В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 69
Текст из файла (страница 69)
! 5.!.2). Все нерегулярные точки относятся к сишулярным. Пусть 23 некоторая достаточно малая окрестность сишулярной точки (к*„..., я„"). Обычно встречаются ситуации, котла сингулярные точки образуют некоторую гладкую гиперповерхности Г (размерности и — 1), которая проходит через (хг",..., х"„) и разбивает область 27 на две ЗВЗ 151. Предеараглельлые зикечатгя подобласти Рг и Р . По обе стороны от Г обобщенное решение и задается разными классиче- скими решениями и~ и пг.
] иг(хг,...,х„) !гри (хы...,,с„) е Рг. (33) ! 5.1.3-4. Вязкие решения уравнения Гамильтона Якоби. Формулы Хоцфа. Рассмотрим задачу с конечными ланными для уравнения Гамильтона. Якоби вида Н(бш ггш) О (О <1< Т) (36) с общим начальным условием ш = эг(хы...,х„) при ! =Т.
(37) Такие задачи встречаются в теории игр, см, Е. С. Втапз, Р. Б. Бопйап[б[э (1984), А, И. Субботин (1991), А. 1. БцЬЬойп (1995), А. А. Ме!Йуап (1998). Для удобства булсм использовать краткие векгорные обозначения: х = (х„...,х„), <х,х)= хггг+ +х.г., !!х[! = ьт<х,х). Справедливы следующие лва утверждения [А. 1. БпЬЬойп (1995)]: 1'. Пусть гамильтониан уловлетаоряет условию Липшигга !'Н(р) — 'й(т!)[ < Д[!р — гг![ для любых р, ц й Н", а эг(х) выпуклая функция. Тогда вязкое решение задачи (36), (37) имеет вид ш(х, !) = апр [<х, в) +(Т вЂ” 1)'Н(х) — эг (х)~, ен (38) (39) где Эг* - функция, сопряженная функции х, т. е. ;д*(е) = вггр [<х,х) — 5г(х)].
ел" которые непрерывно, но негладко, сопрягаются вдоль обп!ей границы. При перехоле через Г дщ производные обобщенного репгения —, зерцят разрыв. Будем считать, что гладкие сосэавлядхь ющис обобщенного решения ит и иг гладко доопределены во всей рассматриваемой области Р [это всегда можно сделать, см. А. А. Ме!йкуап (1998)]. Тогда уравнение гиперповерхности Г, образованной сингулярными точками, можно записать в виде равенства д(хг,...,х„) = О, где д(хг,...,х„) = иг(хг,...,х„) — иг(хг,,х ).
(34) Градиент функции д, направленный по нормали к гиперповерхности Г, находизся по формуле Тгд = 2 (д~ж — а — '-)еаю где еа„направляюнгий вектор вдоль оси хь. д д ь=г *' Возможны две си гуации. 1'. Градиент 579 направлен из Рг в Ры В этом случае справедливы следующие утверждения, см. А. А. Мсййуап (1998): А) Обобщенное решение в области Р может быть записано в вила ш = гшп[иг, иг]. В) Не существует гладкой пробной функции гд(хы..., х„) такой, что локальный минимум разности функций (31) достигается в сингулярных точках, образующих Г. С) Для однопараметрического семейства пробных функций ф(хг,...,х„) = Лпг(хг,...,х,) -!- (1 — Л)ил(хг,...,х ), О < Л < 1 (35) максимум разности функций (31) достигается в точках (хы.,., х ) Е Г.
Замечание. Для обобщенного решения типа ш = пни[и ы иг] нет необходимости проверять первое неравенство (32); второе неравенство (32) достаточно проверить только на однопараметрическом семействе пробных функций (35). 2'. Градиент Тгд направлен из Р ~ в Р . В этом случае обобщенное решение можно представить в виде ш = шах[им иг] и надо проверить лишь первое неравенство (32) на одцопараметрическом семействе пробных функций (35). Нвлинянныь уРАВнения с ТРеми и БОлея нязквиоичыии ЛИРемьннычи 2'.
Пусть гамильтониан Н(р) является выпуклым и удовлетворяет условию Липшица (38), а функция >р(х) -непрерывна. Тогда функция ю(х,1) = чпр (>р(х+ (Т вЂ” !)у) — (Х вЂ” 1)Н*(у)1, уян" является вязким решением задачи (Зб), (37). Здесь функция Н (У) — ы>Р (ч Р, 3' ) Н(Р)) . ран" 15.2. Квазилинейные уравнения 15.2.1. Уравнения с тремя переменными дю Ою а 1. — + у (х, ш) — + д(х, ю) — = Ь(х). а* ' ду ' О Общее решение: Ф(и>, из, из) = О, >де и> = ю — Н(х), Н(х) = / Ь(х) дх, и> = у — / 7" (1, Н(!) — Н(х) -1- и>) >71, из = Р— / д(1, Н(!) — Н(х) -1- и>) О!. .> При интегрировании >ю рассматривается как параметр, а выбирается произвольно. 2. — + у(х,ю) — + д(х, ю) — = Ь(ш).
