В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 35
Текст из файла (страница 35)
а — + (агх +Ьгх е ) — + (аях +Ьях е ) — = сх ю. дх ду дя Частный случай уравнения 8,8.!.9 при й(х) = а~хо, уя(х) = Ьох, д1(х) = аях ', дя(х) = Ьях 6(х) = сх 10. 8.4.2. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический косинус а а а 1. — + а — + 6 — = ссЬ (13х)ю. ах ау ах Общее решение: ю = Ф(у — ах, — Ьх) сир [с / сЬ" (Зх) о!х~. а ао аю 2. а — + 6 — + с сЬ(Лх) — = [я сЬ(!Зу) + в сЦ ух)~ ю. Ох ду а Общее решение: ю = Ф(иы ия) ехр) — вЬ()!у) -6 — у! гй[ — (сЦЛ!) — сЦЛх)) + ух| М'(, Г и !.
60 а о аЛ где и1 = Ьх — ау, ия = аЛя — сяЬ(Лх). 8.4. Уравнения, содержащие гиперболические функции 8.4.1. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический синус Общее решение: ю = Ф(у — ах, л — Ьх) ехр [с / вЬ" (г!х) о1х) . дю дю Ою 2. а — + Ь вЂ” + с яЬ(Лх) — = [и вЬ(,Зу) + я вЬ("~х)1ю. Ох Од дя Общее решение: г 6 ю = Ф(иыггя)ехр( —, сЬ(Ду) — — ' ! в1г[ — (сЬ(Лх) — сЬ(Л!)) — уя1 о!!), 60 о, /о "аЛ где и1 = Ьх — ау, ия =- аЛя — сгЦЛх). дю дю а 3. — + авЬ ()лх) — + ЬвЬ (Лх) —, = свЬ (тх)ю.
ах ду а Частный случай уравнения 8.8.!.! при 1(х) = аяЬ" (Зх), д(х) = ЬяЬг(Лх), Ья(х) = О, Ь,(х) = О, Ьо(х) = сяЬ'"( ух). а Ою Ою 4. а — + Ь вЬ(!Зу) — + с вЬ(Лх) — = го вЬ(тх)ю. ах ау а Общее решение; ю = Ф(иы ия) ехр( — / яЬ(уя -1- — [сй(Лх) — сЬ(Л!)) ) о!! '(, где и1 = 63х — а1п о1г — '~, ия = аЛх — ссЬ(Лх).
ду Ою дю Ою 5. а~ вЬ"'(Лгх) + Ьг яЬ""()3>у) +со яЬ '(тгх) а., ау дх = [ая вЬ '(Лях) + Ья вЬ '(Дяу) + ся вЬ"'(тях)1ю. Частный случай уравнения 882.! при у(х) = а1яЬ"'(Л1х), д(у) = Ьгой"'(Ду), Ь(я) = с1 яЬЯ' ( д я), у(х) = ая вЬ"Я(Лях), ю(у) = Ья яЬ'"и ()гяу), Л(я) = ся вЬЯ'(ту я). 187 84. уровнвннн, содерхеошне еннербо«ические функянн 3. — + асЬ" (!Зх) — + ЬсЬ (Лх) — = ссЬ ( ух)ю.
дю дю в«о ах ву а Частный случай уравнения 8.8.1.1 при ((х) = асЬ«(йх), д(х) = ЬсЬЯ(Лх), 6«(х) = О, 1««(х) = О, Ьо(х) = ссЬ (тх). 4. а + Ь сЬ()Зу) + с сЬ(Лх) = Ь сЬ(-гх)ю. Вх ау Вх Общее решение: ш = Ф(иы и«) вхр( — !Г с!«(ч«Ф — [аЬ(Л!) — вЬ(Лх)1) е!!), и по оЛ где и1 = ЬДх — 2о вес!к т!« — ', и« = пЛ« — свЬ(Лх). ду 2 5. аг сЬ"'(Лдх) + Ьд сЬ «((Зду) + сд сЬ"'(ттх) ах ву ах = [а«сЬ '(Л«х) + Ь«сЬ '()З«у) + с«сЬ~~(т«х)1ю Частный случай уравнения 8 8 2.1 при Д(х) = п«сЬн'(Л«х), д(у) = Ь«сЬ""(Ьйу), Ь(«) = с«сЬИ (т1 «), ч«(х) = п«сЬн'(Л«х), Ф(у) = Ь«сЬ""'((З«у), т(с) = е «сЬ«'(т«х).
