В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 63
Текст из файла (страница 63)
)'+.;". (;"„)' = '" а Сгт 4- 4сС2. 10 ~с,г+,+со и 3Г2 а( и С22 х Сги — 4оьСг го = Сгх — у 4- Сл. 2аСг Полный интеграл Полный интеграл 142. Уранненин, содсрэкащие кнбинеские наи2нейнотпи относительно проплнодныл ззз 334 Ннлиньйные уРЕВнения с дВумя незлнноиныии пеРемьнньп(и ОВН1ьго Видл и Ьс,х+ р+ Сг) '.
ВГЕ ( +,1 12 ( +ю) +а ( ) =О. х -6 С( р 4- Сг 1 Полный интегри и ю = сир< — ', ' 1. 14 (ИСВ)(ГЕ 1' <( — ) + а| — = гью + с) —. Полный интегре и ю =, ГС(х 4- С|у+ Сз) + Ь ЕС| — сС| 4С С. ьс ( "+ уд" +Ь )(д") +( ) =О. 15. Полный интеграл: 6 ' 6 н а — "-' Гстх 4- у) "— — прн Ь ф О, Сг — — 1п)С(х+ у)+ Сг лри Ь = О. о, дю ди| 'зз дю дю (х + — ю) +а =О. Полный интеграл; ю = 27С(х 4- Сгу 4- 31ас(СЕ)'Гз.
1б. 14.3.1. Уравнения содержат четвертые степени по производным ( — ) =а — +Ьх+с. дх ду Полные интегралы: (ост — Ьр) ю = — 1(ьх-Ьсс( -1-с) 4-С|у+СЕ, В| 4 ВС|х — ьхр — ср 66 а ( — ) =а — +Ьу+с. у(Ьу -~- 2с — 2С|4) Полный интегрюе ю = С(х — ~ ' + Сг. 2о (дю) д (1'4 Полный интеграл: и| = 1 (Ьх -6 НС|) (ту — С|р -1- Сг. Полный интеграл; ю = НС|х — с С, у+ 3 4 ь р +СЕ. о46 4- Ц * Этот раздел написан соаместно с Л.
В. Л(тннук. 14.3. Нелинейные уравнения, содержащие произвольные параметры" 335 143 Невинейнн<е уравнен<т, еойерыеиизие нро<пвознные параметры ( ™) +а — =Ьху +су". Полный интеграл: <о = хзо1у) -~- унт< — —:р~1у) 4у+ С<, о1п -~- 1) и,/ зо(у) = у -е Сз. пГЬ З- 1) 4 ( — ) + а — = Ьхи + су дх ду Полный интеграл: <о = ~ 1Ьх -Г пС<) <)х — С<у -г у -Р Сз. </4 е пГп И-1) ' (д ) — "д =О. з Г3 — Ь з<1зн Полный интеграл ю = ~ 1пС<х -р п С, у -е Сз)~ ' ( — ) — ах у~и< — = О. дх ду Полный интеграх <л = ~ — ( ' т. з -'г ' у '" "; Сз)) 3 и-<-4 1 — т ( — ) +а( — ) +Ь( — ) +с — +<4=0. х Полный интеграл: и< = х— 2 -ГС,уй-Сз.
1О. 'Ьа ( ~~ ) — 2тл~ = Ь(,1 ) . 1тх тз 16 3 Полный интеграл: и< = — ) — -'е С<) ~- Гу -'г Сз) . 2 о 27Ь 1 Полный интеграл: и< = С< х — — 1 (Ь х Ьз + 4пС< ун ) <)у + Сз. 2 / 12. — ( — ) = ау+ Ьх . дх ду Полный интегрхн го = 14пх+ С<) < ~у о- Ь / х" 14пх + С<) ~< ~ <Гх -Р Сз. Полный интеграч. <р(х) = ( х~~ -)- С<) — йо<<х)у+ Ь / ° з + Сз 1' х" йх / ),~ ))з 14. — ( — ) = ах у". д ду оС<з 3 лтз. Полный нате<ухи ю = ' х + +, ', у з +Се. Ь -~- 1 С< Гп -Г 3) 15. — ( — ) = атп+ Ьх . дх ду Г!олный ил<играл: <о = Г3пх+ С<)~~~1у+ Сз) -Р ЬГ3пх+ С<)уз / х~ГЗпх+ С<) ~~а <)х. 14.3.
