В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 73
Текст из файла (страница 73)
3'. Пусть Ь/ = Ь/(х), йз = Ьз(х) — произвольные функции, а функции д,/ — — д,/(т) описываются формулами (4). В этом случае общее решение линейной неоднородной системы уравнений (1), (2) можно получить методом вариации постоянных или с помощью детерминанта Вронского (см., например, О. М. Мцгрйу (!960), Э. Камке (1976), Р. Клнй!/пйег ( ! 998)].
16. + )тз(х)( ) + эзг(х) + Хгг(х)( ) = д(х)ю+ /ггз(х)У + /ззг(х)ух+ /ьгг(х)х + /зт(х)У+ /ег(х)х+ /зо(х). Частный случай уравнения !5.8.1.10. Полаый инте/рал ищется в виде ю = р (х)У + р/з(х)!/з+ У г( )г + о/( )у+ Ъ/л(х)з+ фо(х). Подставляя правую часть этого выражения в исходное уравнение с частными производными, для определения функций /рн,п(х), ф/я(х) получим систему обыкновенных лифферснциальаых уравнений. Если асс Ьи (х) = О, то можно гюложить гон (х) = О.
дю Вю г дзо дю дю дю 17. — +5/д(х)( — ) +~зг(х) — — +угг(х)( ) +[Уз/(х)У+для(х)х~ — + дх ду ду дх дх ду дю +[» (*)У+д ( )4 = (*) +й (: )У+йг( ) +йо(х) дх Частный случай уравнения ! 5.5.4.5. 1'. Полный интеграл: 384 Нелинейиыя РРАВияния с ТРями и БОлея ньзАВИОичыни ЛЯРемьннычи 18. — + и» у(х)( — ) +и» д(х)( — ) = Ь(х)зо. А-1-1 Замена и = ш приводит к уравнению вида ! 5.5.1.7: й -!- 1 — Ч-7'(х)( — ) и-д(х)( — ) = (1»+1)Ь(х)и. 19. — + Зн" Зат(у) ( — ) + и Ьгзг(Х) ( — ) = аи»"т + д(Х)те. Замена и = ш приводит к уравнению вида !5.5.1.10 при Ь(х) ив я 0: Ь-1-1 к -1- 1 — -Б 11(у)( — ) -1-2!»(»)( — ) = О(К-~- Ц и, -Б (7»-1- Цд(х)и.
28. — + 21(у)дт(зо)( — ) + уг(х)дг(то)( — ) = О. Полный интеграж х+ ! Р!С»дз(ш) + С»дг(ш)~ »!ш = С1 1 + Сг ! + Сз г з ! 4р Г а» ~ ,у-,(д) ~ .х( ) В произведениях функций 1191 и (гдг пола!алась, что 11, !з > О, а д1, дз могут быть любого знака. 21. — + 21(у)дт(ил)( — ) + 2г(х)дг(то)( — ) = Ь(ю). Полный интелрал: пд /' 4» )' 2р(ш) дш х+ С / С,/,l + 'г + = Сз, У71И . 'А1*1» т а11 1 1 гпе 1р(ш) = С»91(и) -1- Сг »д»(ш).
22. — + [дз(у) ( — ) + дг(х) ( — ) — Ьт(у) — Ьг(х)] = О. Уравнение Лауацыя. Встречается в задачах механики (х -- время, у и» - обобщенные координаты. Полный интсзрал: и1 = — Сзх+ 1 (з) Патералиура. Б. Н. Березкин П968) 23.,(т(х) ( — ) +(г(У) ( — ) + газ(х) ( — ) = дт(х) + дг(У) + дз(х). Полный инте! рще [ 91(х) .1. С1 ] Р(, / [ д»(д) 9 С» ]»( / [ дз(») — С1 — ! г! Р! + Сз 24. ~1(х)( — ) + ~я(у)( — ) + (дт(х) + да(у)~( — ) = Ьт(х) + Ьз(у) К частному случаю этого уравнения сводится задача о движении материазьной точки, притягиваемой двумя неподвижными центрамн по закону Ньютона (см.
