В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 37
Текст из файла (страница 37)
8. дьо + [ут(х) + 72(х)е"") д + [дь(х) + дя(у)е'*) = [6 (х) + 62(у)1 Частный случай уравнения 8.83.9 при дг(х,д) = дь(х), д1(х,д) = д1(У). 6(х У 2) = = 61(х) г 62(у). 198 дииаиные Яелвиенил видо Ул в"' + Уг в + Хз в",' = ди', Л = У (х,р е) 8.8.3. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции двух переменных дил Ою Ою 1. а — + Ь вЂ” + Зл(хлу) — = д(хлу)и' дх др дх Ге г а(л — у) Общее решение: ил = Ф(ил,иг) ехр[ — / д(х+ , 1) (1], ле г а(л — ч) ил = Ьх — ау, ил = Ьг — / Г'(х -1- ', 1) лле, уо --лклбое. оо ь 2. и + Ь + 3(хл у)д(х) = 6(х, у)ю. Ох Ор Ох а(л — р) Общее решение: ю = Ф(ил,иг) ехр[ — / 11(х-и ', 1) М], где дл Г" г о(г — у) ил = Ьх — ау, ил = Ь / — / у(х -Ь, 1) М, уо любое.
l д() А ( Ь О О Ою 3. х — + у — + [х+ У(х,у)) — = д(х,у)ю. Ох Ор дх [Го Гтг тжт Общее решЕние: ю = Ф(ил,ил) ехр[/ д( — ',1) — ], где оо р ил = —, ил = — — / Г" ( —,1) —, уо - любое. у ео у ' лг ' 4. их + Ьу — + У(х, у)д(х) = 6(х, у)ю. Ото Ою Ою Ох Ор Ох Общее решение: ю = Ф(ил,ил) еяр[ — / 1 6(ху ' 1, 1) Ж], где — — Гь гь "Ь ~„ и1 = х у ', иг = Ь вЂ” 1 ' Г(ху 'Г Е'л", 1) л(1, уо — -любое. —,/',, 5.
— + [Хл(х)у+ Рг(х)] — + [дл(х,у)в+дг(х,у)] — = 6(х,у,х)ю. О Ою Ою Ох Ор Ох Общее решение: ю = Ф(ил, ил) ехр1[/ 6(1, ил,из) М], о тле ил = уГ(х) — / (г(х)г(х)л(х, г(х) = ехр~ — / Гл(х)дх], (1) г г Гт иг = вС(х, ил) — / д (1, ал)С(1, ил) л11, С(х, ил) = ехр~ — / дл(1, ил) Ж] (2) о *о Здесь дт(х, ил) = дл(х, у), дг(х, ил) ив е дг(х, у), 6(х, ил, аг) = 6(х, у, з) (в этих функниях переменная у должна быть выражена через х, ил из равенства (1), а переменная г должна быть выражена через х, ил, ил из равенства (2)], хо любое. + [Ут(х)у+Уз(х)у"] + [дт(х,у)х+дг(х,у)х ] = 6(х,у,х)иь 1'. При 6 ф 1, т ~ 1 преобразование Е = у' 1, 11 = г' "' приводит к уравневию вида 8.8.3.5: — + (1 — 6) [(1(хМ + (г(х)] —, + (1 — т) [д~(х,б)11+ дг(х,.О] —, = 6(х,б,лГ)ю, Ох де ед ! 1 1 1 где дл(х,б) га дл(х,б 1 — 1 ), дл(х,Д) = дл(х,б 1 —" ), 6(х,б, 11) = 6(х, ( 1 — 1,11 1 — ).
2'. 11ри 6 ф 1, т = 1 замена б = у' 1 привалит к уравнению вида 8.8.3.5. 3'. При 6 = т = 1 см. уравнение 8.8.3.5. 8.8 Уравнвнтот, содвржантив ороывогвныв фуннцтттт — + [зл(х)у + Уг(х)у ~ — + [дг(х, у) + дг(х, у)е ) — = Ь(х, у, х)то. Преобразование 5 = у' л', у = е "" приводит к уравнению вида 8.8.3.5: — + (1 — й) [)' (х)( н- )г(х)) — — Л [у (х, 5)т! + дг(х, б)~ †, = Ь (х, б, т7) дх дб дп ~ де дт (х, б) = дт (х, б ' — г ), дг(х, Я = дг (х, б ' — г ), 6(х, б, т1) = 6 (х, 8 ' — "', — — л !п т7) .
