В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 57
Текст из файла (страница 57)
— — = у'(ах+ Ьу)д(ю). вю вю вх ар Полный интеграл в неявном виде: Пз / = Сз(ах — Ьу) х / ~Сля+ — ((в)~ г(я+ Се, в = ах+ Ьу. Я ) аь 1Д. В = Х(хр)д( ). вх вр Полный интеграл в неявном виде: = Сз1п — ' ~ ) — [С1 -~-в~(в)~ ~ вЫ-С~, в = ху, ЧРУ(ю) и 3 е аю аю 1 ь 15. — — = — в (х У )д(ю). вх ар=хи Полный интеграл в неявном ниле: 112 1 =С!111(х'у ') ~У вЂ” ~Сз-> — Х(я)1 да+С, в =в"у'. 1б. = в (х)д(у)6(ю) дю 1 Полный интеграл в неявном виде: ! = Сз / 3(х) дх+ — / д(у) ду+ Ся.
/,тг-) / ' / 304 нелинейные л'РАВиеиия с дВумя нлзАВисимыми ПЕРьмвииыми кВАдРАти'|ные |ю ДРсизВодиъш 13.3.2. Уравнения вида )'(х,у) а " +д(х,у)" = )е(х,у,|ш) дю Ою Ою 1. — — + аху — + 2(у) = О. ах Ор ах 1'(и) д Полный ннтегршн ю = — — аху — С|а+ 2/ Ч- Сз.
2 / и' Ч2С, 2. — — + г" (х) — + д(х) = О. дю дю ви| дх др дх Полный инте|раж ю = С|у — / д(х) ах + Се. ./ г(х) -~- с, з. — — + Р(у) + +ь= о. дю дю Ою дх др дх г— Полный интеграш н| = ж (х -Ь вЂ” / тГ С| — 2ау — / Д(д) л!р + С|. р + У(У) = дЬ) хглЬ) "Ь). Полный интеграл: ю = хуЬ) ч-ФЬ), где функции ЗР(у) и ул(у) определяются путем решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений ж'„= дЬ)1 +ЛЬ), (1) ~ Ф,' = д(р)д' — )Ь)'д+ г(д). (2) Уравнение Абеля (1) может рассматриваться независимо. Если его решение получено, то решение уравнения (2), которос линейно относительно лдч находится элементарно.
В простейших случаях решения уравнения (1) имеют вид р(у) = / д(р) др+ с, при Л(у) = О, д(у) — -любая, 1,| 2 х(р) = х'(2 / Л(д) л!у+ СЛ~ нри д(у) = О, Л(у) — любав. 5. — — + х~(у) — -1- д(у) = О дю дю О Ох др дх Полный интеграл: и| = — ху(р) Ч- / ду -1- Сз, ||Р(у) = / Г(р) |Гу -Ь С|. г д(р) ч (д) б. 2(у) — — + д(х) — + Гл(х) = О.
а в Ою Ох др дх Л(х) л!х Г л!р Полный интегра и ю = / -С, /Г +Сш / с1 - д(х) / г(р) 7. 2"(у) — — + (дт(х) + дг(у) + аю~ — = Гл(х). дю дю дю Ох Ор Ох Полный интеграш ю = дл(х) -1- ДЗ(р), тле функции |Р(х) и ф(у) определяются путем решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений (а|р + д|(а|)1,а„= Л(х), (1) Г(р)д| + а|В+ дз(у) = О.
(2) Уравнение Абеля (!) может рассматриваться независимо, его разрешимые случаи описаны в книгах В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина (1997, 2001). Решение уравнения (2), которое линейно относительно зд, находится элементарно. 305 13.3 Уравнения, содерлкитнв произвольные фупкяип 13.3.3. Уравнения вида )'(х, у) д + д(х, у, ш)( "„)' = )ь(х, уг ш) > Уравненоя зтого типа встречаются в.пеханике, где переленная х и раею раль времени, а переиенная у играет роль пространственной коордннаты. — + а( — ) = у(х) + д(у).