дю Ою Ои> дх ду дх Общее решение: Ф(и>, и>,из) = О, где ейл Н(и ) = 31 —, .> Ь(ю) ' " д(Н(1) — Н(>л) 4 х, 1) „ из = я— =-Г Ь(г) и> = х — Н(и) "' 7(Н(1) — Н>>л) Ф х, !) из=ув - -./ Ь(!) При интегрировании ю рассматривается как параметр, а выбирается произвольно.
3. — + у(х,и>) — + д(х,ю) — = Ьг(х)ЬЯ(и>). О>л о дю Ох ду а >" дю Замена х = ( Ь>(х) г)х приводит к уравнению вида 152.1.2. Замена ю = ~ ./ Ь>(ю) приводит к уравнению вида 15.2.!.1 для ю. 4. — + Ут(х,ю)дт(у,ш) — + зз(х,ю)дг(х,и>) — = О. о дю Ою о ду о Общее решение: Ф(и>, из, ю) = О, где и> = / 7>(хю) >(х — /, из = / уз(хю) 4!х — / При интегрировании ю рассматривается как параметр. является сопряженной функцией к гамильтониану 'Н(р). Первоначально различные формулы для обобщенного решения уравнения (Зб) с начатьным условием при ! = О были получены Хопфом (Е. НорГ, 1965), который рассматривал область ! > О.
В работе!.а>ег, М. Ваго(, 1.. С. Ечапз (1984) бьшо показано, что решения Хопфа являются вяэкими решсниями. Ов Р>кмеритура к разде>у 15.1.3 Е. Нор>' (1965), С. Н. Кружков (!966, 1975), Р. 1.. Еюпь (1982), М. О. Сканда!1, Р.-> . Еюпз 1!983), М. С. Сгяпся!1, 1..
С. Ьчапз, Р. 1.. Еюпз (1984), Р. Е Еюпз, Р. Е. Зоийапийз 11985), Е. Н. Вапоп, К. 1епзеп (19871, Н. Ы>п (1988), А. И. Субботин (1991), А. 1. ЗБЬЬогш 11995), М. О. Стан»ай, Н. !АЬЕ, Р. 1.. 1»опз (1992), ЧЧ. Н. Г1епппй, Н. М. Залег (1993), А. А. Меликян 1!996), А. А. Ме1йуап (1998), М. Вапй, 1. С. !>о!сена (1998). 15.2. Кналмннейные Гранненнн 5. — + 5т(х, ю)дт(у, ю) — + [уя(х, ю) + хдя(х, ю)] — = О. д д дю дх др дх Общее решению Ф(им пг, и1) = О, где иг = / гг(х, а~) г1х — 5! нр 5 р(р»)' аз — яСз(хп) — / гг(хю)Сз(аю)г х, С (хю) = ехр[ — / дг!х,ш)г1х1. При интегрировании ю рассматривается как параметр. 6.
— + )т(х, ю)дт(у, ю) — + [х уя(х,аг) + хдя(х,ю)] — = О. дю дю дю дх ду дх Замена г1 = в' " приводит к уравнению вида 15.2.1.5: дш дш дш — Ф гг (х, ю) дг (у, ю) —, -!- (1 — и) [зз (х, иг) -1- Одз(х, гн)] — = О. дх ' ' ' др дп 7. — + Ут(х, ю)дт(у, ю) — + [е Уя(х,иг) + да(х,ю)] — = О. дю д д дх др д Замена г! = е "' приводит к уравнению вида 15.2.1.5: дш дш дш — -!- 2г (х, ю)дг (у, ю) — — д [(з (х, иг) -1- гздз (х, н~)] — = О.
д ' ' др ' ' ' дп 8. — + [)з(х,а) + удз(х,ю)] — + [)а(х,аг) + яд (х,а)] — = О. дю дю дю дх др дх Общее решение: Ф(иг,из,ги) = О, где аг = рСг(х, н~) — / зг(х,ю)Сг(х,ю)дх, Сг(х,ю) = ехр[ — / дг(х,ю) г1х~, иа = яСз(х, ш) — / уа(х,ю)Сз(х,иг) ггх, Са(х,ю) = екр[ — / дг(х,ю) г!х]. При интегрировании ю рассматривается как параметр. 9. — + [у уз(х, ю) + удг(х, иг)] — + [х" уа(х, ю) + хдя(х, ю)] — = О. дю дю о д др д Преобразование 5 = р' ', г1 = х' " приводит к уравнению вида 15.2.1,8: — + (1 — Й) [5г (х1 ш) + Сд!(х, ю)] — -!- (1 — и) [зз(х, ю) + 7!дз(х, 'ш)] — = О.
