В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Г1. Маркеса (!990). 153. !!елпнейные урипненпп второй спилено относитепино проиюодннп с трепп перененныти 373 29. — +ау ю ( — ) +Ьх"ю'( ) =О. иСг „, ЬС... 2С, г-и 2С, г-. 1!олный интеграл: х -г ю»- — "го' = — у '- ч- г - '+ Сг. гп ! 1 з -1- 1 2 — й' 2 — и 30. + ау ю ( ) + Ьх"ю'( ) = сюп. Полный интеграт: з»- 2»г)ю) Ыа 2С» г ~ 2Сг .! гз г !Сз, , »ттззги» где Р!ю) = асг нг" »- ЬСггю'. 31. х +и( ) +Ь( ) =ох иС» -1- ЬСг с Полный инте!рак нг = С!у+ Сгз — "' х + х" " + Сз. ! — й и — й -~-! 32.
ю +а( ) +Ь( ) =ею . Полный интеграз; 1п)г»г~ = »с — аС,' — ЬСг)х+ С!у -1- Сиз+ Сз. 15.3.2. Уравнения содержат квадраты трех производных ( )+Ь( )+ ( ) =2. г г Полный инте!ран ю = С»х+ Сгу+ Сзз+ Са где исг + ЬСг + сСз — — 1. Оп Литература. Э. Камне !!966). 2. ( ) +( ) +( ) =ах +Ьу" +сх Частный случай уравнении !5.5.1.23. Полный интеграл: »=) /'7+с»*+) Д.
с,», ) ' °:с,-с,».+с, 3. п(О ) +Ь( ) +с(О ) =ю". Полвый интеграл: 2 2 — й гп г = С»х + С!у -!- Сзз -1- С», где псгг +Ьсггд-сСзг =! 4. а»хи' ( ) + агу~'( ) + азх '( ) = Ьтх ' + Ьгу ' + Ьзх з. Частный случай уравнении 15.5.1.23 при у» !х) = агхп', уг»у) = агу~и, уз!з) = пзз»', дг(х) = Ьгх'", дг(у) = Ьгу"', дз! ) = Ьзз ". Частный случай уравнении 15.5.1.26 прн у»!х) = а»хи», уг»у) = агупг, уз!з) = азгг'", д1 »х) = Ь!х"', дг(у) = Ьгу"', дз!з) = Ьзз"', Ь!»о) = ю аю г дю г Ою г 5. агх '( — ) + агу '( — ) + !Ьгх"т + Ьгу г) ( — ) = сдх ' + сгу Частный случай уравнении 15.5.!.24 при у! !х) = а!х»', 7г(у) = агу"', д»!х) = Ь|х"', дг(»2) = Ьгуп', Ь»!х) = сгх'"', Ьг»у) = сгу ".
Нвл«чнейныя уРАВнения с ТРяыя и Вопея няЗАВноичыни пеРяиьннычи 2 Ви« Вчо 2 7. А(ах+Ьу+с) ( — ) +В(ах+Ьу+с) ( — ) +С(ах+Ьу+с) ( — ) +я = О. Частный случай уравнения ! 5.5.1.27. 2 д«о дчо 8. а«х «чп «( — ) +азу «и««( — ) +азх зчо з( — ) =Ьчо Частный сдучай уравнения 15.5.1.28. 15.3.3. Уравнения содержат произведения производных по разным переменным Полный интеграз: щ = — Ьр- -1- С«у+ Сзя -1. хз — х ' 1- Сз. с зч. ЯС«С. п -1- 1 Ь -~- 1 Полный интеграл: ш = — Ьуз+ Счу -1- С«я+ —,е ' -Ь Ьх — — ѫѫе' + Сз. с д«я «5 Л ш = уз«(х) -Ь Яф«(х) -Ь 1 г)х -1- Сз, 1«хз -из З«(х) -1- ЯЕ(х) чде функции р = И(х), ф = ф(х) определяются из автономной системы обыкновенных лифференциальных уравнений (р+ ае«)р + ЬЭ« = О, (р+а«)«)фр + с!« = О. Общее решение этой системы при Ьс ~ О записывается так; Р;-ПЬС«Р"-ЬЬ, =Са 1Ь=ЕС«Р".
В вырожденных случаях имеем при 6= О; при с=б. =рр(.)+хф«(х)-ь ) бх+С„ Ьх' + з Ч«(х) —; ар(х) где функции у« = р(а), ф = ф(х) определяются из ав«овомной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (!о+ ««ф«)«р'+ сф = О, (!о+ а«Ь)«Ь'+ Ь«р = О. Общее решение этой системы при Ьс ф О записывается так: 6ср + сС« = (Сз+ Ьсх+ ар), сч)« = Ь«р + С«. В вырожденных спучазх имеем 1. — +ах ( — +6х)( — +Ьу) =ох 2. «о +ае" ( +Ьх)( — +Ьу) =сед +Ь. дчо Вш дчо дъ«ди«дчо 3. — — +а — — +Ьу — +ох — =)сх +я.
