В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Вапй, 1. С. Оо!Ееца (1998). Для описания и построения обобщенных решений такого рода требуются лругис подкопы. Важно огметитьч что лзш опрслеления обобщенных решений нелинейных уравнений общего вида (1) и (14) не удается эффективно использовать наглядныс конструкции типа интегрвлызых равенств и законов сохранения, которые часто встречаются в теории кназилинейных уравнений (см.
разя. 12.1.3 — 12.1.4). Отметим, что неглалкость рен!ения может быль обусловлена различными причинами: 1) пересечением характеристик в плоскости х, у (см. палее пример 1), 2) неглалкостью начального условия, 3) негладкостью функций г' и 7(, определяющих уравнения (1) и (14). Геометрическая ннтерпретапия: формула (46) описывает два круглых конуса в пространстве (х, р, ю), у которых в основании лемсит окружность (41) и обвзая ось совпалает с ось ю. Координаты вершин конусов: ю =- хаЬ. Важно отмстить. что решение (46) является многозначной функпией Оа 2)ишеришури к разделу 14.1.2; В. В.
Степанов (!958), Р. Курант (!964), сх Качке (1966), И. 1'. Петровский (1970). 825 141. Предеарнтельные заиечагння !4,1.3-2. Вязкие решения, основанные на использовании параболического уравнения. Региение залачи Коши для уравнения (14) с начальным условием гг~ = зэ(у) при х = 0 (47) можно аппроксимировать решением дифференциального уравнения с частными производными второго порядка параболического типа ди Ои; нз — -!- 7( [ х, у., и, — ) = е ( >0) (48) 0 [, ' ' ' Оу ) ауз с тем же самым начальным условием (47). Известно, что лля достаточно н~ирокого класса функций 7( и р задача Коши для уравнения (48) имеет единственное решение. В теории уравнений Гамильтона Якоби этот факт был использован для определения решения задачи Коши (14), (47) как предела решения задачи (48), (47): ш(х, у) = 1пп и(х, у) [см., например, -г О С.
Н. Кружков (1966, 1975), М. О. СгапдаИ, Р.-Г. 1.юпз (1983)]. Эту конструкцию, основанную на предельном переходе цри е -э О, как и в теории квазилипейных уравнений (см. равд. 12.1.3), называют методом исчезающей вязкости, а предельную функцию вязким решением уравнения Гамильтона Якоби. Метод исчезающей вязкости можно, например, реализовать путем численного решения задачи (48)„(47) при достаточно мазых е [в этом случае нет необходимости искать особые точки, в которых нарушается глалкость решения] Однако этот метод очень трудно использовать для построения аналитических решений, так как приходится рассматривать более сложное уравнение с частными производными второго порядка. 14.1.3-3. Обобщенные решения, основанные на пробных функциях и неравенствах.
М. О. Сгапг(а!1, Р.-1.. Еюпз (1983), М. О. Сгапг(а11, 1.. С. Ечапя, Р. 1. Е)опз (1984) прсдложилн обобщенные вязкие решения вводить с помощью интегральных неравенств. Этот подход не связан с рассмотрением уравнений более высокого порядка и позволяет в некоторых случаях получать обобщенное вязкое решение в аналитическом вила. Определение. Непрерывная функция ш = гн(х, у) называется вязким решением задачи с начальными данными (1), (47) в слое 0 < з ( Гн если выполнены следующие условия [см., например, Р.
1.. 1лопз, Р. Е. Воийашейь (1985), А. А. Мей(гуан (1998)]: 1'. Функция ш = ш(х, у) удовлетворяет начальному условию (47). 2'. Пусть ф(х, у) — любая пробная непрерывно дифференцируемая функция. Если (х', у') точка локазьно! о экстремума разности функций (49) ш(х, у) — ф(х, у), то в этой точке должны выполняться неравенства г (х, у,ш,ф,ч!н) > О, если (х,у )"-точка локального минимума, (50) г (х, у, ил, ф,', Чэ„) ~( О, если (х',у*). точка локазьного максимума. Проверке поллежат только тс точки локального экстремума, которые находятся внутри рассматриваемого слоя (О < х' < Г). Отметим, что необязательно должна существовать пробная функция ф(х, у), для которой разноси (49) имеет локальный экстремум.
Однако, если такая функция существует, то должно выполняться условие (50). Если задача Коши имеет гладкое классическое решение, то оно совпадает с вязким обобщенным решением. В теории оптимального управления и дифференциальных играх помимо задач с начальными данными встречаются гакже задачи с конечными данными, в которых решение уравнений (!) и (14) ищется в слое 0 ( х < 2ч а искомая величина ш задается на правом конце слоя при х = 2.
Для этих задач в определении вязкого решения неравенства в (50) следует изменить на противоположные. Задачи с конечными данными сводязся к за!ачам с начальными данными путем введения вместо х новой независимой переменной = à — х. Отметим, что эквивалентные, но более сложные определения вязких минимаксных решений, использовачись в работах А. И. Субботина (1991), А. 1. ВпЬЬойп (1995).
