В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 72
Текст из файла (страница 72)
дя Частный случай уравнения ! 5.5.2.5 было получено в работе А. М. Тарасьсва (!985). В области 1 ( х ( 2 это решение описывается формулами я шах(9)),хз,у)Б) при )р~ -[-922 > О, ш(х,у,е) = тпах()рг,[ал,у)БТ при )рг+ 9)А > О, шах(зэл,)рв) при 9)1-Ь 9)з < 0 и рг 4-)рл < О, 15.4. Дртеие нелинейные уриенения е тремя переменными, саверлеищие параметры 379 дю г дти 1ьз / дю злг з г +азх ( ) +агх ( ) =Ьхю+сзх у+сгх х. Вх 'л ву) ~в ) Частный случай уравнения 15.5.2.6 при 111х) = а~х"', уг1х) = изх"', д1х) = Ьх', Ьз1х) = с|х"', Ьг1х) = сзх'"'-'.
дю л, /дюл ' ль лг гдюл л„ тг — + аде ( — ) +аге ( — ) = Ье ю+сде у+сге х. Вх ~ ду) дх Частный случай уравнения 15.52.6 при )з(х) = азе~'*, Ях) = агела', д1х) = Ьед', Ьз1х) = сге "", Ьг1х) = сает". — + адх"'( — + Ьх) + агх"'( — + Ьу) = сх вх ду дх Полный интеграл: ю= — Ьуя«-Сад+Сиз«- х + — ' ' х '~ — г х г~ «-Сз.
т«-1 уз+1 Ьг«-1 — + азе ' ( — + Ьх) + аге ' ( — + Ьу) = сен". дх ду д Полный интеграл и~ = — Ьуг+ Сзу+ Сзз+ — е" — — 'С 'е '* — — гС. Яс ' + Сз. — + ах ( — + Ьх) ( — + Ьу) = сх'. Полный интезрал: ю = — Ьуз+ Сзу+ Сгз+ хн«ч — ' "з х ~ + Сз. з-1. 1 1с.1-1 + аел ( + Ьх) ( + Ьу) = сел". Полный интеграл: ю = — Ьуз «- Сзу+ Сгз+ — е — — Сз Сз е «- Сз. с д и 3 Л 10.
а( ) +Ь( ) +с( ) =(х +у +х ) Полный интезрал: ю ее (аС," «-ЬСгг «-сСз") .-~ (Сдх«-С,у+Сзз) г-* «-Со Ь Олпу из постоянных Сы Сз, Сз можно положить равной х1. " """'(:".) +"""(:"у) +"-"'(:".)— -Ь, "('") -Ь.ю ( ) -Ь;"( ) е П Полный интеграл: геас= зз'«гу«зз«4 ° Ь С, юп «- Ь,Сг ю'з -1- ЬзС"'и з Одну из постоянных Сы Сг, Сз можно положить равной х1.
' а('..)" +'(':у) + ('..) = Полный интеграл: ю = Сзх -1- Сгу -1- Сзз -1- С«, где оС," -'; ЬС7 -1- сСз = 1, 13. а( — ) + Ь( — ) + с( — ) + х — + у — + х — = ю. Полный интегра с ю = С1 х + Сзу + Сзз + вС1и + ЬСг + сСз Ч 14. аз( + Ьух) + аг( + Ьхх) + аз( + Ьху) = с. Полный интеграл: н~ = — Ьхуз+Сзх«-Сгу+Сзг+С«, где азС~ч +агСзг +изСзз — — с.
380 Нвлинейные уРАВнения с ТРеыя и БОлее неЗАВнсичыии ЛБРВИВнными 15. агх"'( — ) + агУ ( — ) + азг"з ( — ) = Ьгх А + Ьгд г + 6зХ Частный случай уравнения 15.5.2.9. (а ) (а ) (а ) Частный случай уравнения 15,5.2.10. Полный интегрхс и1 = Й 4 и -1- пг — 1 (Сгх+Сгун-Ое) "ч"' ' +Сл Й -Р П -~ П1 1 (3 = (нС,"С,") (а ) (а ) (а ) а а а Полный интеграл: ю = Сг х + Сг у -Н Сзе Ч- НС11 Сг Сл . 19. ( + аух) ( + ахх) ( + аху) = 6. Полный интеграл: и1 = — пхуе-Ь Сгх -1-С у-1-Сз + СЕ, гле С~ЛСЕ Сз = Ь. Частный случай уравнения 1543.3 при Ь(х,и,и) =- агх"'НР'и ' -1- агх"'ия'и д(х) = Ьх'. 21. — +атх '( ) ( — ) +агх г( ) ( — ) =Ьх'тн+егхчту+егхчгх.
