В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 45
Текст из файла (страница 45)
(20) Характеристики (20) предстанляют собой прямые линии в плоокостн х, у с углом наклона щ(б), пересекающие ось у в точках б На каждой характеристике функция ю имеет олннаковос значение, равное чз® (на разных характеристиках значения ю в общем случае разные). Прн ф (() > 0 различные характеристики не пересекаются, н формулы (! 9). (20) описывают олнозначное решение. В качестве примера рассмотрим начальный профиль юз прн б < О, ьт® = зсз(з -1- сий при Г>0, (з ! (21) где ю < ю, и с > О.
Из формул (19), (20) получим алнозначное гладкое репгенне во всей полуплоскости х > О. В области, которую заполняют характеристики у = Г -1- ю, х (ири ( < 0), решение постоянно: ю = ю! прн у)х < ю!. (22) Прн Г > 0 решение можно определить по формулам (19) — (21). Посмотрим, во что перейдет указанное решение в предельном случае с -ч О, который соответствует кусочно-непрерывному начальному профилю (23) юз Далее считаем, что б > 0 (прн б < 0 справедлива формула (22)). Прн б = гопвь ф 0 н е ч 0 нз (21) имеем Зз(() = ю .
Г!оэтому в области, которую заполняют характеристики у = Г -1- ю х (при Г > 0), решение нос юянно: ю = иь прн р/х > юз (прн е — ь 0). (24) Прн à — ь 0 функпия Ф может принимая ь любое значение между и ! н юа в зависимости от соотношений между днумя малыми параметрами с н Г, при этом первым слагаемых~ в правой части формулы (20] можно пренебречь. В результате нз (19), (20) нахолим соответствующую аснмптатнку решения в явном виде (25) и~ =- !7(х пРн юз < У(х < юз (пРн с — э 0). за В. Ф Запись, А Д Полинин Пусть ((5о область плоскости х,у, а !(5 цилиндрическая область пространства х, у, ю, полученная из ьбо добавлением коорлинаты ю, причем (зо~ < Аы Пусть коэффициенты уравнения (1)(, д, й ".непрерывно дифференцируеьзые функции от х, у, ю в (нь, ах = й!(5), у = Йз(б), ш = Йз® непрерывно дифференцируемые функции б для~б~ < Лз, определяющие кривую С в Ь с простой проекцией Со в !з)о, н такие, что (й',)з ф ()зз) ~ О (штрих обозначает производную по б).
Считаем, что Г!зз — д)з', ф О на С. Тогда существует подобдасть Жо области ьбо, содержащая Со, в которой определена непрерывно дифференцируемая функция п~ = ю(х, у), уловлстворяющая лиффсренциальному уравнению (!) в ььбо и начальному условию (9) на Со. Зта функция определяется единственным образом. Важно отмстить, что эта теорема носит локальный характер существование решения гарантируется только в некоторой, «достаточно уэкойь, заранее нс фиксированной, окрестности линии С (см. замечание в конце примера 3).
Пример 3. Рассмотрим задачу Коши лля уравнения Хопфа дю ди~ †.1-ю — = 0 (14) дх ду 242 квлзилинейныь явлвнвния видл зт(х, у,ю) з" -1-у(х,у,ю) з'" = б(х у ю) Рис. 1 !!бьединяя формулы (22), (24) и (25), паяучим решение задачи Коши для уравнения (14) с начазьным условием (23): ( и11 при у < юзх, ю(х, у) = у/х при юзх < у < ювх, (26) юз при у > юзх. Характеристики уравнения (14) при условии (23) и зависимость функции ю ш у показаны на рис. 1 (где ю = —., юз — — 2, хо — — 1). В приложениях такое решение называют центрированной волной разрежения 1 (см.
также разл. 12.1.3). замечание. при наличии участка с зз'(6) < 0 характеристики будут пересекаться в некоторой области. В точке пересечения двух характеристик, задаваемых различными значениями параметра 6 и бз, функпия ю согласно первой формуле (21) булез иметь два разных значения, равных чз(б ) и зз(6.
). Поэтому в области пересечения характерисз и к решение будем многозначным. Этот пример демонстрирует локальность теоремы су1пествования и единственности. Более подробно эп1 вопросы рассмотрены в равд. 1 2.1.3, 1 2.1.4 Ов 7ип1ершпура кразделу 12.1.2: Р. Куранг (1964), Э. Камке(1966), И. К Петровский (!970), Б.Л. Рождественский, Н. Н. Яненко (1978), Б. 1. Еаг1оч (1982). 12.1.3. Качественные особенности и разрывные решения квазилинейных уравнений 12.1.3-1.
Модельное уравнение газовой динамики. Рассмотрим квазилинейное уравнение спсцищ1ьного вида" дю дю — + 7(ю) — = О, да, 'ду которое представляет собой закон сохранения количества вещества (или какой-либо другой величины) и часто встречается в механике сплошных сред, газовой динамике, гидродинамике, теории волн, акустике, теории филшрации и химической технологии. Это уравнение используется шш моделирования мнозих процессов лиффузионного типа: адсорбция и хромотозрафия, * Уравнения общего вида рассьгатриваются далее в равд. 12.1.4.