326 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕИИЯ С ДВУМЯ НЕЗАВИОИМЫМИ ПЕРЕМЬИНЫМИ ОВЩЕГО ВИДА Рис. 11 !4. !.3-4. Локальная структура обобщенных вязких решений. (иг(х,у), если х,у б Ры ( из(х,у), если х,у б Ре, (51) которые непрерывно, но негладко, сопрягаются вдоль общей границы. При переходе через Г дм д~о производные обобщенного решения —, и — терпят разрыв. Будем считать, что гладкие дх др составляющие обобщенного решения и1 и из гладко доопределеиы во всей рассматриваемой области Р.
Тогда уравнение кривой Г, образованной сингулярными точками, можно записать в виде равенства д(х, у) = О, где д(х, у) = ие(х, у) — иг(х, у). Градиент функции д, направленный по нормали к кривой Г, находится по формуле ди„ ди„ туд = (рз — р~)е,. + (дз — д~)еу, р„ = ", д„ = дх ' др (52) где еу и ея направляющие векторы вдоль осей х и у.
Возможны две ситуации. 1'. Вектор !ад направлен из Ре в Рг. В этом случае справедливы следующие утверждения, см. А. А. Ме!!)Еуап (1998): е() Обобщенное решение в области Р может бьшь записано в виде ш = пг!п[иг, ие), см. рнс. 12. В) Не существует глалкой пробной функции !Р(х., у) такой, что локальный минимум разности функций (49) достигается в сингулярных точках, образующих Г.
С) Для однопараметрического семейства пробных функций ф(х,у) = Лие(х,у)+(1 — Л)иг(х,у), О ( Л (1, (53) максимум рюности шах [ш(х, у) — ф(х, !Г)] ,уеп достигается в точках х, у б Г. (54) Обобщенное решение ш(х, у) состоит из регулярных и сингулярных точек. В некоторой окрестности регулярных точек функпия ш(х, у) является решением в классическом смысле (такие дважды непрерывно дифференцируемые решения обсуждаются в теореме существования н елинственности из равд. 14.1.2).
Все пере~ улярные точки относятся к сингулярным. Пусть Р— некоторая достаточно малая окрестность сингулярной точки (т., у.). Обычно встречаются ситуации, когда сингулярные точки образуют некоторую гладкую кривую Г, которая проходит через (х., у. ) и разбивает область Р на две подобласз н Рг н Ре (рис. 11).
По обе стороны от Г обобщенное решение ш запашок разными классическими решениями иг и ие: 32Т !4. !. Предварительные ваиеиаиив Рис. !2 14.1.3-5. Обобщение классического метода характеристик. Рассмотрим задачу Коши для уравнения Гамильтона.51коби — "З-Н((х,.р,— ) =0, дх ''' ду ш = у(у) при х = 5.
Считаем, что функция 'Н(х, у, г1) является выпуклой по аргументу 9 штя всех х Е (О, б], у Е Н, а функция 'Н(х, у, д) непрерывно диффсрснцирусма по х, р, 9, и существуют вторые произволныс й и Н в Пусть решение характеристической системы (15), удовлсгворяющсс условию (30), имссз вид у = 1'(х,б), = И'(х,О, 9 = ()(х,6 (56) Обозначим через (би = 6„(х, р)) множество функций, полученных пузом разрешения первого равенства у = У(х, б) из (56) относительно параметра б. Индекс п указывает на число таких функций. Классический метод характеристик может быль использован для построения обобщенного вязкого решения с помощью формулы ви(х,р) = шах И(х,б) (57) гнН ! для всех х Е (О, Е], у Е Л.
Значению п = 1 соответствует классическое гладкое решенно. Формула (57) была получена 8. М!псц (1985) и Н. Н. Субботиной (1991). 14.1.3-6. Примеры низких (негладких) решений. Ниже рассмотрены две задачи, которые встречается в теории и~р, см. А. И. Суббоз ни (1991), А. 1. ЗпЬЬойп (1995).
Пример 1. Рассмозрии задачу с конечными даннымв лги уравнения Гамильтона — Якоби дщ ( дш ) з дх ду (58) Замечание. Для обобглснного рспювия типа и~ = зшп]иы из] нет необходимости проверять первое неравенство (50); второе нсравснство (50) достаточно проворить только на однопарамстричсском семействе пробных функций (53). 2'. Вектор 179 направлен из Вг в Вз. В этом случае обобщенное рспвспис можно представить в видо ш = шах]нг, из] и надо проверять лишь первое неравенство (50) на однопарамстричсском семействе пробных функций (53).
328 Нилиньйные уРАВнения с ИВумя незАВноимыми пеРемьнными ОВщего Вида 1.0 0.6 = 1.0 .8 Оэф 0.2 0 0 1 л 2 0 Рис. 14 с начальныьз условием зу ИРН (59) Решение ищем в области 0 < х < 1,. Характеристическая система (15) для уравнения (58) с ~ амнльтонианом Н(х, у, щ, д) =,~ 1 -1- уз имеет вид 1 Ф49' ' д, = О. д Р Ю., Начальные условия пояучим нз (30) при дэ(() = з 6~: (60) у=6, ш= — сь, д=б при х=б. Интсгрнруя уравнения (60) с условиями (6!), находим решение задачи Коши (58) — (59): (61) 6(х — ь) Ь вЂ” х у — 4-(., — 4 зб.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
