В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 58
Текст из файла (страница 58)
б = ах+ Ьу, получим уравнение вида!3.3.4.7: — -1-Ь >(с)( — ) + (а-1-Ьд(с)] — = Ь(с). 13.3 Уравнении, спдврскищив прпизвпльпыв фупп1гип 10 + [Зга(х)ю+ гт(х)у+ Хо(хЯ( — ) + + [дз(х)ю+ ус(х)У+ до(х)1 — = 62(х)ю+ 61(х)У+ 6о(х). ду Полный интеграл иг = 92(х)у + ф(х), где функции зс(х) и 91(х) определиютси путем решении системы обыкновенных дифференциальных уравнений 92', -1- (2(х)922 4 [гсг(х) -1- дг(х)1922 -с- [дг(х) — 62(х)192 — 61(х) = О, (1) ф„+ [Уз(х)92 + дз(х)92 — 62(х)1ф-с- гс(х)1р -~-да(х)дг — Ис(х) = О.
(2) Уравнение (1) интегрируется в квадратурах длл многих функций 1„(х), дп(х), Ип(х), в иасп1ости, при Ях) = О, 61(х) = 0 и 71(х) = — дг(х), 61(х) = О. Подробности см. в книгах Э. Камкс (1976), В.Ф. Зайпева, А. Д. Полянина (1997, 2001). Если имеется решение уравнения (1), то уравнение (2) легко интегрируются (оно линейно относительно О). 11. — + 3'(ю) ( — ) + д(ю) — = О. Полный игпеграл в пелвцом виде: С, х -с- Сгу -Ь /, г = Сг. Г С27(ю)дю 3 Сг -~- Сзд(ю) Одну из констант Сг, Сг, или Сз можно положить равной х1.
и. д +г( )(д )+д( )д — 6( ). Полный интегрюс в неявном виде; 2С27(ю) диг Сх-ьСу-'; ! С -1-С, д(ю) 3: Одну из констант Сг, Сз, или Сз можно положить равной х1. 13. — 3(ю)( ) — [уд(х) + 6(х)) = О. Преобразование С = / дг (х)гСзй . = |92(х)у + / 6(х)92(х)гСх, :р(х) = ехр ~/ д(х)гсх], дю / дгс '12 приводит к более простому уравнению вида 13.3.3.22: — — 7(ю) (х, ) = О. дс Ггг 14.
+ 3(ю + ах + Ьу) ( ) + д(ю + ах + Ьу) = 6(ю + ах + Ьу). дх ду ду Замена и = ю+ аз 4 Ьу приводит к уравнению вида 13.3.4.12: ди г ди '12 ди — + 3(и) ( —,) + [д(и) — 2Ьу(и)~ — = И(и) — Ь 1(и) -~ Ьд(и) -с- а. дх ду ду 1335. Уравнения вида У(х,у,ю)( д )'+д(х,у,ю)( „) = 6(х.у ю) > Уравнения дивного вида встреиаюпссл в механике, гвачетрииескай оптике и диффереиииапьиай геачетрии. (Й)' (Ф)'= * =с, с, ) ггис — сгг*.
Оп Литсрапюра, Э. Камке (!966). 312 НЕЛИНЕЙНЪ|Е УРАВНЕНИЯ О ДВУМЯ НЬЗАВИСИМЫМН ПЕРЕМЕННЫМИ КВАДРАРИЧНЫЕ |Ю ПРОИЗВОДНЫМ ( — ',". )'+ ( —;"„)' = и*) + у(у) --.|: »т+1 ти! с|.+!',Ы„! — с|„+с. каждым интегралол| выбираются произвольно независимо лруг от друга, ( ) + ( ) = у(ах + Ьу) + д(бх — оу). Преобразование 6 = ах -1- Ьу, 21 = Ьх — ау приводит к уравнению вида 13.3.5лй ( д6) ( д ) аг-1-62 ая ЧЬЗ Уравнение Гиь|ю|ьн|она дая июского 'движения точки нод действием Иентршьнои гшы. Полный интеграл: х 1 Г 2 ю = С| агсгб — -1- СЗ х — ~ еу(е) — С,' —, и 2 2 Оь Литература: сн Камке (1966).
( — ) + ( — ) = (х +у )у(ху). Полный интеграл.' =с|в-,'1+с,+1 ЧГЫ вЂ” с|с*, (';.)'+ (',"„)' = (*'+ у'ш*'- у') Полный интеграл: 1 !' ю = С|ху Ь Сз х — / З'(2) — Сз г(2, 2 е=х — у 2 2 дю Полный интеграл в неявном виде, З' У7(ю) (ф) +(ф) =и*, )у(-) Г дю Г ди '|2 / ди тз Замена и = 21 приводит к более простому уравнению: ( — ) д-( — ) = У(х, у). ./ дх ду О решениях этого уравнения для некоторых типов правой части см. 13.3.5.1 в 13.3.5.6 Это уравнение описывает движение материальной точки в центральном поле сил, где х и у .. полярные координаты. Сз Полный инте!раз: ю = С|у х / )'(х) — — ' г)х+ СЗ. х2 Оь Литерстурх Н, Аппедь (!960).