8 д + [Х (х)+Уз(: )ел"1 + [д (х у) +дг(х,у) ") = Ь(хтут ) Преобразование б = е ", О = г ' приводит к уравнению вида 8.8.3.5: — лт г — л дх д дто — — Л ~Хг(хД -6,(г(х)~ — -1- (1 — й) [дг(х, Вт! -6 уг(х,, Я~ — = 6(х, б т! )ит, дх дб дп т где дтд(х,,б) = дг г(х, — — ' !пб), 6(х,б, т!) = 6(х, — — ' 1пб,у '-" ). 9. — + [7г(х) +,Гг(х)е н~ — + [дг(х, у) + дг(х, у)ер") — = Ь(х, у,х)ге. Преобразование б = е л", т! = е 'з приводит к уравнению вида 8.8.3.5: дх дто дго — — Л [Ут (х К + Уг (х) ~ — — тд [дт (х, б) т! + дг (х, б) ~ — = 6(х, б, тг) х, дх дб дп где дг,г(х,е) =д'з(х л 1пе) 6(х:4 т!) за 6(х л 1"4 й 1пу).
10.,гл(х)дг(у) — + Уг(х)дг(у) — + [Ьл(х,у) + Ьг(х, у)х ~ — = Ьз(х, у, х)гп. дат дат дит 'т х Преобразование д = ( - т!х, у = ! ' т!у приводит к уравнению вида 8.8.3.б тт(х) г уг(у) при гтт = О, гг = 1, й = О: дх дх — — дго — + — + [Ьг(б,ц) -р Ьгфу)г ~ — = Ьз(е,ейг)х, д( ду д» где !тт(е ц) зв ' '' * ЬгЯ т1) — = '*'" Ьз(б т! г) вв Гг(х)ут(У) Уг(х)дт(У) тг(х)пт(У) П.
Ь(х)дг(у) +Ь(х)дг(у) + [Ьг(х, у)+Ьг(х,у)ел ~ = Ьз(х, у, х)ит. дх ду д Преобразование Е = ! ' т!х, т7 = ! — 'т!у приводит к уравнению вида 8.8.3.7 А(х) ' 7 МЮ) при тт =О та = 1 6 — О. — -6 — -6 [Ьт(4; т1) -6 Ьг(б, т1)е ~ — = 6з(х, у, г)то, др дп дг Ьт(х,у) — Ьг(х,у) — 6з(х,у,г) '" "'"'" = 7 ( ) ' ( ' "'"'"' = ~ ( ' ( ) ' "'"'"" = ~ ( )' '( ) 9. Линейные уравнения вида У1 д +У2 д +Уз д 9121)+90 Л Л(~ У~з) 9.1. Предварительные замечания 9.1.1. Методы решения 9.1.1-1. Структура общего решения неоднородного уравнения.
дю дю дю гг (х., у, з) — Ч- (г(х, у, г) — Ф гз(х, у, з) — = дг (х, у, з)ю Ф до(х, у, з). (1) дх ''' ду ''' дз Частный случай дг = 0 рассматривается а разл 7 1, а до = 0- —. в разя И 1 Общее решение линейного неоднородного уравнения (1) можно представить в виде суммы любого частгю~ о решения этого уравнения и общего решении соответствующего однородного уравнения (при до = 0).
9.1.1-2. Метод решения с помощью характеристической системы. Если найдены три независимых интеграла иг(х, у, г, и~) = Сы иг(х, у, з, ю) = Сг, из(х, у, г, ю) = Сз, (2) характеристической системы Их дгд да Дго Ых у ) )г(х у «) тз( у ) дг(х у з) +до(х:гу:а) то общее решение уравнения (1) имеет вид Ф(им из, из) = О., где Ф вЂ” произвольная функция трех аргументов. (3) 9.1.1-3.