243 !2.1. Пред«ариш«лег~не заиеяаггия О О 8 у 8 у Рнс. 2 Рис. 8 лвухфазные течения в пористой среде, паводковые волны в реках, лвиженис потоков транспорта на улицах, течения жидких пленок по наклонной плоскости и др. Независимые переменные х и у в уравнении (1) обычно играют роль времеви и пространственной координаты, ю играет роль плотности переносимой величины, а Г(ю) ее скорости. Ся) Лимераглгра: И. М. Гельфанд (1959), Р. Не!ГгепсЬ, Сь К!еш (1970), А. 1е1тегу (1976), Дж. Уизем (1977), Б. Л.
Рождественский, Н. Н. Яненко (1978), Г. И. Баренблатг, В. М. Битов, В. М. Рыжик (1984), Н. Рйее, Гс Агп, Н. й. Ашппбяоп (1986), Р. Вебп1гогеш гу (1993), Бх [.ойап (1997), А. Г Куликовский, Н. В. Погорелов, А.Ю. Семенов(200!). !2.1.3-2. Решение задачи Козни. Решение и = п~(х, у) задачи Коши для уравнения (27) с начальным условием ю=зэ(у) цри х=О ( — ж<у<гю) (28) можно представить в параметрическом виде у =б-ЕУЮх, = Зэ(6, (29) где У(б) = У(9г(б)) Рассмотрим характеристические прямые у = б + У(б)х в плоскости у, х при различных значениях параметра б. Наклон этих прямых определяется коэффициентом У(б).
На каждой такой прямой искомая величина постоянна и равна ю = [о(б). В частном случае Г = а = сонат рассмагриваемое уравнение является линейным, при этом решение (29) записывается в явном виде ю = зс(17 — пх) и описывает бегущую волну с неизменным профилем. Зависимость Г = Д(ю) приводит к типичному нелинейному эффекту: искажению профиля распространяющейся волны.
Далее булем рассматривать область х ) О и считаем*, что Г > О при ю ) О и У„', ) О. В этом случае большие значения ю распространяются быстрее, чем малые. Если начальный профиль при всех у удовлетворяет условию Уг'(у) > О, то характеристики на плоскости у, х, выходящие из точек оси у в область х > О, являются расходлпгимися прямыми, и решение существует и олнозначно при всех х > О.
В физике такие решения называют волнами разрежения. Пример 4. На рис. 2 и 3 для иллюстрации показаны характеристики и эволюция волны разрежения для уравнения Хопфа [при Г(ю) —.— гс в (27)) с начальным профилем Ээ(у) = — агстй(у — 2) ф 2. Видно, что решение является гладким при всех х > О. Посмотрим теперь, что произойдет если Уэ'(д) < О на некотором интервале оси у. Пусть уг и уз — - точки на этом интервале. При у! < уз имеем Г(уг) > Г(уз). Из первого соотношения (29) следуег, что характеристики, выходящие из точек уг и уз, пересекутся в «момент временил, равный х* =, ггн: пг! = Чэ(уг), юз = 9э(у ).
уз уг Пюг) — у( )' Так как ю имеет различные значения на этих характеристиках, то решение не может быть непрерывно продолжено для х > х,. Если (с'(у) < О на ограниченном интервале, то найдется Рассмотрение абяасти х < О заменой х = — х сяолится к рассмотрению области х > О.
Случай Г < О заменой у = — у сводится к случаю Г > О. 244 Квхзилинейные ю явления вида ) (х, у, ш) — + д(к, 9, ш) —,'" = 6(к, р, ш) Х О Рнс. 4 Рнс. 5 такое значение л„„„= пцп т„что в области к > ж„ц„характеристики будут пересекаться, см. щ*яя рис. 4. Поэтому часть волны, глс ее профиль является убывающей функцией ог у, со временем будет «опрокилываетсяя. Время начала опрокилывання к „„определяется по формуле 1 ~ (сс) где значение бс находится нз условия )т'(бс)) = шах ~ кч(б)) цри У'® < О. Формальное продолжение решения в обласзь к > к,ы„делает эю решение неоднозначным. Граница области однозначности решения в плоскости р,ж является огибающей характеристик и может быть записана в параметрическом виде р = б 4- УЯ)к, О = 1 4- к (5)ж.
Пример 5. На рнс. 5 в качестве иллюстрации изображена эволюпвя уединенной волны с начальным профилем Ы(Л) = сй- '(д — 2) -; 1, (30) которая описывается уравнением (27) с 1"(н) = м. Видно, что при к > т,„„„, где к ы =- 4 з/8 ге 1.3, происходит опрокидывание волны. 12.!.3-3. Ударные волны. Условия на разрыве. В большинстве приложений, в которых встречается рассматриваемое уравнение, искомая функция ш(в, р) является плотностью некоторой среды и по своей сущности должна быль однозначна.
В этих случаях вместо непрерывного гладкого решения приходится рассматривать обобщенное (негладкое) решение, описывающее ударную волну, которая имеет вид кступевьки». При этом многозначнан часть волнового профиля заменяется некоторым подходящим разрывом, как показано на рис. 6. Следует подчеркнуть, что разрыв может образоваться при сколь угодно гладких функциях 1(ш) и уэ(у), входящих в уравнение (27) и начальное усдовие (28), 245 121. Пуедваритегюыв заивванвя Рис. 6 Рис. 7 Далее будем считать, что функция за(х, р) терпит разрыв на пинии у = э(х) в плоскости р, х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