(ф)'+ ~(*)(ф)' =.(х) то,„с|+ !' з! ! — с,'го|с*. 10 13.3 Уравнении, садвракащив нраиввольнь~в функнин . ( — ',".) +~(у)(;"„) =д(у) д(у) — Сг Полныи интеграл: и = Сгх -~- Сг 3- ау. у(д) . (ф) +л-)(ф) =д(-) Полный интеграл в неявном виде: 31 Нги = Сгх+ Сзу -Ь Сз. Са -> Сгу( ) д(х) Олпу из констант Сг илн Ся можно положить равной х1. 13. ( ) — у(х,у,та)( ) = О. Уг (х) ( ) + Хя(у) ( ) = дт(х) + дя(у). Уравнение с раздегягаизциися леремвггнььии, встречается в дифференциальной геометрии при изучении геодезических линий поверхностей Лиувилля. Полный интеграл: /' д (х) ЕС 1" д (у) — С Знаки перед каждым интегралом выбираются произвольно независимо друг от друга.
(в) Литерамура: П. Аппель П960), Э. Камке (1966). 1б. у(ах+ Ьу)( ) + д(ах+ Ьу)( ) = )ь(ах+ Ьу). Полный интеграл; — аС 1(г) х га = Сг х -~- Сг -Ь / дз, г = ах-6 ау. агр(в) -~- Ьзд(г) 16. ('(та+ ах+ Ьу)( — ) + д(то+ ах+ Ьу)( — ) = Цап+ ах+ Ьу). ах ау Полный интеграл: ш = — ах — Ьу+ дг(б), 6 = Сгх+ Сгу+ Сз, где функция дг = да(6) определяется неявно (Сдгг(Зг) Ч Сгд(дг)) дьг ас, г'(зг) х ьсад(Р) х с1гг'(зг)ь(зг) 3- саад(за)ь(Р) — (асг — ьсг)ЯХ(зг)д(зг) Одну из констант Сд или Сг можно положить равной х1.
17. ут(х)дт(ьп) ( ) + уя(у)дя(нг) ( ) = )т(нг). Полный интеграл: Одну из констант С1 или Сг можно положить равной х1. Левую часть уравнения можно разложить на множители. Приравнивая эти множители дх г —— ам нулю, получим два более простых уравнения: — х уу(х, у, ю) — = О. а.. т' ' ' ау 314 НВ.Н(ИВЙИЫВ Ъ'РАВИВИИЯ О ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПВРЕМВНИЫМИ КВАДРАТИЗНЫВ (Ю ИРОИЗВОДНЫМ 13.3.6. Уравнения вида(" )'+ У(ж,у,ж) '„' " = д(х,у,ти) =с( — 22(+1 (сс(„((*(У, сг.
1 Полный интеграл: ю = С((у — ах) — / ((у) ду + СЗ. аЗС( Полный иитегрюи ю =, 1у — ах+а ьу т с, г , ( У(у)((у , +С,]. ат / (бу„с,,я ( — ) + а — — + 2 (у)ян = О. у —,+с, т Полный инге(рал. ю — '(/ ХЬ) (УУ + СЗ~. а2 ((м 1 — СЗ Полный интеграл в неявном виде; 21 = С(х -~- ' у+ СЗ. Л( ) аС( Йс Замена 2 = ( приводит к уравнению 1З.З.б.1. Лд( Л ((м Замена = е приводит к уравнению 13.3.6.2. ДдЯ~ ( — ) + К(х) — — + д(ж) = О. = 2а „+ с, А 1 (-с (( (* у с ( (*(- у( (( у ( — ) + у(у) — — + д(х) = О. С 1 Г р ау Полный интеграи ю = — — х х — ( С; — 4д(х) -1- С( у( ' -(- СЗ.
2 2 ' у'(у) 10. г д( )+с2 Полный интеграл: и( = С(т, -1- С2 — / ' (1у. У'(У) ( О ) + У(у) ††„ = д(у) + 12(у) + (у). Полный интеграт: у Ь) -(- т( (у), 13.3 Урогзнения, содераеащив нроиввагьные функяии где функции Зо(у) и ф(у) определяются путем решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений ,гЬ)рр', =д(гу)р+Ь(у)., (1) УЬ)М =дЬ)ф — р'+ Ь).