Полный интеграл: ш = — Сгх -1- / 7(х) с!х -1- 31 ' гзу -1- Сз. у(у) + с, — + а( — ) = у'(х)у + д(х). Полный интеграл: и = 1о(х)у+ / (д(х) — ар (х)1 дх+ Сы 1в(х) = / )'(х) ох+ Св. 5о, = — 4а1о -1-3'(х) гр,, = -4а,рф Ф д(х) Х, = — аф Ф !г(х). (!) (2) (3) Уравнение Риккати (1) интег рируется в квадратурах для многих функций г(у). Подробности см. в книгах Э. Канве (1976), В.
Ф. Зайдева, А. Д. Полянина (1997, 2001). Например, пРи 3(У) = сопят можно взЯть частное Решение Р = з ьгт. Если имеется решение уравнения (1), то уравнения (2) и (3) интегрируются элементарно (они линейны относительно искомых функций у5 и Х). — + а( — ) = у(бх+ су). Полный интеграл.' ь 1 2аса 2асв — +а( — ) = у( — ). Частный случай уравнения 14ий4.6. Характеристическая система обыкновенных диффе- ренциальных уравнений допускает первый интеград дш дш х — -1- у — — ш = Сы дх ду Используем метод Лагранжа — Шарпи (см. равд.
14.1.1). С номощью (1) исключим произ- волную в",' из исходного уравнения. В результате получим уравнение ах( — ) — у — Ч- ш Ф Сг — ху" ( — ) = О, ду ду х которое можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение цо пере- менной у с параметром х. Преобразование 1 3 1 3 у ш(х, у) = — — хи (с,х) + — хс + ху(с) — Сы (2) 4а ' 4а х' приводит к уравнению Абеля второго рода для функции и: 2а иве х и = — ~Е ®, (3) 20 В. ОХ Звапвв, А Д Полинин 3. + а( ) = 3 (х)у + д(х)у+ )ь(х).
Г!олный интеграл: ш = р(хЬз ч- ф(хЬ+ х(х), тле функции р(у), зп(у), т(у) определяются путем решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений где х играет роль параметра. Постояннав интегрирования в общем решении уравнения (3) будет зависеть от х, т. е.
Сз = Сз(х). Эта зависимость можно найти путем подстановки общего решения уравнения (3) в инте|рал (1) с учетом соотношения (2). В книгах В. Ф. Зайцева, А, Д. Полянина (1997, 2001) описаны случаи, когда уравнение (3) интегрируется в квадратурах. б. — + а( — ) = у(х) + д( — ). Замена и|(х, у) = и(х, у) -1- / 7'(х) дх приводит к уравнению вида 13.3.3.5: 7. + а[ ) = )(х)ш+д(х). Полный интеграл: ш = Р(х)(С, + Сзу) -ь Г(х) / [д(х) — НСВГ'(х)1 Г(х) Р(х) = екр[( 7(х) дх1.
+ а( ) = Ьш~+ Х(х)ш+д(х). При Ь = 0 см. уравнение 13.3.3.7, Полный интеграл при Ь ф 0: ш = р(х)+ Слял(х) охр(уУРЬ|ла ). Здесь функция лс = ул(х) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением ЗР = Ьсл -Ь 7(х)у -1- д(х), а функция ф(х) выражается через уз(х) следуюн|им образом: Вл(х) = ехр( / [2Ь1Р(х) -1- 7" (х)) |!х ~. (2) Уравнение Риккати (!) может быть проинтегрирована в квадратурах для различных 7" и д, в частности, для д(х) н— в 0 и произвольной ((х) и Лля 7(х) = сопзк, д(х) = сопвж Подробности см, в книгах Э. Канве (1976), В. Ф. Зайцева, А. Д.
Полянина (1997, 2001). 9 + У(х)( ) — д(х)за+ )л(х)у+ я(х) Полный интеграл: С(х) = ехр [!/ д(х) л(х~, |В = С(х) [!7лз(х) -Ь ф(х)~, где Зз(х) = С -Ь ~ л)х, ф(х) = СВ -1- / [в(х) — 7"(х)С~(х)ЗРР(х)~ 10. + 2(у)( ) = Ьзо + д(х)ш+ Ь(х). кд Замена б = ! приводит к уравнению вида 13.3.3,8, у ~ТУ(дЛ 11. — + [7(х)у+ д(х)~ ( — ) = О. Полный инте| рал: ю = у(х)у — / д(х)за~(х) л(х+ С|, у(х) = [Сз -1- / Д(х) л(х~ 306 НВ|линвйныв УРАВнвния о дВумя ньзАВисимыми НВРьмвнными КВАдРлти'|ныв |ю ИРоизВоднъш 308 нвлиивйиыв УРАВивиия с дВумя ВЛЗАВисимымя ИВРлмвниыми КВАЯРлти'|ныя |ю ВРОЯЗВОдиъш 19. — + [уг(х)ю+ ут(х)у+ Хо(х)|1( ) = дг(х)ю+дз(х)у+до(х).