Частный случай уравнения 15.4.4.4. 22. а + аге ' ( ) ( а ) + аге ' ( а ) ( ) = Ье иР. Частный случай уравнения 15.4.3.3. 2. — + а( — ) + Ь( — ) = Ь(х)те+ д(х). Полный интеграл: ю = Сгй(х) -!-(Сгу+ Сзе)Г(х) -1-Ь(х)! дх, 1' д(х) — Луг(х) гле Ь"(х) = ехр/ Д(х) г)х~, Л = ОС, -1- ЬСгы 15.5. Нелинейные уравнения с тремя переменными, содержащие произвольные Функции 15.5 1. Уравнения квадратичные по производным 1.
( †) + 2(х) — + д (у) — + д (х) — + Ь(х) = О. Полный интеграл: 1 !'Г ду 1" ае и1= — 21 ~ — 1(х)+ гг(х) — 46(х) — 4С1 — 4СБ~ Р)х-НС121 -!-СА 1 +СБ. 2,/ 3 дг(у) У дг(е) 15.5 Нозннейнмеуро»нонн» е трезм ддервменныдди, еоаерзиодиио »умид»о»инно фунмдои 381 — + ад( — ) + аз( ) = Ью + зд(х)ю+ д(х). При Ь = 0 см, уравнение 15.5.!.2. Полный интеграл при Ь ф 0: ю = уд(х) + Садр(х) ехр(Сду+ Сзх). Здесь постоянные Сд и Сд связаны соотношением: ад Сд -1- азСз = Ь. Функция Чд = Чд(х) определяется из обыкновенного дифференциального уравнения из = Ьдр -'г 5(х)уд-~- д(х), (1) а функция др = чЗ(х) выражается через функцию р(х) с помощью формулы Чд(х) = ехр) / [2Ьр(х) -1- 5'(х)~ д(х '(.
(2) Уравнение Риккати (!) интедрируется в квадратурах для многих функций 7' и д, в частности при д(х) = О, 7'(х) любое, а также при 7"(х) = сопя!, д(х) = сопим Подробности см. в книгах Э. Камке (1976), В. Ф. Зайцева, Л. )1 Полянина (1997, 2001). + ад( О ) + аз( О ) + Ьд~(х)х О + ЬзХ(х)у Π— — О. Частный случай уравнения 15.5.1.17, и. 2'. Полный индеграш ю = 179дд(х) + зрз(х) — /[адр,(х) + азрз(х)~ г)х -'г Сз, гпе функции Чдд (х) и р (х) определяются формулами рд (х) = Сдбе ехр [Л / ((х) г(х! + Сдйд схр [ — Л / 5(х) г(х7д Л =;/Ьд)дз, рз(х) = — СдЛехр[Л / у(х) г(х~ -Ь СдЛ ехр[ — Л / 7(х) д)х~.
дю Ою Ою з дю Оид — + ад( — ) + аз( — ) + 5" (х)х — + д(х)у — = О. Вх ду дх ду Ох Полный интеграл. ю = урд(х) ч- з~оз(х) — / [адуд,(х) + аздрз(х)~ д(х+ Сз, рз(х) =— д(х) д1х где функция здд = чдд(х) опрелеляется путем решения линейного обыкновенного диффе- ренциального уравнения второго порядка — + 5(х)( — ) + д(х)( — ) = аю.
Полный интсграш и = Сде"' ч- е"'(Сзу ч- Сзз) — е" (ре"" [Сз~ ((х) з; Сззд(х)|д(х. дю . (дю)з (дю)з Полный интегри и х = р(х)(Сд + С»у+ Сзз) — |р(х) / др(х) [С»У(х) + Сзд(хЯ д)х где р(х) = ехр [/ Ь(х) д(х~. Вх (О ) (д ) 11олный интег!зал.' п~ = С(х) [уддд (х) + »1оз(х) + чд(х)), дде ,(,) С,ь l' й, ,(,) С, р р (') 4, С(х) ' П(х) ф(х) = Сз — ~ С(х)[гд(х)чд,(х) + )з(х)чдз(х)) дгзп С(х) = ехр [ ( д(х) д(х~ .
382 Нялннейныя РРАВняния г ТРямя и БОлея нязАянсичыми ЛЯРененнычи 9. — + гд(у)( — ) + уз(х)( ) = д(х) + Ьд(у) + Ьз(х). Уравнения этого вида часто встречаются в механике, где переменная х играет роль времени, а переменные у и я - -роль обобщенных координат. Полный интеграл: ш=с, — (Сз-РС)х+ /д(х)д)хЧ- / '+ '(У) г)уч- / '+ "(') г! . Ь (у) Ыя) 10. д +У,(~)(д )'+У,( )(д )'=Ь '+д( ) +Ь( ). лд Г ля Преобразование б = ! , д! = з! приводит к уравнению вила 15.5.1.3. 7 ~ЛГЫ ' У Л~7')! 11.