(2) Уравнение Абеля (1) может рассматрииаться независимо, Если его решение получено, то решение уравнения (2), которое линейно относительно гл находится элементарно. В простейших случаях решения ураансния (1) имеют аид рЬ) = ) '" йуч-Сг прн Ь(Ы вЂ” = О, д(у) любая Г Ь(у) з!г зг(у) = ~[2( з(у+ Сг~ при д(у) — = О, Ь(у) -- люба .
~ У(у) ( ах ) + з (У) а + д(х) "(ю) = О. шо Замена г = / приводит к уравнению 13.3.б.9. Лд( Л ззю Замена а = 3з приводит к уравнению 13.3.6.10. Згггд иф 14. ( ) + Х(ах + Ьу) + д(ах+ Ьу)Ь(ю) = О. Полный интеграт и неявном виде, 2а [а + Ь)(г)1 где г = ах-~ Ьу. 15. ( — ) + 3'(ю+ ах+ Ьу) — — + д(ю+ ах+ Ьу) = О. дю аю аю ах ах ау Полный интеграл: ю = — ах — Ьу+ дг(г), г = Сгх+ Сгу+ Сз, где функция Зг = р(з) опрелелястся нсянно 2С,(С, + С, Г(р)) од А(;о) =е гзг(ш) — 4сз(с, х сг)(.Р))(аг -~- а03(Р) -~- д(зо)) сз(р) = 2аСз + (аСг -1-ЬСзЩ1о).
Одну из констант Сз или Сг можно положить равной х1. 16. ( — ) + у(х)д(у) — — + Ь(х)зр(ю) = О. Полный интеграл и неявном виде: =()сз( Ы,Я~и ~-'и, ',)вг — с, 1' "" +сг. 17. ( — ) + т(у)д(ю) — — — Ь(ю) = О. 1 Ч Сзд(ю) Полный интеграл и неянпом виде: / Ы=хч-Сг/ Ь(ог) иу — + Сг. 3" (у) 31О НВЛГЗИВЙНЫВ УРАВИВНИЯ С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПБРВМВНИЫМИ КВАДРАТИПНЫВ !Ю ПРОИЗВОДНЫМ 13.3.7. Другие уравнения а а атс а 1. — — + 2(х) — + д(х) — + 6(х) = О. а ар дх ду Полный интеграл: ж = — 1 ' с(х+ Сгу+ Сз. 1' Сзд(х) т зз(х) ,l С -1.
Пх) 2. ( — + ау) ( — + ах) = Г(х)д(у). Полный изггегршс ю = — ахр+ Сз (Г Г(х) г)х+ — у(у) з(р+ Сз. с, з ~а ~'( ))[ар ~'( )) Г[ ! Полный интеграл: ю = / [Сздз (х) — Гг (х)1 г)з: 4 / [ — дз (у) — ~з(у)1 г)У + Сз. С, 1ГГ з Г др Пошыйшвезрап ю= — — х — — 1 4 д(х) — [д(х)+Сз| +46(х) здх+Сз ) +Сз. 2,) ( / Г(р) ( ав ) ах ду дх Полный интеграл из = Сзх х / С, + 6(х) дх — 21 ' г)у+ Сз. Г 2С,Н д(р) ГЬ) (ф) +Лх)фф+Л*) ( )ф =6(*) = с, — IИИУ +)(-ся )+УВГ11 21 Р)ьзс,.
Полный интеграл. 1 ГГ гс = — 1 4 — Сз Г(х) — д(х) + [Сг1(х) + д(х)~ — 4СПЗ(х) — 4в(х) ( з)х+ Сз у+ Сз. 2,/ Г Сз -1- С~д(у) -1-в(у) Полный ингезршз: ш = С~х — 21 ' ' ' ду+ Сз. С, ХЬ) т 6(р) (Й)' (:,)'= *'+ ' (*:".
":",)'" *'+ '-' Полный интеграл: х 1 Г зд(з) — Сзз дз 1 ю = Сз ехр ([Сз агсв1Д— А/В 2 з 1 — ВГ(з) з где з=х +у. тд ) Ад ) а д Удлвишше с усзделяющичися пвремзеззньгчм Полный интеграл: Ю= — дг(х)х дзз(х) -~- 4ГЗ(х)6з(х) + 4сг Гз(х) с(х + 2Г~ (т) †(р) х дз(р) -1- 4)з(р)6 (у) — 4Сг Гз(р) 'Г() 1О Знаки перед корнями выбираются произвольно независимо друг от друга. 13.3 Урипненин, годорггищип проилпольнып фупняип 11. Ут(х) ( ) + Уг(х) — — + Уз(х) ( — ) = д(ю). Полный интеграл в неявном зиле: / "' = с,у-ьсг / г(х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