Вх Ву дх дз др дх Полный инге«рад: З« = С«, С«1п~ф+ ачь-Ь ох = Сз «Ь = С«, ПС«1п )1о(+ р+ Ьх = С« ди«ди«ди«дчо Вчо ди« +а +Ьх +су =Ьх" +я. Вх Вр дх Вх Ву дх Полный интегряш ф« = С«, чр -1- 2аС«р -1- 2сС«х = Сз р = С«, ау«« -Ь 2С«ф -1- 2ЬС«х = С« при Ъ=О; при с=б, 1л Ь Нелинейпые уривнвния второй степени относительно производньо с треня пере ненньмт 375 в а а а 3 5. ах — — + Ьр — — + х+ ср — в = О. дх др дх дх Преобразование Лежандра (указано как прямое, зак и обратное преобразование): переводит это уравнение в уравнение нида !5.3.1.6 (при Ь = 0): дИ' ОИ», дИ', ОИ";г Оло Вю дю дю ь дю ь-1-т х + ар =Ьх ю +ох ю Ох Оу Ох дз дх Решение в виде произведения двух функций одного и двух аргументов: ю = ~(х)д(р,6), с = ар Зависимость 1 = 1"(х) находится путем решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка (Ьх'1" ' — Сг)у,' Ч- сх 1 = О, которое инте!рируегся в квадратурах, например, при и = 0 или Ь = 1.
Функция д = д(у, 6) определяется формулами р(у,О = Н т [Ф(б) ~ Сг(1 — )с) /, ~ прн й ф 1, Ф(6)ехр(хСг / ' ) при )с=1, в т»»и 1г —. 6 где Ф = Ф(6) произвольная функция. Чгобы получить полный интеграл, можно положить Ф = Сз (постоянная С» войдет в решение уравнения для 1). Вгп Ою ди» дю Ви» Ою а +Ь +с дх Вр Ох Вх Оу дх Полный интеграз; и = Сгх+ С»у+ Сзг+ Сл, где оС!Сг+ ЬСзСз+ сСгСз = )с. Ов Питеротури: Э.
Камне (1966!. дю дю Ою Ою Вю Ои» +а +Ь =ею, Ох Оу дх дх др Ох г у Полный интеграш ю = (х -1- — -1- —, -1- Сз) . 4(Сг -1- иСг 6 Ь) Сг Сг ь дю део Вю Ою дю Ои» ах + Ьр" + сх дх ду дх Ох Оу Ох +г,,++:з иС ь ! ЬС „ г сС 6+1 и-!-1 та1 тле Сг Сг .1- СгСз -1- СгСз = О. ь Ою Вю дю Ою дю ди» аю + Ью + сю Ох Оу Ох Вх др Вх 11олный интеграш оСзСги»ь + ЬСгСзюн -1- гиС Сзи»'" »(го = С!х + Сгу + Сзг+ Сл. Одну из постоянных Сы Сг, Сз можно положить равной единице. дИ» х= ах ' Х= —, дх ОИ' р= дУ 1' = —, ау ' дИ' да ' г= а", де ' ю = Х вЂ” -1- У вЂ” Ф У вЂ” — И'! дИ» дИ дИ» дХ О1 дЯ дт дт дт И» = х — -1- р —, + г —, — и», дх ' ду дл Нвлинзиные ъРРВнзния с ТРеии и БОлее нвзззиОидлыдди НБРемВнными 15.3.4.
Уравнения, содержащие квадраты и произведения производных 2 а а „а 1. — +адш '( — ) +азш ' — — +азш '( — ) =Ьш" +с. ах ау ау а а Полный интеграл: се+сер ° с* ° ) ' =с. Л 1. пд Р '+ею 1 глс Г(ид) = адСлзндд' + адС1Сдюд' + азСЛ юг . Олпу из постоянных Сд, Сз, Сз можно положить равной х1. Гаюдз Ваю Ою „га тз а О 2. ( — ) + ах — — + Ьхх" ( — ) + схх — — = ях". Ох дх Ву ду ду Ох Полный интеграл. ю=Су — х ~С~ 111 !' 2(е -1- Ц С2 1— ЬС -1- сС1 (1 — гп) сд,п — дп -1- 1) ( Вю )з дю дю Оде дю Ою Оид ВГ Одл Ою дю ) +ад +аз +аз дх Ох ду дх Вх ду Ох дх ду Ох Полный интеграл: С„,, Сз„, С„.) = ~ 1-ь Сд-!- В,С1С -~-ЛРС Сз-!-ВБС, Сз ' ! ~! Ид~ Ри Ь = 1.
ГО 2 ГОштз ГО Хз а аю О О а аю 4. ад( — ) +ад( — ) +аз( — ) +61 — — +Ьз — — +Ьз — — =сил+В. Вх Оу дх Ох Оу Ох дх Оу Ох Полный интедрши — (Сдх -!- Сзу Н- Сзз -> Сл) — з,дс при с ~ О, =(' С1х -!- Сду л- Сзз -~- Сл при с= О, гле постоянные Сд, СР, Сз связаны соотношением адС1 + глгСл -е пзСЕ -1-61С1Сд -'г ЬЕС1Сз -Р ЬзСЕСЕ = с. (У) + ( ) + ( —.) = ~.(*'+ 2+.2)+61'(*У+ — '"+ — ')' Частный случай уравнения 15.5.2.3, см.
