В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 41
Текст из файла (страница 41)
7. — +(у — а +аЛаЬ(Лх) — а аЬ (Лх)] — +е (х) вЬ( ух) — =д(х)ю+Ь(х). д ду дх Общее решение: ю = ехр [ / д(х) с1х] (Ф(иы и ) -1- / 6(х) ехр [ — / д(х) с(х~ с1х), где Е Р Г2п иь = / Э(х) с(х — — 1п]16 — ~., ия = -1- 1 Ес1х, Е = ехр[ — в!ь(Лх)]. 2 ' у — оси(Лх) ' Л 8.8.2. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции разных переменных 1. — + У(х) — + д(у) — = аю+ Ь(х). дю дю д д ду дя Общее решение: ю = е'~[Ф(и, и)-Н / е '*Цх) Их~, где и = у — Г(х)., ь = я — / 9(п,-1-Е(1)) сй, Г(х) = / Э'(х) о ьЭх, хс --- любое. дх + У(х)у + д(у)х = аю+ Ь(х). ду дя Преобразование У(у) = -(' " — у при йф1, !п]у] при й = 1, приводит к уравнению вида 9.8.2.1: дх дп.
Ох — Ф Д(х) — -1- д(У) — = аю Ф 6(т)., а' 'оу Од 1 Е() =( '-- ' ( 1п ]е] при ~пф1, при гп=1, д(1 ) = — д(у) б. + ~уь(х) + уя(х)е~"] + [дт(х) + дя(х)ер ] = Ьт(х)ю+ Ья(х). Частный случай уравнения 9 8.3.8 при дь(х., у) = дь(х), дя(х, У) = дя(х). Ьь(х,у я) = = Ьь(х), Ья(х,у, я) = Ьг(х). 218 динвиныв шлвнвниа видл Уд+ +.6 а"„' + Уз а", = дгю 4 до, г' = г' (х У г) 3. гд(х) — + 72(х)д(у) — + гз(х)6(х) — 24(х)в + гз(х). д дю д дх др д Общее решение: ю = Е(х) [Ф(ид, иг) Ф /, ], Г(х) = ехр[/ 4 ах], где , = / 72(х) дх — / — "' ., = / 7з(х) д — / — "' .
7д(х) д(у) ' Уд(т) П(г) + [Уд(х)у+ Уг(х)1 + [дд(х)в+дг(у)1 = 62(х)в+ 62(у). Частный случай уравнения 9 8.3.4 нри дд(х, у) = дд (х), дг(х, у) = дг(у), 62(х, у, 2) = = 62(т), 62(х,у, 2) = 62Ь). — + [3д(х)у+,6(х)у ~ — + [дд(у)а+ да(х)х 1 — = 6д(у)ю+ 62(х). дх др дх Частный случай уравнения 9 8.3.5 при дд(т, у) = дд(У), дг(х, У) = дг(х) 62(х У~ 2) = = 6г (у) 62(х у г) = 62(г)' .~- [Гд(х)у+ Гг(х)у~) Ф [дд(х) +да(у)е 1 = 62(х)в+ 62(у). Частный случай уравнения 9 8.'3.6 при дд(х, У) = дд(х), дг(х У) = дг(У)* 6г (х У 2) = = 62(х), 62(х,у,з) = 62(у).
+ [уд(х)+ уг(х)е""1 — + [д Ь). +д (х) 1 — = 6д(х)в+6 Ь) дх др дх Частный случай уравнения 9 8 3 7 при дд(х, У) = дд(у), дг(х, У) = дг(х), 62(х, У 2) = = гдг (г 6 62(х, у, г) = ддг(у). + [Х~( )+У~(*) "1 + [д ( )+д Ь) ~*1 д = 6 ( ) +6 Ь). Частный случай уравнения 9.83.8 при дд(х,р) = дг(х), 92(х,у) = дг(У) 62(х У 2) = = 61(х), 62(х,у, г) = 62(у) дю д д уд(х) — + уг(у) — + уз(х) — = аид + дд(х) + дг(у) + дз(х). дх др д Общее решение: ю=Ед(х)Ф(ид,иг)+Ед(х) д' ' ", +Ег(у) г' 2 ' ' +Ез(г) А(х)Ед(х) 7 72(у)Е2(у) 7 72(г)вз(г) где Ед(х) = ехр[а / ], Ег(у) = ехр[а / ], Ез(г) .= ехр[а / ], /' I' „, I' Ы*) ) Ыу)' 1 Л(*) 1 Ы) 9.8.3.
Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции двух переменных дю Вю дга 1. — + а — + 6 — = Е(х,у, х)ю+ О(хду, х). дх др д Частный случай уравнения 9.8 3,4 при уд(х) = О, 72(х) = а, дд(х, у) = О, дг(х, у) = 6. дю дю дю 2. х — + у — + х — = ив+ г (х, у, х). дх др дх Общее решение: ю=х [Ф( —, — г + [ г'(д,идг,игд) ], ид —— —, из= —, х' х' где хо-- любое. 219 Д.д Уравненни, оодержантае нро оно!нные функ!!!та а о а 3. ах — + Ьу — + сх — = Г(хт у, х)ю + С(х, у, х). о ау а Замена х = с'С привопит к уравнению вида 9.8.3.4: — Ф Ьу — + с» —, = Г(с, у, »)ю + С(е', у, »).
дю дю дю дб ду д» 4. — + [уз(х)у+Уз(х)~ — + [дт(х, у)х+дв(х, у)~ — =6!(х, у, х)ю+Ьз(х, у, х). ою а Онт ох оу а» Общее решение: ю = Н(х,и.,п) [Ф(и, т!) + I ' ' ' »1»~', /' ( ) и) — рЦ 6 (1 в где и = уГ(х) — / р»(х)К(х) т1х, Р(х) = схр ~ — / тт(х) т]а!~, (1) о = »С(х, и) — 1' д»(1, и)С(1, и) т]1, С(х, и) = екр~ — / дт(1, и) й~]. (2) в в Злссь да (х, и) = д„(х, у), Ьа (х, и, о) = 6„(х, у, ») (в этих функциях псрсмснная у должна быть выражена через х, и нз равенства (1), а псрсмснная» должна быть выражена через х, и, о нз равенства (2)], хо - - любое. ах []'( )у ~'( )у 1 оу + [д'( ' у) д'( ' у) ~ ах — 61 (хт ут х)тс + 62 (хт ут х) ° 1'. При йф1, пф1 прсобразованисб= у' ь,т =»! "приводит к уравнению вила9834: — -)- (1 — 6) [1! (х)б Ф 1»(х)] — Ф (1 — и) [д! (х, .б) т] -~- дз(х, б)~ — = дх дб дп = 6 ! (х., б, »1) то -~- 6» (х, б, д), ! ! ! глс д!»(х с) = д! »(х с ), 6! 2(»к с т1) = 6! »(х,б ь,»1 ).
2'. При й ~ 1, и = 1 замена б = у' ь приволит к уравнению вида 9.8.3.4. 3'. При й = п = 1 см. ураитснис 9.8.3.4. б — + [з (х)у + Ь( )у ! — + [Дз(хт у) + дз(х, у)с *1 — = Ох ду д» = Ьт(хт у! х)т!'+ Ьз(х у! х). Прсобразованнс б = у, »1 = с ' прнволит к уравнению вида 9.8.3.4: ! — ь †дю д ° дю — -~-(1 — Й) [Л(х)с-'г те»(х)~ — — Л[дт(х,б)т1-1-дз(х,бЯ вЂ” = 6!(х,б, »1)ю-~-б»(х,б, т1), дх дб дп ! ! где дтд(х б) = д! т (х б ! — ь ), 6! з(х б д) =— 6!» (х б ! — г, — — 1п »1).