днг дш дш дх дй дц 10. + [е нзт(х,ю) +да(х,ю)] + «ен'За(х,ю) +да(х,ю)] = О. Преобразование б = е ", О = е д приводит к уравнению вида 15.2.1.8: — — о[гг(за ю) -1-бдг(х, ю)] —, — Д[Ях, ю) + пдз(х.ю)] — = О. дш дш дш дх д( ' '" дп П. + [у унз(х,ю) + удт(х,ю)] + [ед'уа(х, ю) + да(х,ю)] = О. Преобразование б = р' и, г! = е в' приводит к уравнению вида 15.2.1.8; дш дш днг (1 к) [г1(х 'ш) + сдг (х ю)] гг [5 2(х ю) + цдз(х, ю)] = О. д* ОЕ дп Нелиньйныя РРАВнения с ТРеия и Вояеь ЯЯНАВггОииыыи ПЕРеменныии а дю д 12.
— + д"(агх + Ьгу, го) — + д(аах + ЬЯЯ, ю) — = О. ах ду а Общее рельсине: Ф(иг, иг, ю) = О, где гег яг иг =х — / бг = агх Ф Ьгу (Ьг ф 0), аг 4 Ьг) (Е, ш) Г12 РЬГ иг = х — /, б2 = а2х -~- 622 (ЬЯ ~ 0), ,/, аг 4 62д(г, ю) сг, с2 любые. При Ьг = 0 или 62 = 0 можно использовать формулы 1 2 иг — — у — — / )(ьг ю) аге, иг = 2 — — / д(1, гс) г)1. аг .г а2 22 13. + 1"(у+ ах,ю) + д( —,ю) = О. Общее решение: Ф(иг, иг,ю) = О, где — .=/' Р'* ДЬ гГЕ иг = х — , .и2 = — 1п)х(,. г(г,ю)-на ' „г, д(ь,ш) — ь сы сг — любые.
14. — +Л" ( — ',ю) — +д( —,ю) — =О. дх х ду х дх Общее решение: Ф(гьг, иг, ю) = О, где ГР~* Ж г2г 41 аг = / — 1п(х)г иг = / — 1п(х(, ((ь, ш) — г ' /ь д(г, ю) — с а,Ь любые. — + е Ру(хс ", ю) — + е~'д(хе~ г ю) — = О. дх ду дя Общее решение: Ф(иг, иг, ю) = О, где сг, с2 любые. 1б 41 /'*"' аг — 1п(х~, иг = / — !и )х(, Г)агь(Г ) 4 1) ' д,2 Г)дгд(Ь, ) -Ь 1) 17. — + Н™Х(хе™,иг) — + е и д(хеп,ю) — = О.
д ' ду д, = Общее решение: Ф(иг, иг, ю) = О, где иг = / гг, с2 — любые. ггь -à — 1п ~х(, иг = — х, Р..„Ц вЂ”,/ „ь ш„,Ф Общее решение: Ф(иг, иг, ю) = О, гпе ь ,Я и=/'„' ' ггь Ь(а 4 ЬГ"(Ь,ш)) сг, с2 —. любые. 18 г11 Ь(гг -1- ид(г, ю)) Общее решение: Ф(иг, иг, ю) = О, где "Р ае г11 и,! . =/' — 1п (х(, и2 = — 1п )х(, дтУ(Ь, ш) 4 и) ' дь брд(Ь, ю) -~- й] а, Ь -- любые. В22 Квавгюмнвйныв > равнемнв 19. — + е ~ У(уе,ю) — + е ~ д(хен,ю) — = О.
ах ду ' а Общее решение: Ф(а>, иа, ю) = О, где в>! д(сю) ~д! сг, сз любые. дю 1 ь о Ою 1 л Ою — + — У(х е о, а>) — + — д(х е, а>) а* х ду х дх Общее решение: Ф(им и, ю) = О, где ог и> =, — 1п(х(, г(а -ь оПО ю)) сы са . любые. 20 дг — !п)х), !1и а Вд(с ю)) 21. У(х, а>) + д(х, а>) + !г(х, ю) = О. дю аю дю дх ' Ву дх Общее решение: Ф(и>, ия, ю) = О, где д(х,ю) ! В(х,ю) а1 = у — >> в!х, 'из = х — >>, ввх. Дх, ю) У(х, нб При интегрировании ю рассматривается как параметр. 22. У(х,а>) + д(у,ю) + Цх,ю) = О. Общее решение: Ф(а>, из, ю) = О, где -/', =/' Му /' Нх /' в!о в>х и>= — 1, ия= ! При интегрировании ю рассматривается как параметр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