Нелинейные !равнения, еойерыеии!не пронгвопоные пвриыетры 5. ( ) — аи! = О. ! — я Г и — й -1- 1 !.— ! 1 -и-!-! Полный интеграл: ю = [ (аСгх+ и С! у -Г Сг)~ таю!и ! а б. ( — ) — ах" у ю — = О. дх ау ! †! Г1 — ьч-! г иаэс! лй!' и" !с!и ! —, т! !-яг! Г!олиый инте!рык ю = [ ( ' х Я Ч- ' у '"+СгЦ 1 — й пЧ-Ь 1 — т 8. у ( ) =а( ) +Ь Ь 1 Полный интеграл: ю = Сгх Ч- Сг — —,у х — у! Ь! + 4аСяуо г(у. 2и 2о 9. (аху 1-Ьу )( ) = О.
Полный интеграл: ! ( ) [и(1-Ь) -+1 С1 г-! и+1 то = х~р(у) Ч- Ь / у-р" (у) ду -1- С„ / дн! т" аю 10. ау ю ( — ) — — +Ьую=О. дх ау Преобразование ев(х!у) = Б(у)и(х, ), г = а / у С" (у)г(у, С(у) = ехр( у' ), Г ди та н ди приводит к более простому уравнению вида 14.3.3.5: ( — ) — и "— = О. дт дг 11. — ( — ) = ау+ Ьх". ах ау ! и Полный ннтеграя: и! = (а(Ь ~- 1)х Ч Сг| и г ! у 1- Ь / хп (а(Й + 1)х + Сг] ""' Их -Г Сг. 12 дю (дю) — у+Ь дх ду Частный случай уравнения !4,4.1.17 при зе(х) = ах", д(х) = Ьх'". 13.
— ( — ) = ах у™. дх ду иСгн,о ! ! й Полный интеграл! ю = ' х и -!- 1 С (ги-!-Ь) 14. ( ) =аю+Ьх Полный интеграл: ю = (а(сх4-С!) ! (у+С!) Ч-Ь(айх4-С!) ! / х" (пух+С!) ! г(х. 15. ( ) = ах"ю+ Ьх у+ сх . ах ду Частный случай уравнения !4.4.1.23 при Д(х) = ат", д(х) = Ьх, Ь(х) = сх!. 22 В. Ф. Зааиеп, А Д Поппонп '1, ( ) -(-ау =Ьу™ю+сху +г!у. Частный случай уравнения 14.4.!.18 при ~(у) = ау", д(у) = Ьу Ь(у) = су г(у) = г(у . 338 Нелинейные тгявнввня с дамма независимыми пвгвмвиными овщвго видя Ьх-!-2аСг 4 2с Полный интеграм ю = —, х+ Сгу+ Са 2 ст' О гО тв Огв 17.
— ( — ) +и — +Ьх+с=О. Ох Ор Ох бх -1- 2с Подлый интеграл: ю = — „х+ С~у+ Ст. 2(в -!- Сов) Пй (Π— ) Ох Оу Ох Полный интеграл: 1 !с С, гл = — !пав 2 у хВх — 1и !+Св, где Л= 4хуС, +1. К вЂ” 1! ля!~ Полный интеграл: — Гб — 1 Полный интеграл н~ = (1+ аС,) ' я [ (х+ Сгу 4- Сг)~ 23. их ( — ) +Ьу ( — ) =ох" +яу . С, т гтв г г. рр -~ С, т ~т Полный интеграл: ю = р! ( ' ) г)х -1- ! ! ' ) г)у -б Са ах Ьр~ 24. иху ( ) +Ьу ( ) — =О. Частный случай уравнения !4.4.2.5 при г !У) = ау У1У) = Ьу . 25.