Метод решения, основанный на переходе к новым переменным. Если известен интегральный базис иг = иг (х, у, г), иг = иг(х у, г) соответствующего «укороченного» однородного уравнения ди ди ди ~,(х, у, а) — + (г(х, у, х) — + ~з(х, у, з) — = О, дх ' ' ду ''' да то переход от х, у, з к новым переменным х, иг, иг приводит к линейному уравнению дю 7',(х, иг, иг) —, = дг(х, иг, иг)и) Ч-до(х, иг, и ), дх которое можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение для функции ю = и~(х) с параметрами иг, иг. Коэффициенты полученного уравнения (ы дг, до получаются из )г, дг, до в результате подстановки в них новых аргументов. Решая уравнение (5), находим Здесь Ф вЂ” произвольная функции, прн вычислении обоих интегралов и| и иг рассматриваются как параметры. Для нахоагдения обпгего интеграла уравнения (!) нсобходилю в формуле (б) после интегрирования перейти к исходным переменным х, у, з.
Линейное неоднородное уравнение с тремя независимыми перемегшыми в общем случае имеет вил 9.2 Уравнения, содерлаащое согененные фунющи 9.1.2. Конкретные примеры Пример 1. Рассмотрим уравнение дю дю диг — -1- а —, -1- Ьх — = ю -1- су -1- 2. дх ду дз (7) В примере 1 нз раза. 6.!.3 указан интегральный базис ит у оз'' и2 2 'г бх 2 (8) соответствующего «укороченного» однородного уравнения (с нулевои правон частью). Переходя в урав- нении (7) от х, у, 2 к новым переменным х, и, и, получим дю — =- ю -1- асх -1- — Ьх -1- си -1- и..
дх Это уравнение можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение с параметрами и и ия Бш общее решение дашся формулой ю = е Ф(ит,из) — — Ьх — (ос-1- б)х — ас — Ь вЂ” сит — из, 1 2 где Ф произвольная функция двух аргументов. Г!одставляя сюда и и иг из (8), находим решение уравнения (7): ю = е 'Ф(у — ах, - — — бх ) — ас — Ь вЂ” Ьх — су — з.
1 2 2 Пример 2. Рассмотрим уравнение дю дю дю — .1- ах —, Р Ьу —, = бек ю -1- с. дх ду д» (9) Частное решение этого уравнения Ф ишсм в виде функции, зависящей тонька от переменной х. Из обыкновенного дифференциального уравнения 171' = беню + с получим ю = сехр(йе") / ехр( — йе") дх. Общее решение юо соответствующего однородного уравнении (цри с = О) указано в примере 2 из равд. 8.1.2. Общее решение уравнения (9) дается сучмой юо-ью: ю = ехр(бе ')Ф(у — — ах,а — Ьху + — абх' ) + ссхр(бе«) / охр( — Ьек) дх.
9.2. Уравнения, содержащие степенные функции 9.2.1. Коэффициенты уравнений линейны по х, у, х ао а а 1. а — +6 — +с — = (ккх+)З)в+рх+9. де ау ах Общее решение: 1 Гх 1Г Г Г х ю = — ехр ~ — (ох + 2д)1 ! Ф(бх — ау, гх — ах) -1- 71 (рх + у) ехр ~ — — (ох + 2()) ~ г(х ) . а "2а г' " 2а 9.1.1мй Задача Коши. Задача Коши для линейного неоднородного уравнения (1) формулируется так же, как для соответствующего однородного уравнение при уг = уо = 0 (сч. равд. 6,1.2).
Ве решение можно получить путем подстановки начальных данных в интегралы (2) характеристической систелты (3). Залгечание. О теореме существования и единственности решения задачи Коши см. равд. 10.1.2-5. Оп Личераюура к раздел» 9.1.1: 3. Качке (1966), И. П Петровский (1970), Н. Изее, Р. Апз, 1». 8. Ашопбзоп (1986), В. Ф.
Зайцев, А. Д Полянин (1996). 202 пинзгдныв зндзнвниа зиял )д о, +.6 в„+ Уз о", = дгю» до, Л = Л(х У г) вю аю Ою 3. — + (адх + ао) — + (Ьдх + Ьо) — = (одх, + со) ид + в,х + во. вх Ор Вх Частный случай уравнения 9 8 1.! при Д(х) = ад х+ ао, д(х) = Ьдх+ бо, 6(х) = од х+ со, р(х) = вдх»- во. а Ою Вю 4. + (Ь,х+ Ьо) + (оду+ со) = аю+ вдх+ во. Ох вр Вх Частный случай уравнения 9 8 2 ! при 1(х) = Ьдх»- Ьо, д(у) = оду -1- со, Ь(х) = ядх»- яо. Ою Вю Ою 5. — + (ау+ Ьдх+ Ьо) — + (Ьх+ пдх+ по) — = (сдх+ со)ю+ вдх+ во. вх вр Вх Частный случай уравнения 9 8 1 3 при Д(х) = Ьгх+ Ьо, д(х) = ад а+ по, Ь(х) = сдх+со, р(х) = вдх»- ад.