Полный интеграл ю = |р(х)у+ гу(х), где функции лс(х) и ф(х) определяются путем решевия системы обыкновенных дифференциазьллых уравнений |л '- ~г(х)ул~ -Ь Гл(В)ул~ — дг(з:)лг — д|(х) = О, (1) ф + [,(з(х)9| — дл(х)1|(л + )В(х)сл — до(х) = О., (2) Уравнение Абеля (1) может быть проинтегрировано в квадратурах лля многих функций ( (х) и д (х), в частности, нри (г(х) = д|(х) = 0 и Гл(х) = д|(х) = О. Подробности см.
в книгах Э. Камке (1976), В.Ф. Зайцева, А. Д. Полянина (1997, 200!). Если получено решение уравнения (! ), то уравнение (2) легко интегрируется, поскольку оно линейно относительно вц 20. + 2(х)ю ( ) = д(х)ю. 1'. Замена и = — ', и|А+' приводит к уравнению вида 13.3.3.9: — + г(х)( — ) = (й+ 1)д(х)и. 2', Преобразование и|(х,д) = С(х)е(л,у), В = / 7(х)С ' (х) г(х, С(х) = ехр[/ д(х) г(х3, де Ь Г де тг приволит к более простому уравнению, — -1- е ( †) = О. дя дд 21. — + 2(у)ю" ( — ) = аю"т + д(х)ю. дх ду Замена и = —,', ю '+' приводит к уравнению вида ! 3.3.3.10 при !л(х) = 0: — + т(у)( — ) = п(й+ 1) и + (к+ 1)д(х)и.
дх ду дю 22. — — 2(х)е~ ( — ) — д(х) = О. дх ду Преобразование ю(х, у) = и(В, у) -Е С(х), = / т"(х) ехр[ДС(х)~ дх, С(х) = / д(х) дх, ди Гг,тдитз приводит к более простому уравнению, — — е ' ( — ) = О, которое допускает полный дя ду интеграл Ди = 2!п(С| — г Ду) — !И(С — ДВ). 23. — У( )( ) =О. Полный интеграл в неявном виде: / Г"(ю) г(ю = С,х+ С|у+ Сг. 24. — — 7(ю) ( — ) — [уд(х) + (л(х)~ — = О. дх ду Ву Преобразование т = ( лг (х)л(х, В = ут(х)у + ( !л(х)!Р(х)л(х, !Р(х) = ехр [( д(х) дх~, дш Г ди| '|г приводит к более простому уравнению вида 13.3.3.23: — — 1" (ю) ( — ) = О.
дг 'тд 7 13.3 Уригзненин, содвргкищив произвольные дггнкиии 25. — + 2(у)д(ю) ( — ) = Ь(ю). ь / ьи() Полный интеграл: х+ Сз 3! 4- 1 ' = Сз. гзь), °, ° „ьь,инф 2б. — 3л(х)д(у)Ь(ю) ( ) = О, з ду Полный интеграл в неявном виле: ( Ь(ю) з!ю = Сз 3! )(х) з1х -Ь Сз 3г ' 4- Сз. 3 я(к) 27. — + Г'(ю+ ах+ Ьу)( — ) = д(ю+ ах+ Ьу).
Ох Оу Полный интеграл: и = — ах — Ьу -1- уз(б) -1- Сз, б = Сзх -1- Сзу, где 2ЬСэГ(Д) — Сг Зс 4Сз~Г(ДЯ(с) -1- 4Сг(иСз — ЬСз)ДГ) х Сг' ( ) 2С2 г(ь) Одну из констант Сз или Сз можно положить равной единице. 25 31(х) — + Хз(у)( ) = яз(х) + дя(у) Полный интеграл; ю = 3! ' ' ' Нх -1- 3! ' г)13 4- Сз.