П. Аппе»ль (1960)). Полный интеграл.' ш = С1» З- С» ~ / Знаки перед интегралами можно выбирать независимо. 155. Немтейные уранненнн е трели неременными, еодерэноизне нронзеолвные функ~Гни 385 25. Уг(х)( ) + Уг(у)( — ) + Уз(х)( ) = аю+ дг(х) + дя(у) + дз(х). Частный случай уравнения 15.8.1.17 при и = 3. 2Ь.
У (: )( — ) +У (р)( — ) +У ( )( — ) = [д (х)+д (р)+д ( )]Ь(ю). Замена и = 1 приводит к уравнению вида 15.5.1.23: .I' (д ) (д ) (О ) 27. У(ах+ Ьу+сх)( ) +д(ах+ Ьу+ох)( ) +Ь(ах+Ьу+ел)( ) = Ь. Полный инте!раж ю = Сгх Ф Слр -1- Сзя Ф За(4) -1- Сы 8 = ах -1- бр+ сз, гле ю=) '"""'"' о"'~лг, ее=ел(в+еив+.'аргу 2РЮ С(~) = 2ас! У(Д) + 2ЬСзд® + 2ссзЬ((), Н® = С, У(5) + Сззд® + Сззй(Я вЂ” Ь. Одну из постоянных Сг, С, Сз можно положить равной единице.
У (: )д ( )( ) +Уя(у)дз( )( — ) +Уз(х)дз( )( ) =Ь( ) Полный интеграл: Одну из постоянных Сг, Сь Сз можно положить равной единине. Г Ь(х) — С С. У(. ) Полный интеграж ю = Сгу+ Сиз+ 11 ' л ггх+ Сз. с, с у( ) Ого Онл Ою Ою 30. У(у) — — + д(х) — — = Ь(х). дх ду дх Оя Полный июеграл: н~ = ( Ь(х)Их+С! / +Сз / +Сз. с! +Си / ' / Х(р) г р(з) Ою д дю дю Вю дю 31. У( ) — — +д(у) — — +Ь( ) — — =Во дх Ор дх дх ду дя С г' с, г Полный интеграл: ю = Сг / Ь(х) ггх — ' Г д(у) ггу-У вЂ” '21 У(з) гЫ-Сз.
Сз 1! Сз 15.5.2. Уравнения со степенной нелинейностью по производным — — — = У(х)д(у)Ь(х). дю дю Вю Вх ду Вх 1 Полный интеграл: ю = Сг у! у(х) ггх-у Сл у! д(р) ггр Ь, / гг(з) "з+ Ст' с,с,у г. = У(х)д(р)Ь(х)р( ). Полный интеграт: ,:,,Г' — Сг У(х) е1х -У Сз д(гр) ОР -1- Ь,(з) Оз Ф Сз. зэ В. Ф. Звяиев, А д Полинин Нелинейныя уРАВнения с тРемя и яояее ЯЯЯАянсимыыи пеРеменными ('..)' (:„)' (:.)'= (х' ' .')(х'..":„"..)' 1'. Переходя от переменных х, у, з к сферическим коорлинатам г, В, ЗР по формулам х = гя!НВ сову, у = гетпдя!ззез, з = гсояд., приходим к уравнению Полный иитезрал этого уравнения изцется методом разделения переменных в виде суммы функций, зависящих от различных перемснныя.
2'. Полный интеграл при Ь = 2: Сз ю = Сз / -> ~ С,' — .' е!В+Сзу+Сз. — я!и В ;. +а(',у)" +Ь(',,) =И*)-+д(*) Полный иитегря е ю = СЕР(х) -1- (Сзу -Г Сзз)Г(х) -> Г(х) / [д(х) — НСЕЯГ~(х) — ЬСЯЯГ'(х)) * Г(х) ' где Г(х) = ехр[/ )(х) г(х]. 5. + ат( ) + аз( ) + ЬЕГ(х)» + ЬЯЗ(х)у = РА Полный интеграл: ю = у~рз(х) + з з (х) — / [азчз,(х) + оз!Рз (х)) пх Я'- Сз, где !Яз(х) = СзЬЯ ехр [Л /,Г(х) Р!»] + СЕЬЯ ехр[ — Л / з(х) е)х], Л = ъ4ЕЬЯ, юз(х) = — СЕЛ ехр [Л / ! (») Рзх] + СЕЛ ехр [ — Л ) Г(х) Ргх].