л. 2' при 6 = 2 и Г"(г) = (ат -[- Ь)' [при с = — 1 см. также Э. Камне (! 9бб)). 15.4. Другие нелинейные уравнения с тремя переменными, содержащие параметры 15.4.1. Уравнения третьей степени относительно производных г. ( ) — ( ) — Ь ( ) — ( ) =О. лн Полный интеграл: I ь 2 = х->Сду+Сдз+Сз. ,Г аюь-!-ЬСздс" Л сСзю дю з 1. ( ) — аш — Ьид Ох а* Полный интеграж / Π— сю ау о Лю = х + Сд у л- Сз + Сз. !5.4 Дртеие нюингейнме уривнения е тремя переменнммп, еинермепыие параметры 377 а аюа З. — — — =ах у" ах ау а Частный случай уравнения 15.5.2.1 при 5(х) = ах, д(у) = у )ь(х) = з мз Полный интеьрюп ю = т х + з у + х"'~ + Сз.
с,с ( ч-!) дю аю аьп ь 4. — — — =ах у х ю. ах ау Частный случай уравнения 15.5.2.2 при з"(х) = ах", д(у) = у'. 6(з) = з", ьр(ю) = ю'. Преобразование Лежандра (укаэано как прямое, так и обратное преобразование): приводит к линейному уравнению 7.2.3.5: оХ +Ьт +сЯ = ХУЕ дХ дУ дх 6.
— ( — +ах)( — +ау) =Ь. Ь Полный интеграл: ю = — ау- -1- Сьх Ч- Сгу +, х Ч- Сз. с с. 7. ( +аул)( +ахх)( +аху) =Ь. Ь Полный интеграл: ю = -ахуз+Сьх+Сзу+, х+Сз. с,сз Полный интеграл: 1п(ю~ =С х+Сзу+Сз +Сь, где (Сь — а)(Сь-Ь)(Сз — с) =ЬСьсзсз. 15.4.2. Уравнения, содержащие корни или модули производных дьп Уравнения этого вида встречаются в теории дифференциальных игр (см. например А. И. Субботин (1991), А.!.
бпЬЬобп (1995)], и ь: =-,ь и„+е, +а„т ь=,/+'ьп,'ь в,'. '" ь,зйьь,()е,~~ее,( ) = Полный интеграл: ю = — Ах+ Сьу+ Сея+ Сз, где А = аз тввь+ ЬьСз+ азтввь+ Ьзсам З. д + а+Ь(а +Ьх) +с(д +йу) =О. ь *пзь:»=-ь — ь +е, е +е„ь= Стье,т в, дИ' х = дХ ' дю Х= —, дх ди' д! дю у= —, ад дИ' да дю а= —, де „дИ' дИ' дИ' ю=Х чУ +У дх ау ' ах ди дю дю И' = т — -1- у — -1- з — — ю, ' а ад а. Нялнняйныя РРАВняния с ТРЕЫН и БОлея незАянсичыии ЛБРяменнычи а а а ! ати 4. — +х — + — ~ — — =О.
ах ау ау ) ах Уравнения этого вила встречаются в теории дифференциальных игр. Точное анаэитическое решение этого уравнения с начальным условием ш = !пах()у), [е)) при х = 2 где )р) = 9)1(х у е) = х + у + 22 — 2 х — х 2, 1 2 Фз = 9)з(х,у,е) = 2 — х+з, ре = Мх,у,з) = 2 — рз — 2(1 — р — ~')' ', 172 :рь=ил(х,у,г)=иь 1(х,— у,— Е), Ь=2,4,0. В тех точках (х, у, е), где происходит ксклсйка» различных функпий И и 92, функция га непрерывна.
но может быть недифференцируемой. В области 0 ( х ( 1 решение ил)ест более сложную структуру и описывается 12 различными функциями, шесть из которых залаются неявно. О» Титеритура) А. М. Тарасьсв (!985), А. И. Субботин (1991). Уг +Уг . +Уз + дта дти дта дх ду дя У =Х (х)!7 ). Уравнение типа ! амильтона -- Якоби "- Беллмана. Возникает в вариационном исчислении и оптимальном управлении.
Считаем, что выполнено условие: 1 — [ЕЫ*...) а [я,..)+.Ы...)! = [.), Решение задачи Коши с начальным условием я)=0 при г=О (ш>0 при г>0) описывается формулой 'и) = о 1-~ р(6 (1+9 >0). Замечание. Результаты допускают обобщение для уравнения с любым числом независимых переменных. О» Питяратура) Л. Д. Акуленко [! 987) 15.4.3. Уравнения„содержащие произвольные степени производных :. +-('.у)" +'('..) =-+ *- Частный случай уравнения ! 5.5.2.4 при г(я) = с, у(х) = ехт. 2. "+О1( ) +ц2( ") Частный случай уравнения ! 5.5.2.5 гх х гх у при Д(х) = х'". х дп) +Ь1е х — + ду при 1(х) = я *. х дти Ьге у — = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
