В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Еах (!954], О. Л. Олейник (!954, 1957, 1959], Р. Курант 11964], Дж. Унзем (!977], Дж. 7!айтхвлл (198!), Б. Л. Рождественский, Н. Н. Яненко !!978). А. П Куликовский, В. И. Свешникова (1998), А. !'. Куликовский, Н. В. Погорелов, А. Ю. Семенов 12001). 2. — + У(ю) — = д(х). дю аю дх ду Общее решение: у = / /(С(1) — С(х) -1- ю) М -1- Ф(и — С(х)), где С(х) = / д(х) дх. о — + /(ю) — = д(у). дю дю ах ар Общее решение: т = / Ы(С(!) — С(у) -1- Г(ю)) г)! -1- Ф(Г(ги) — С(у)), ко где С(у) = / д(у) г(у, Е(зи) = / /(ю) йю. Функция ф = гбз) задается параметрически 1 с помощью формул Ф =, х = Г(!л).
/( )' дю а 4. — + 2(ю) — = д(р — ах). а* ду Модельное уравнение, описывающее нелинейные волны от движущегося источника (переменные х и у играют соответственно роль времени и пространственной координаты, а скорость источника). 1'. Замена 8 = у — ах приводит к уравнению вида 12.4.2.3: дю ди — + ~/( )-а4 — =д(б) дх дс 2'. Решение со стационарным профилем: /(ю) дю — ат = /д(б) г)8-~- С, 8 = у — ох, где С -- постоянная интегрирования.
273 124 Уравнения, еодеронаиеие лроизволенме Филнции — +У( ) — =д( ). дю дю ах ар Общее решенно: у = / да~+ Ф(х — / Г(ю) Г Г дне д(ю) д(ю) — + [2(ю) + ах~ — = О. Вю д дх ду Общее решение: у = х)'(ю) + т аха + Ф(ю). ах + [2(ю) + ау~ — = О. др 1 Общее решение: х = — 1п[ау -1- Г" (ю) [ -1- Ф(н~). дх + Г" (ю + ах + Ьу) = О. др Замена и = ю Ф ох Ф Ьу приводит к уравнению вида 12.4.2.5: а.
ди — Ф Г(тя) — = а -1- ЬГ(и). дх др 9. + [2"(ю) + д(х)~ = О. Общее решение: у = х/(ю) -1- / д(х) дх -1- Ф(ю). 10. + [Г(ю) + д(х)~ = Гя(х). Общее решение; у = /,((Н(1) — Н(х) + ю) гМ + С(х) + Ф(ю — Н(х)), '"е где С(х) = / д(х) ах, Н(х) = / Ь(х) Ых. 11. + [2'(ю) + д(х)~ = Гт(ю). Общее решение: гГю -1- / ,Г(ю) Г'"' д(Н(1) — Н(ю) -~- х) ./'„, Ь( ) ./о, Л(1) Г ри~ где Н(:е) = / / Ь()' 12. — + [2'(ю) + д(у)~ — = О. Г" Ж Общее решение: х = / Ф Ф(ю). ,/„, д(е) Ф Г( ) 13.
— + [2(ю) + уд(х)~ = О. Общее решение: уС(х) — Г(ю) / С(х) дх = Ф(ю), где С(х) = ехр~ — / д(х) г)х~. 14. — + [~(ю) + уд(х)] — = Гв(х). д др Общее решение: уС(х) — / С(х))(Н(1) — Н(х) + и) гГх = Ф(ю — Н(х)), где С(х) = ехр~ — / д(х) г2х~, Н(х) = / Ь(х) г2зт тв В. Ф.
Зайпее, А д Пилении Квлзининейныв юлвнвниа Яидл З (х,у,ю) а +д(Х У ю) Ст — н(х У ю) 274 '9 + [ут(~) + ~(~)] — = О. Общее решение: уехр[ — х1(ш)] — ) д(1)екр[ — Ц(и)] г11 = Ф(ю), !тщ хо любое. о -1- [хр(ю) + уд(те)] = О. Общее решение: у Фх — -г з = сир[у(ю)х]Ф(ю). Дю) т(н~) у( ') уз( ) 1б. + [ г( )+уд( )+Г,( )] О =О.