6. + Гз(х)( ) + дгя(х)( ) = д(х)ю+ Ьг(х)у+ Ья(х)». Подный интеграл: ю = С(т) [уззз (х) -~- » рз(х) ч- ф(х)~, где С(х) = охр[/ д(х) дх], езз(х,) = Сз -~- ! Вх, езг(х) = Сз -1- дх, !П(х) Ьз(х) .) С(*) ' ' ' / С(х) ф(х) = Сз - 1М»)С" '(х) ~(х)- Ь(х)С"-'(х)д з(х)1 дх. + д(х)( + а») + д(х)( + ау) = Гз(х). Полный интезрал: ю = — ау + Сз у Ч- Сз» + / [Ь(х) — СА Г(х) — Сз д(х)~ Р)х + Сз.
+ д(х) ( + а») ( + ау) = д(х). Г!олпый интеграл: ю = — ау» + Сз у -1- Сз» я- / [д(х) — С, Сз ! (»)] е)я + Сз. 15.5 Ггегинечныетравненин с нгрезы оервленныли, содеранаигив нроизвоаиные фуннгГии 387 9. 5г(х)( ) + уз(у)( ) + уз(х)( ) = дт(х) +да(у) +да(х). Полный интеграл: П""'С'Г"' П"'"""Г' П"" " "~" "" . (")"(';) (', ) =х(*)д(у) (.) (-) Частный случай уравнения 15.8.2.4. 15.5.3. Уравнения с произвольной зависимостью от производных 1. 5г(х)( ) + зг(у)( ) + [дг(х) + дг(у))в'( ) = Гзг(х) + Ггг(у). Полный интеграл: ГГ Ь (х) — Р(Сг)дг(х) Ч- Сз 1г!я ГГ Ьг(у) — Р(Сг)уг(у) — Сз 1 1'г(х) гг(у) 2, — + 2'(х)р(атт+ — ) +д(х)си(1Ьх+ — ) = Ь(х).
Полный интег рал: го = — ~ [Г(Сг)~(х) -Ь С(Сг)д(х) — 6(х)~ дх — фау — фбг Ч- Сгу+ Сгг -Ь Сз. д~ +гв( )р( зуго)+ ( С[ диг) 1'. Полный интеграл при а ~ 1, Ь ~ 1: = — /[Р(сг)Г( )+С(С,)д(х) — Ь(х))4х+ С' ' "+ С" у' '+С,. 1 — а 1 — Ь 2'. Полный интеграл при а = 1, Ь ~ 1: го = — [ [Е(Сг)1(г:) + С(Сг)д(х) — 6(х)) с)х+ Сг 1п )з! + ' у' + Сз. 1 — Ь 3'. Полный интеграл при а = 1, Ь = 1: и~ = — ~[Г(Сг))(х) + С(СГ)д(х) — 6(х)] с)х + Сг 1п ф + Сг 1п ~У[ -Ь Сз.
+Л )К(Ьу+ )+д(*)а[ ™) =й(*). 1'. Полный интеграл при а ф 1: го = — ~~ЯСг)Я(х) -Ь С(Сг)д(х) — 6(х)) Г(г' 4- ' г' ' — — у -Ь Сгу ~- Сз. 1 — и 2 2*. Полный интеграл при а = 1: го = — /[К(Сг)Д(х) + С(Сг)д(х) — 6(х)) Нх + Сг 1и [г[ — — у + Сгу+ Сз.
