, состоящей из (и + 1)-го уравнения г = О, = О, ..., = О, дя дя ар, ' " ' ар„ где первое уравнение совпадает с (12). * В формулах (13) н (15) символам = обозначены разные функции. гле в функции гь = 7» (хь,..., х, ю) полставлены начальные ланные (8). В этом случае существует единственное непрерывно дифференцируемое решение задачи Коши (1), (8) [существование решения гарантируется только в некоторой окрестности начального многообразия (8)!. Ов Лиюериюури к разделу 15.1.1. В Курант (1964), Э, Камке (1966), И.
Г. Петровский (1970), 8. Квндегег (1983), РА Клуьййпйег (1998). 357 !5. !. Пувдввумгмвгьмыв занвмаммв ! 5.1.2-2. Метал разделения переменных. Ураанения специального вида. ди Ч дх,„ Г! ь„„..., в. С,...., С„Ч, „..., Ч.) = О, Функция и сощасно и. 1' содержит адлитияную постоянную С . 3'. Пусть и ураанении можно выделить дае группы переменных хг,..., тг. и хьтг,...,х, после чего оно принимает аид Г(гуг(хг,..., хь, рг,...,рь), гуг1хм †,г,...,х„,рьы .....,р )) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