хД(ю) Е 8(н~) Дю) Общее решение: у+ + = сир[у(ю)х]Ф(ю). у( ) у'( ) 17. 18. — + [е ~2(ю) + ед"д(ю)] — = О. О ду Общее решение при ЛГ) ф О: е. яР(х, ю) 9 ГГд(ю) / Р(1,и) М = Ф(ю), ага 19. где Р(т, ю) = ехр[ — е ' Г(ю)~. Гу [л' + 2(х)д(у)Гт(ю) = О. Общее решение: Ф(и,ю) = О, где и = у — 6(ю) / т (х) йх. Г ду l у(у) 20.
О + У( )д(У) ( ) Оу = 1( ) Общее решение: / ' = / 7(1)6(Р(1) — Р(х) -~-ю) г11-Г Ф(и~ — Р(х)), у(у) где Р(х) = / р(х) гГх. — +У( )д(у)Г( ) — сер( ) Ох Оу Общее решение: / и = / ' )(Р(1) — Р(ю) +х) от+ Ф(х — Р(ю)), у(у), р(т) 22. где Р(ю) = ~ Г пю ~ р(ю) [р(х) + дт(ю)] + [Ь(у) + дз(ю)] = О. гГх Г Ну Общее решение; 1 — 1 = Ф(гя).
При интегрировании ю .Г(х) -'-Уг(ю) з' д(У) 9 па(ю) рассматривается как параметр. 23 [2(у) + дт(ю)] — + [Ь(х) + дз(ю)] — = О. Общее решение: дз(ю)х — уГ(ю)у -~- / 6(х) пх — / )'(у) Иу — Ф(ю). 24. — У( )+*"уд( )] — = О. дх Ву Преобразование б = х" т', у = у' приводит к уравнению вида 12.4.2.16: — -~- [сР(ю) -г ОС(ю)] — = О, где Р(и~) = з (ю), гт(ю) = д(ю).
д( дв 1 Еп 1.~- п 275 124 Уровнвння, сод»рогов»нв нрошвольныв фуюндно лг Ф(и,ю) =О, где и= — х, » = ах -1- Ьу, с — любое. д и -~- ЬД(К и.) +У/ —, ) =О. ûû га Общее решение: Ф(и,ю) = О, где и = / ' — 1п(х), с---любое. Пг, ю) — Г аю у аю — + г(х" у, ю) — — = О. ах х ду Общее решение; ф(и,ю) =О, .ле и=1», 1„Ц, 41 6[гп7(1, ю) и и) 1О. — + е "~'(е "у,ш) — = О. ах ау Общее рс~нение: » = хну'", с любое. а где и= / — х, »=е у, с - любое. д, У(О ю) -1- а1 Ф(и, и~) = О., 18 12.4.3. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции двух переменных +о(: ' ) =д(').
ах ' ау Общее решение: у= / у(1, О(1) — 0(х)+ю) »11-Ьф(ю — О(х)), где С(х) = / д(х)»1х. 'во + Х(х ) = д(ю) ах ау Общеерешение: у=/ ' ' 41.~-Ф(х — С(»р)), где 17(и,)= г"' 7(а(г) — су( ) ь х, г) д(1) д(и) 3. + Дх,ш)д(у,ш) = О. ах ау гя а Общее решснис: / Д(б, ю) »15 = / ФФ(ю), где Ф(и~) — произвольная функция, д(д ю) хо и уо --любые. 4.
+ [У(х,ш) + уд(х,ш)] = О. Общее решение: ут7(х,ю) — / У(1, ю)С(1, ю) Ж = Ф(ю), где С(х,ю) = схр~ — / д(е,ю) г(1~. о"':в '»'в 5. + [у 7(х,ш) + уд(х,ю)] = О. ах ау Замена» = у' ь приводит к уравнению вила 12.43.4: дн~ дю — + (1 — Й) [У(х, ю) +»д(х, ю)] — = О. дх д» 6. — + [е нУ(х,ю) +д(х,ш)] — = О. а ау Замена» = с ~в приводит к уравнению вида 12.4,3.4: дю дю — — Л[)(х, ю) Ф»д(х.,ю)] — = О. дх д» дю а 7. — + Г" (ах + Ьу, ш) — = О. ах ду Общее решение при Ь ю О: квязилинвйныв юмвняния вилл ~(х,у,ю) а +д(х,у,ш) а = Ь(х у ш) 276 — + е Яу(хе ", то) — = О. а ' ар Общее решение: Ф(а,ю) = О, тле и = / — 1п[х~, лб Г[абПДю) Ф 11 аю аю — + у,г'(е у,ю) — = О.