Гг(х) 1 Гз(у) 29. 2(х) + д(у)( ) = аю+ Ьз(х) + Ьз(у). Полный интеграл: в = 9 ( ) + ф(У). Здесь 1о(х) = Е(х)(С1 + / ' ~, Е(х) = ехр(а / Функция ф(у) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением д(зу)(юз)з = !' ар = аф -1- Ьз(у). Замена х = 3з приводит его к уравнению, которос подробно обсуждается в книзах В. Ф.
Зайцева, А. Д. Полянина (1997, 2001). 13.3.4. Уравнения вида О + Г(хз У Зц)( О . ) + Я(хз Уз тц) О = )з(Хз Уз зо) + а( ) +Ь = з(х) +д(у). Полный интеграл.' 6 1 Г =-с,. с, Г Г(взп — — „+ — 1',Я',(Д и+ив,зб. 2о 2а — + а( — ) + Ь вЂ” = Х(х) у+ д(х). Ох Оу Оу Полный интегрхк ю = И(х)у+ / [я(х)-арз(') -Ь, (.)1 д'-~С, р(х) =~а )д +С,. ~ Уравнеззгт этого типа встречаются в механике, где переменная х играет роль врелзени, а переиеннан у играет роль пространгзпвенноб координаты. 310 Нелиньйные УРАВнения с двулия нлзАВисимыми НБРелленными КВАдРАти'>ные >ю ИРоизВОднъш 3. — + а( ) + Ь = 7'(х)то+ д(х).
Полный интеграл.' и>=(С>у+СЕ)Р(х)-~Г(х)((д(х) — НС>РВ(х) — ЬС>Р(х)], Р(х)=ехр[(7(х)дх]. Р(х) 4. — + 2(х) ( — ) + д(х) — = Ь(х). Полный интеграл. ю = Слу -1- Сз -1- / г(!>(х) — С> Д(х) — С>д(х)] л(х. ан> (он>) + ( )дн> ( ) + ( ) + дх ду ду Полный интеграл: = у9(х)+ Ь(х), >де >д(х) = С>Н(х) -1- Н(х) / дх, Н(х) = схр[/ Ь(х) г!х], >)>(х) = СВН(х) Ч- Н(х) / (н(х) — ~(х)р (х) — д(х)л»(х)] — ' Н(х) ' 6.
— +У(х)( — ) +(дл(х)у+до(х)] — =в(х)н>+Ьв(х)у +Ьл(х)у+Ьо(х). дх ду ду Полный интеграл ш = !>(х)у -Р ф(х)у+ ~(х), где функции 9>(х), у>(х), у(х) определяются путем решения системы обыкновенных диффсрснциатьных уравнений Ч>.„+ 4((х)9> + (2д>(х) — я(х)]Ч> — !>з(х) = О, (!) !Ь', + (4>(х)У>+ д>(х) — в(х)]ф +2до(х)7> — Ь>(х) = О, (2) х; — .(' )х + Ь ) ф' + до(х) Ь вЂ” Ьо(х) = О. (3) Уравнение Риккати (1) интегрируется в квадратурах для многих функций г(х), д> (х), В(х), Ьз (х), в частности, при Ь> (х) = 0 (остазьные функции могут быть любыми). Подробности см, в книгах Э. Камке (! 976), В.
Ф. Зайцева, А. Д. Полянина (! 997, 2001). Вели имеется решение уравнения (1), то уравнения (2) и (3) интегрируются злсмснтарно (они линейны относительно искомых фувкций ф и;л). 7. — + у(у) ( ) + д(у) — = Ь(у). Потныйинтег ах х= — Сх-1-С +/ ' ) (' > >т 27(д) — +У(у)( — „) +д(у) — = Ь( )+ (у) Полный интеграл: /' /' — д(у) х д>(И) -Р 4>"(у)г(у) -~- 4С»"(у) 27'(д) а ан> дн> — + у(ах+ Ьу)( — ) + д(ах+ Ьу) — = Ь(ах+ Ьу). ах ау ау При!> = 0 см. уравнение 13.3.4.4. При Ь ~ 0 переходя от т, у к новым переменным х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