е" ( ) +е "( ) =с. По нный интеграл И вЂ” — е ' — е -бСа при а~0, ЙС..гтб б(с — С,")гт' вв11 Ь б(с — Св)гг" б~тб Сгх ' с- т +Св при о=О. Ь 26. и( — +су) +Ь( +ох) =ох +яу. Частный случай уравнения ! 4.4.2.10 при Д1х) = сх", У!у) = яу'. гс = С, аггея — -1- Ся -1- / См'В? — С, —, где Л = тгхя + ря. р, 1 и Полный интеграл; 1 !х-~р 1 Я вЂ” ! С, = — !п~~ ' +и* — )п +С„г Л= 2х — у 2 А,'1 ('О™)" +и(',") =Ь Полный инте)рат: тл = 1Ь вЂ” аСг) х -б С, у+ Св.
1/в гО 22. ( — ) + и( — ) = тн. 339 ( Вти )" ( дти ) 27. 38. 14.3.4. Уравнения более сложного вида В Вю 6 — — аехр(Л вЂ” ) = О. Вх Вр! — аехр(Л ) = Ьх 3. дю — ивЬ(ЛВ ) = Ьх", Полный 28. 29. 14.3. Нвииивйиив грививи~ы, содвржииГив ироимол иые оирвмвтры Йиыи ыхт пС" Полный интеграл: ю = х и -'; — 'у и + Си, (гл -1- Й)С1' и -~- ! ' (Й)"(©) =-* '-' Частный случай уравнения !4.4.2.8 при Дх) = ох~, д(у) = у', Цю) = н1'.
Полный инте|реп ю = Сгу+ С, ~ ~ (аС1х + Ьх ) ах+Си. ( — + ау) ( — + ах) = Ьх у'. Частный случай уравнения 14.4.2.11 лри Д(х) = Ьх"', д(у) = у . Полный интеграл: ю = ое ' " х + Сг у -1- Ся. тс„ Полный интегрхп ю = Сгу+ ае' 'х+ х + Си. яс, 6 итг Й -1- ! Вю  — — (ау + Ьх ) ехр(Л вЂ” ) = О. Вх ду Частный случай уравнения 14.5 1,6 при Г"(н) = ехр(Ли), д(х) = Ьхи. Вто г вю т ау — — ехр( — ) + Ьху = О.
Вх Вр 2С6х — Йхи Полный интеграл: ю = + у!п(С1у) — у+ Ся. 2и — — а в)т(Л вЂ” ) = О. дх Ву Полный интеграл: и = а ай(ЛС1)х+ Сгу+ Си Полный инте|рал: ю = Сгу+ ' х + х" + Ся. Л(ЛС,) и,, 6 .-Н 6-1- ! п -1- ! — — еювЬ(Л вЂ” ) = О. дх др Частный случай уравнения 14.5.1.10 при 7(н) = а вй(Лн)СО = О. а1п(Л ) = О. инте~рыл ю = л 1п(ЛСг)х ч- С1 у -1- Св.
а1п(Л вЂ” ) =Ьх . Вр Полный интеграл: ю = Сгу+ п!п(ЛСг)х+ х + Са. 6 ин Й -1- ! 340 нелинеиные уРЕВнения с дауия незлинсииыии неРеиьнеыии Оащьго Вилл а, т а — — ах 1п(Л вЂ” ) = Ьх". ах а!В(ЛС!) е ! е 6 Полный инте!риз: ю = С!у+ '' х + + х" ь +Се. 1е -~- ! а -!-! 10 а за г л а — аю1зз( — ) = О. дх ау) Полный интеграл: ю = Сз ехр [СЕ у -!- а !И(ЛСВ)х]. а г ают — — а ссзе(Л вЂ” ) = О. дх ау) 12.