— — Л[)т(х)э+те»(х)1 — +(1 — й) [дт(х б)»]+до(х ь)] — = 6!(х ь'.»1)то+6»(х б. 9). дю дю дю дх дб дц где Д!»(х,с) = дтз(х, — » !пс), 6!»(х.,с, т]) = 6!»(х, — » 1пс,у ! ! ), 7. — + [уд(х) + ув(х)е "1 — + [дз(х, у)х + да(х, у)х ~— = Ьт(х,у,х)ю+ Ьг(х,у,х). Преобразование б = с ", т1 = - приводит к уравнению вида 9.8.3.4: — т-ь 220 линьнныв тггвнвнттл внял )т о„' +.6 л'„' +(з л", = дгю-ндо, Л = 1 (х У г) 8. — + [ут(х) + уг(х)е и) — + [дт(х, у) + дг(х, у)е~ ~)— = Ьт(х,у, х)ит + )гг(х, у, х). Прсобразованис б = е ~т, т1 = е "' приводит к уравнению вида 9.8.3.4: дю дю дю — — Л [ут (х)с -~- тг (х)] — — 'тг [От (х, с) т1 + дг (х, с)) — = лт (х, с, т1) ю + ля (х, с, т1), дх дб ' ' ' дл щгс дт г(х с) = дт,г(х г )по) йтд(х б:т1) = лг,г(х г )пс л 1""!).
9. ~в(~) + [~~(~)у+ ~г(~)у ) + [д (х,у) +д (х,у)х = 1гт(хт Ут х)ш + 1ьг(хт Ут х). Деля обе части данного уравнения на го(х), получнч уравнение вида 9.8.3.4. 3 ( ')д (у) д + у'( )д'(у) д + ["'( у) + 1"( ' у)' ) д = 'Рт(х У х)ш+ 'Рг(х Ут х). й Ы, О) "'~) — = Ф (б, т1, г) ю + Фгй: ч, = ), дг нй )= " ' '; п=1,2. т'г(х)дт(у) 11.
рт(х)дт(у) + уг(х)дг(у) + [Йт(х, у) + Йг(х, у)е = 'Рт (хт Ут х) и' + тря(хт Ут х). 1 ((,9) ') — =ди(6т1,х) +Ф (б:тг, ), л, дю дг ц, х) ив и " ' '; и = 1, 2. т"г(")д (ту) * 12. — + 1т(х, у, х) — + уг(х, у, х) — = д(х)ш + )г(х). дю дш дю дх ду д Общее решение: ю = С(х)Ф(ит, иг) -~- С(х) /, т)х, С(х) = ехр[/ д(х) г)х~, г д(х) / С(х) где иг, иг — интегральный базис соответствующего мукорочснногоя однородного уравди ди ди пения при д(х) = 1т(х) = О: — -Ь гт(х, у, я) — -~- гг(х> у, г) — = О. дт ' ' ду ' ' дя Преобразование б = ~ г г)х, 1г(х) ./ Д(х) при гг = О, (г ь— н 1, й = О: — + —,+ [1т (69)+ дб дп глс 1т„(б, т1) = — ' '", ф„(б, уг(х)дт(ту) ' Преобразование б = 11 г ' г)х, 1 Уг( ) ./ Ы') праут гнб, 1 ии!,Й=О: дю дю — + —, + [Ьг (б, т1) + дч дт1 глс й (б,ц) = '" ', Ф (б, лт„(х, у) т'г(х)дт(у) ' т1 = ( ' т)у приволит к уравнению нила 9.8.3.5 Р д Ь) дг(У) т1 = 1 ' т)у приволит к уравнению вила 9.8.3.б 10.
Линейные уравнения с четырьмя и более независимыми переменными 10.1. Методы решения 10.1.1. Линейные однородные уравнения Рассмотрим линейное одноролнос уравнение с и независимыми переменными вида 1,(хд,...,хч) = О. ,=д 1*. Если известны (и — Ц независимых интегралов (интегральный базис) ид(тд,,х„) = Сд, и (:гд,,х,) = Сз,, и д(хд,,;г ) = С, д (2) характеристической системы (3) гд(хд,...,х ) гг(хд,...,х„) г„(хд,...,х„) ' то общее решение уравнения (1) имеет вид ю = Ф(ид, иг,, гд„ вЂ” д дю уд(хд,..., х„д, и) — = О, а величина и вхолит как параметр. 10.1.2.