— + Р(х)( — + ах) + д(х)( — + ау) = !Я(х). Полный интедршп ш = — ауд+С!у+СЕЯ+ / [6(х) — С!Х(х) Сдд(хЯ д!х+Сз. 12. — + [Хд(х)у+дд(х)~( — ) + [уз(х)х+уз(х))( — ) = а(х) ш + Ь(х) + Ьд (х) у + Ьз(х) х. Полный интеграл и! = 'рд(х)у + 9дз(х)я -1- ф(х), где функции дзд(х), 9дд(х), ф(х) определяются путем решения обыкновенных дифференциальных уравнений !Рд 4 уд(х)ьзд = а(х)!Рдь + Ьд(х), й = 1,'2; (1) ф + дд(х)ЗР! + дз(х)4зд = а(х)чд + Ь(х). (2) Здесь штрих обозначает производную по х. Уравнения Рикьати (!) интегрируются в квадратурах для многих функций !Я(х), Ьь(х), а(х), подробности см. в книгах Эя Камке (1976), В. Ф.
Зайцева, А. Д. Полянина (1997, 2001). В частности, при Ьд. = 0 реп!синя уравнений (1) описываются формулами — ! ~!Рь(х) = А(х) [Сь -1- ( А(х)дд(х)г)х], А(т) = ехр[/ гд(х)г)х~. Уравнение (2) линейно относитедьно ф и легко интегрируется (при известных 9дь)! дЬ(х) = СзА(х) + А(х) /[Ь(х) — дд(х)!Рд(х) — дз(х)лдз(х) [ А(х) 13. + [~д(х)у" + дд(х)уяь '')( ) + ~Х (х) " + дя(х) '" ')( , ) = = а(х)дп+ Ь(х). 1'. Пусть все й, и ~ 2. Преобразование С = дд ", 9 = я=" приводит к уравнению вида 1 5.5.1.! 2: — -1- (2 — й) [(д (х) б -~- д! (х) ~ ( — ) -1- (2 — н) [6 (х)г! -~- дз (х)1 ( — ) = а(х) и -1- Ь(х). 2'.
Пусть имеется й = 2, и, ф 2. Тогда вводим новые переменные б = 1п !у~, 0 = яз В результате получим уравнение вида !5.5.1.12. Случай й ф 2, и = 2 рассматривается аналогично. 14. + 7(ах+ Ьу+ сх)( ) + д(ах+ Ьу+ сх)( ) = Ь(ах+ Ьу+ сх). Полный интеграл: ш = Сдх -1- С!у -1- Сзз -~- !!Р(ьг) -1- СА, б = ах -1- Ьу -1- сз, /5.5. Неюпейные уоиененип е трели переменныти, еодерлкии/ие г/и/изоольные функ//ии 383 где (/)= / '// /// "///"///л/, г(Е)=/г////,.' (//, 2»(г) С(б) = а л; 2ЬСз~Я 4-2сСздЯ, Н® = С/ -Ь СгД(б) л- Слзд(6) — ЬЯ. Одну из постоянных Сг, Сз, Сз можно положить равной елинице. 15.
д + э(х)( д +ах)( д +ау) =д(х). Полный интеграл: ю = — о уз -!- Сг у -!- Сиз -!- / [д(х) — Сг Сл /(х)] /(х -!- Сз. ю =,рг(х)у Ч- ио (х)е -!- г//(х). Здесь функции Эог(х), ног(х), ф(х) находятся путем решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений ь',-ь(д —.5)р -ьдщр =Ь . (1) рз+дщр/+(дгз — з)рз = Ьг, (2) ф зф/ = Ьо ///рг /гзр/рг узгрл (3) тле /о = ~/(х), дл/ = д,/(х), /ц. = Ьь(х), а = а(х); штрих обозначает производную по х.
После определения функций рг = р/(х) и !ог = р/(х) из линейной системы уравнений (!) и (2), решение уравнения (3) находится но формуле г з дх Ч/(х) = СзЯ-Ь о ~ (Ьо — //грг — /егз/р/5оз — /гз/рг) — ',, о = ехр(/' а//х). д ' 2'. Рассмо/рим частный случай: Ьг = О, Ьл = О. Кроме того, будем считать, что ды = а/д(х) 4 з(х), дш = а д(х), дщ = азд(х), дгл = алд(х) -!-в(х), (4) где д = д(х), з = а(х) - произвольные функции, а а/, ал, аз, ал --. произвольные числа. При этих условиях общее решение линейной однородной системы уравнений (1), (2) имеет внд /р/ = С/ ехр(Л/ / д е/х) -!- Сл ехр(Л/ / д е/х), 5ог = — ' ' Сг ехр(Л/ / д//х) — ' г Сг ехр(Л/ / д//х), (5) /дс Лг, Лл корни квадратно/о уравнения (Л Ч- а/ИЛ + ал) — агаз = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