Г!олный интеграл: ю = асов(ЛСЕ)х -1- Сзу-> Сг. дю аю Л + асов(Л ) = Ьх у+ сх ах ду Частный случай уравнения 14,5.1.3 лри 1" (и) = асов(ЛИ), д(т) = Ьхл, Ь(х) = сх". дтв и . / Оют дю — — ах еш(Л вЂ” ) — Ьх — = О. ах оу ) оу а Ин(ЛС! ) Е< е 6С! Полный интегре и ю = ' х + ' х ~ + С!у+СЕ. и-~- ! п -~- ! 14 — (ах"у+ Ьх") еш(Л ) = О. Частный случай уравнения !4.5.1.7 нри 1(и) = Ин(Ли), д(х) = ахе, Ь(х) = Ьх". 15. — авш(Лх ) = Ь. Полный интеграл: ю = сое(ЛСзх) + Ьх — С!у+ Се.
лс, 16. аю л а — аюе!и( — ) = О. ах ю ду Полный интезрал: ю = Сз ехр[Сгу+ а е!Н(ЛСВ)х]. 17. 14.4. Уравнения, содержащие произвольные функции независимых переменных 14.4.1. Уравнения содержат одну произвольную степень производной ;". +.(',у)" = л*) Полный интеграл: ю = — аС, а 4- / 1(х) да:+ Сеу+ Се. — + а( — ) = 1'(у). 1!У(у) 4 С,з'1" Полный интеграл: ю = — Сзх -!- ) [ ] с!у -1- Сг. а + а( ) = уу(х) + д(х), Полный интеграх ю = учз(х) + / [д(а) — азз (х)] дх+ Сз, за(х) = / 1(х) дх+ Се. > О рещеттх других нелинейных уравнений ст.
также равд 14.4.1- 14.4.2, где россуиотрены уравнения общего вида, содержиизие произвольные функции. 14.4 Ураанен~и, еодерлгашие нронзеольные функяии незаммииык переменныг 4. + а( ) = у(х) + д(у). Р Г д(у) + Сг 1г4н Полный интеграл: ю = — Сгх -~- / 1(х) о)х + 1 [ г!у ч- Сз. а 5. — + а( — ) = )(х)ю+ д(х). Полный интеграл.' ю = С,Г(х)+СзуГ(х)+1"(х) / [д(х) — иСзК (х)] р(х) Г(х) = ехр ~/ 1(х) Ых~. б. — "+а(~ ) =У(у)ю" +д(: ) . Вх Ву Полный интеграх ю = е ([Сз + (1 — й) / е~ ~ 'дх1 ~р(у), С = / д(х) Нх, 7.
— + )(х) [ — ) = д(х)ю+ Ь(х)у+ в(х). Полный интеграл: ю = С(х)[ух(х) 4-6(х)], С(х) = схр[/д(х) Йхз, где у(х) = Сг + о(х, ф(х) = Сз + [а(х) — 1(х)С (х)р" (х)] —. у С(х) ' у С(х) 8. — + )(х)( — ) +д(х) — = О. Полный интеграл: ю = С!у + Сз — / [Сг Й(х) + Сз д(х)] дх, — [уу(х) + д(х)] ( ) = О. По:шый интезрал: = „, (. ) 4- / рн(х)д(х) дх+ С„ 10. — — у(х)ю ! — ) — д(х)ю = О. Вю „гВюив Вх Ву Преобразование х(х, у) = С(х)и(е, у), з = / 1(х)Сопи '(х) дх, С(х) = ехр ~ / д(х) дх~, ди „Г ди т Н приводит к более простому уравнению — — и" ( — ) = О, При и+ й ~ 1 это уравнение дз ду допускает полный интеграл и= (Сгу4-СгЛ з-~-Сг), Л и -!- й — ! зде функция р = р(у) описывается уравнением а(1а'„)и + р — г(у)р" = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