дх др Общее решение: я=хе"з, с любое. дг Ф(и,п) =О., Озе и= 1 — х, д, г[а -~-тПцю)) + х" е Я,г'(х"е ",ю) = О. Общее решение: з=г"у с любое. 13 Ф(а и) =О, гте и= / ' — 1п)х[, РИ 1[аз)(0 ю) -~- и) ах + [у у(х,то)д(е "у,ю) — ау~ = О. др Общее решение: Нн Ф(и,ю) = О, где и = 1 — / 7(х,ю) схр[а(1 — )с)х]ах, д е" д(и, ш) При интегрировании ю рассматривается как параметр. — + е Л" у(ае + Ьеив, тн) — = О. дх ду Общее решение: х = х" е'я. с любое.
с=с у. 15 аб 1 Ф(и ш) =О, где и= / — — е, з=ае'+Ье", с аа -~- бду(д за) а х + [у(х,ю)д(х е", ю) — тз~ = О. дю я дю ах ау Общее решение: ~юбое. 16 17 19 Ф(и,ю) =О, где и= / — ~ ' ах, н=хчс". ис Г у(х,ю) сд(ю, ю) ./ х При интегрировании 1г~ рассматривается как параметр. [з (у,ю) + атпх у ) — — Гд(х,ю) + атзх у 1 — = О. дх ду Общее решение: Ф(и, ю) = О, тле и = / Д(у,ю) 4у -1- / д(х,ю) з)х Ф ат у . При интегрировании ю рассматривается как параметр.
[е" у(у, ю) + с)З~ — — [е~яд(х, ю) + сея| — = О. дх ду Обзнес решение: Ф(и, ю) = О, глс и = / е дав(у, ю) гйуи- / е *д(х, ю) ах — се При интегрировании 1и рассматривается как параметр. дю аю — + у(х„у, ю) — = О. ах ар Общее решение: Ф (и(х, у, ш), ш) = О, где и(х., у, а) = С вЂ” общее решение обыкновенного дифференциального уравнения у„' = 7 (х > у, а) с параметром а. Решения большого числа обыкновенных дифференциальных уравнений с различной правой частью, зависящей от свободных параметров, можно найти в справочниках В. Ф.
Зайцева, А. Д. Полянина (1997, 2001); см. также Э. Капка (1976) и О. М. Мшрйу (19бО). дю дю уя(х, у, те) — — у (х, у, ю) — = О. Общее решение: Ф(зс, 7(х, у, ю)) = О. 13. Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными квадратичные по производным 13.2. Уравнения, содержащие произвольные параметры" 13.2.1. Уравнения вида д д = у(х,у,цг) д д = а. дх ду Полный интеграл: цг = аСгх -1- — ', -'г Сз.
С, Ои Лггигсрсигзрт Э. Камке (!966) д д 2. — — = аху + Ь. Ох ду дх Полный интеграл: ю = гухгихз -1- Сг -1- Ь 1, -!- С . ./,,/ах'" т С, Ои Лггтсрстгрс: Э. Камкс (!966). дю дю — — = аху+ Ьх+ су+ в. Вх ду ( ) с, 1' +си. к* ° дю дю =ах у+Ьх Вх ду Полный ингеграл! зс(х) = т( х~~~ + Сз) х ю = Эс(х)у+ Ь / г(х+ Сг, р(х) " Этот раздел написан совместно с Л.
В. Линчук. 13.1. Предварительные замечания 1". Общее нелинейное уравнение первого порядка с двумя независимыми переменными, квадратичное относительно производных, имеет вид 3 2 изш дю Ьгр -!- )ггро-1- ~ггЧ + БР 1- ~гЯ -! Д = О Р = — 9 = —, дх ду Г"чт = Э"с,с (х, у, иг), Э"ь = Г'и(х, у, и), и, гп = 1, 2; й = О., 1, 2. Такие уравнения встречаются в механике, геолгетрической оптике, дифференциальной геометрии н дру! их приложениях. 2'. Уравнение с квадратичной нелинейностью относительно производных (1) является частным случаем нелинейного уравнения общего вида Г(х,у, ю,р,9) = О, методы решения которого излагаются далее в разд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