б. + (агу+ адх+ ао) + (Ьзз + Ьгу+ Ьдх+ Ьо) а Одо Вю Ох др Ох (сзх + сзу + сдх + со)ю + взя + вгу + вдх + во. Частный случай уравнения 9 8 3 4 при уд(х) = ад, зг(х) = адх + ао, дд(х, у) = Ьз, дг(т,у) = угу-гЬдх» Ьо, Ьд(х, у, з) = сзз+ггу» сдх» со, Ьд(х, у,х) =взз» вгр» вдх+чо. 7. ах + Ьх + сх = (сох+ )3)ю+ рх+ 9. в о о Вх Вр Ох Общее рсшенис: ид = — х' д'с 'Г' [Ф(бх — ау, х 'з'*)»- ( (рх»~д)х" !'о 1гчс "*щ г1х~. а 8.
ах +Ьу +ох = (ох+)3)ю+рх+9. в о о Ох Ор Вх Общее решение.' ид = — х 'е '"' '[Ф(д у ', х"'з ")»- ) (Рх»-9)х ' ' 'с '" 'д1х~. а 9. х +ах + Ьу = (ох+ Ь)ю+ рх+ 9. а о о о вр Оя Общсс рсшснис: ю = х с'"[Ф(ид, иг) -1- ( (рх»- 9)х с "г!х~, гдс х " (бу — ъ'обг) при аблО, г ид =бу — аз, ид = д/ — абг ' ~ х ' ехр( — агс18 д! при аЬ < О. бу 9.2.2. Коэффициенты уравнений квадратичны по х, у, х а з дю 1. — + (адх + ао)— ах др Частный случай уравнения р(х) = вдх + яо. з Ою г + (Ьдх + Ьо) — = (сдх + со)ю + в,х -1- во ах 9 81.! прн Д(х) = адх +по, д(х) = Ьдхг+ба, Ь(х) = одх+со, а з дю г Ою з 2.
— + (Ьдх + Ьо) — + (оду + со) — = аю + вдх + во. о ор Оя Частный случай уравнения 9 8 2.1 при 1(х) = бдхд+бо, д(у) = оду -1-со, 6(х) = вдхд-1-во. а а о 2. — + ах — + Ьу — = (ох+ Ь)ю+ рх+ 9. а ар а Общее решение: ю = ехр(хсхд+ ух) [Ф(ид, иг) + (' (рх+9) ехр( — хсхг — бх) г!х1, гдо г г (Ьу + ддаЬ х) ехр( — ддабх) при аб)О, ид =бр — аз, иг = г бусов(ьl — абх)»-ъ~ — абзсйп(ъ' — абх) при аЬ < О. 203 9.2 Ураенендх, еоддергдеонд7де анх7енлые фунн7дн77 а г а г а 3.
— + (ау+ йдх + 1ео) — + (Ьг + пдх + по) — = (сдх+ со)ю + ядх+ яо. ах ар а Частный случай уравнения 9 8.1.3 при Г(х) = йдхг+Гео, д(х) = пдх9+ по, 6(х) = с7х+со, р(х) = япх -1- яо. дю дю аю 4. — + (агху + адх + ао) — + (Ьзуг + Ьгу + Ьдх + Ьо) — = дх ар а = (сзг + сгу + одх + со)ю + яд ху + вгхх. Частный случай уравнения 9.8 3 4 при Гд(х) = агх, Уг(х) = а,т. Ф оо, дд(г, р) = Ьзу, дг (х у) = 6 уг + Ьд х' + Ьо, Ь д (х у г) = сзг -й нар ! сд х Ф со, 6г (х у г) = ад ху Ф вг хе. о а а г 5. ах +Ьх +ох = йхю+ах .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