2 5. ( ) + р(х) + 5(ж)Р(ау+ ) +д(х)Си(Ьх+ ) = Гз(х). Полный интеграл: го = — [ — р(х)+ Р (х) — 4тс(Сг)1(х) — 40(СГ)д(х)+ 46(х) ~ Нх— 2,/ а г 6 — — у — — - Ь Сгг+ С уЧ- Сз. 2 2 388 налинейныя уРАВнения е ТРяия и Воиея незАВноимыыи нггтеиенными ( — ) + Р(х) — + У(х)Г(у — ) + д(х)С(х — ) = Цх). 1'. Полный интеграл при а ~ 1, Ь ф 1: 1 г Сггг з СЕРР х = — / [ — р(х) 4- рг(х) — 4Г(СЕ) УУ (х) — 4С(Сг)д(х) г'.4Ь(х) ] Р4х+ г + г -1-Сз.
2 1 — Ь 1 — а 2'. Полный интеграл при а ф 1, Ь = 1: 1 г Сгуг = — /[ — р( )+ !Р(х) — (СМ(, ) — С(СР)д(х)+4Ь( )]г!х Сг! ~ ~+ гу — С. 2 1 — а 3'. Полный интеграл нри а = 1, Ь = 1: иг= — / [ — р(х)-1- ра(х) — 4Г(СЕ)/(х) — 4С(Сг)д(х)-~-46(х)]г!х4Сг!п~гН-СЯ1п ~г2~4Сз. 1 Г 2,/ ( ) + р(х) — + 1(х)Г(ау+ ) + д(х)6(х~ — ) = Цх). 1'. Полный интеграл при Ь ф 1: ш = — [-р(х) + рг(х) — 4Г(СА)г (х) — 4С(Сг)д(х) + 46(х) ] Р(х + 2 .Г + ~ — — уг -1- Сгу -1- Сг, 1 — Ь 2'. Полный интеграл при Ь = 1: гн = — / [ — р(х) и- рг(х) — 4Г(СЕ))(х) — 4С(Сг)д(х)-Ь 46(х)] дх+ 1 Г 2,/ -1- Сг 1п ~г~ — — у -1- Сгу -1- Сз 2 15.5.4. Нелинейные уравнения общего вида — +Г(х — — ) =О дх ду дх Полный интеграл; и) = Сгу + Сгг + Сз — / Г(х, Сы Сг) Р(х.
д Г д д» 2. — + Г(х, —, — / = аиг, дх ду дх Полный интеграл: гн = е" (Сгу+ Сгг+ Сз) — е'"*/ е '"Г(х, Сге", С е") г!х. Полный интеграл: ю = фх)(Сгу+ Сгг+ Сз) — зг(х) / Г(х, Сгр(х), Сг~р(х)) гг(х) тле фх) = ехр[/ д(х! Р(х). + Г(х, †, ) = д(х)ие + (зт(х)у + гзг(х)х. Полный интеграл: ю = гур(х) -ь гй(х) + А'(х): тле р(х) = СУС(х) -Ь С(х) ~ ггх, РЬ(х) = СгС(х) -Ь С(х), г4х, ,г С(х) ,Г С(х) у(х) = СзС(х) — С(х) / Г(х, И, й), С(х) = ехр [/ д(х) е!х) . С(х) 15.5.
Нетпейные урпененип е трели перстенными, содергниюие лкнлизеильннге 4линн~щи 389 5. — + [~тг(х)у+ 2тт(х)х+ ~го(х)~ — + дю д дх ду +Г(х,—, ду ~~гг(х)у+ Хгт(х)х+,6о(х)1 — + дю дю — ) = д(х)гп + Ьт(х)у + Ьг(х)х. дх Полный интегрш~ ю = уилл(х) -Ь гога(х) + ф(х). Здесь функции ун(т), игг(х), л(л(х) нахолятся путем решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений рг + ((лг — д)'рг + Ьгугг = Ьг, (1) тлг -! гглзгг -1- (ггг — д)згг = Ьг, (2) ф дт г~гоьог — ггофг — лл(х, Згл, Згг), (3) тле г"л = ~л(х), д = д(х), Ьь = Ьг(х);штрих обозначает производную по х. После определения функций рг = рз (х) и угг = 1ег(х) из линейной системы уравнений (1) и (2) решение уравнения (3) находится по формуле их ф(х) = СзС вЂ” С / (г)ло рг .1- Ьо9гг + лл(х, грг, рг)~ — ', С = ехр(/ де(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