Линейные неоднородные уравнения Рассмотрим общее линейное неоднородное уравнение с и независимыми переменными дю ~((хд,...,х ) =д(хд,...,х„)юей(хд,...,т ). дх, (4) 1'. Если извесгны и независимых июегралов (интегральный базис) ид(хд,...,хдою) = Сд,. ид(гд,...,х,ид) = Сз,, и (хд,,...,хдою) = С (5) характеристической системы Лхд (6) уд(хд,...,х „) у (хд,...,х„) у(дгд,...,х )ю -~- 6(хд,..., т„) то общее решение уравнения (4) имеет вид Ф(ид,ид,...,и ) =О, где Ф -- произвольная функция своих аргументов.
где Ф вЂ” произвольная функция своих аргументов. 2'. Пусть известен один интеграл и(хд,..., х„) = С системы (3). Псрсходя от хд, ., х„д, х„ к новым переменным хд, ..., х д, и, получим линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка, у которого число независимых переменных меньше на единицу: 222 ЛИНЕЙНЫЕ РРАВНВНИВ С Чк'!'ЬП'ЬИЯ И ВОЛЕВ НВЗЕВИСИМЫМИ ПВРЕЧВННЫМИ 2'.
Пусть известен интегральный базис ие = ие(х>, хг;, х ), й = 1, 2,..., и — 1, соответствующего иукороченногоя однородного уравнения, т.е. уравнения (1). Переходя ог х>, хг,..., х„к новым переменным хт, ит,..., и, 1, получим линейное уравнение Г>(х, й) — = д(х, и)ю 4- Ь(х, й), .х = х>, дх которос можно рассма!ривагь как линейное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порялка для функции ю = ю(х) с вектором параметров й = (иг, иг,..., ия 1). Решая это уравнениЕ, находим ю = Е ~Ф(й) 4- / ' †" ~, Е = ехр~/ ' г(х1.
Здесь Ф --.произвольная функция, при вычислении обоих интегралов компоненты вектора й рассматриваются как параметры. Для нахождения общего и>пеграла уравнения (4) необходимо после инте> рирования перейти к исходным переменным хг,..., х . 3'. Пусть д = О. Если известен интегральный базис й соответствующего однородно! о уравнения (при Ь = 0) и частное решение и>о = и>о(хг,...,х ) исходного неоднородного уравнения, то общее решение может быть найдено по формуле ю = юо Ф Ф(й), где Ф произвольная функции. 10.2.
Конкретные уравнения 10.2.1. Уравнения, содержащие степенные функции + Вю +Ьдю + дхт Вхз дхз Вх4 Интегральный базис: иг — — ах> — хг, иг = Ьг.! — хз, из = сх! — х4. Ви> дю 2. — + ахт — + Вхт Вхз Интегральный базис: дги Ви> Ьхт — + схт — = О. дхз Вх4 и! — — хг — — ах„иг = хз — — Ьх„из = хе — г сх!.
1,г, 1 г Ви> ди> 3. — + ахз — + дх д Интегральный базис: дю д Ьхз + сх4 = О. дхз дх4 иг = ахт — 1п >1хг), иг = Ьх! — 1п >1хз(, из = схг — 1п >1хе). 10.1.3. Задача Коши Формулировка задачи Коши: требуется найти решение ю = ю(хг,,х ) уравнения (4), удовлетворяющее начальным условиям х> = 9>1(е>,...,е — 1),, х = И (е>....,е — !), и> = р 1(ег,,ея — !), (7) где бт,..., С„-1 параметры, а 9>е(бт,..., С 1) — заданные функции. Процедура решения задачи Коши (4), (7) состоит из нескольких этапов.
Сначала определяются независимые иепегра!ы (5) характеристической системы (6). Затем для определения постоянных интегрирования С>,..., С„в интегралы (5) подставляются начальные данные (7): ие(5гт,...,р,р„41) = Се, где ре = 9>е(61,...,6я !), Ь = 1,...,п. (8) Исключая из (5) и (8) постоянные С>,..., С„, имеем и! (х>,...,х„,ю) = ие(!рт,...,!р„, р 41), Ь = 1,...,п, (9) где ре = 9>е(сг,...,б !). Формулы (9) представляют собой параметрическую форму решения задачи Коши (4), (7). В некоторых случаях, исключая параметры бг,..., б 1, удается получить решение в явном виде. Ов >7втерсюура кригдету 1О.1: Эе Квмке (1966), И. Г Петровский (1970), Н. Ййес.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