8.4.3. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический тангенс 1. — + а — + Ь вЂ” = с тЬ (1Зх)ю. о в в о ву в Общее решение: и> = Ф(у — пх, « — Ьх) ехр [с / тЬ« (!«х) г!х]. 2. а — + Ь вЂ” + сбЬ((Зх) — = [й тЬ(Лх) + вЕЬ(ту))пп Вто аю в ах ау вх Общее решение: ю = сЬ Г"~(Лх) сЬО т(!у)Ф(вы и«), где и« вЂ” — Ьх — пу, и = сох — а!п)вЬ(З«)[. 3. — + аеЬ~((Зх) — + ЬтЬ (Лх) — = стЬ (тх)ю. а а в ах ву а Частный случай уравнения 8.8.1.! при Д(х) = птЬ" (гчх), д(х) = Ьт!«~(Лх), Ь«(х) = О, Ь«(х) = О, Ьо(х) = стЬ'"(тх). а + ЬтЬ(1Зу) — + стЬ(Лх) — = ЬтЬ(тх)ю.
В«о а В«о ах ву Вх Общее решение: и« = Ф(пы и«) ехр) — / СЬ(т« -1- — ~ [1п !сЬ(Лх)! — !п !сЬ(Л!)!)) От (, где «г« = Ь«Зх — п1«г!аЬ(!Зу)[, и« = иЛв — г!п!сЬ(Лх)!. 5. а + Ь тЬ(!Зу) + с тЬ(тх) = (е тЬ(Лх)ю. в ау в Общее решение: ш = с!«"~'~(Лх)Ф(ип и«), где и« = Ьух — и!п!вЬ(оу)!, и« = сух — а!г«!вЬ(т«)~.
= [а«ЕЬ «(Л«х) + Ь«СЬ «(1Згу) + с«СЬ «(т«х)1ю. Частный случай уравнения 8.8,2.! при г(х) = а«тЬ"'(Л«х), д(у) = Ь|тЬ '(Ду), 6(«) = с 1Ь«'(т«х), х(х) = п«тЬ"«(Л«х), Ф(у) = Ь«СЬ"'«(1З«у), т(«) = с«ГЬ~«(т««). линейные дтлвненддя вндь гд о + уг о ч- гг о. = дю, д = г (х,у г) д. ор 188 8.4.4. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический котангенс Общее решение: ю = Ф(у — ох,г — Ьх) ехр~с/ сОЬ"(Зх) д1х].
а — + 6 — + с сЕЬ(!Зх) — = [й с1Ь(Лх) + в с1Ь( ду)]ю. Вю дю дю дх др дх Общее решение: ю = !вЬ(Лх)[ " )в1д(уу)!' 'Ф(ид, ди), гче ад = Ьх — ау, иг = сд)х — а!п[с!д(аг)]. + асЕЬ (дгх) + ЬсЕЬ (Лх) = ссЕЬ (тх)ю. д' ду дх Частный слУчай УРавнениЯ 8.8.1. ! пРи Дх) = а сдЬ" (Зх), д(х) = 6 сОЬ" (Лх), Ьг(х) = О, Ьд(х) = О, Ьо(х) = ссОЬ"'(тх). дю дю вю а — + 6 свЬ()ЗУ) — + с сеЬ(Лх) — = й сеЬ( ~к)ю. а ду дх Обшсс решение: и = Ф(иыиг)ехр( — ( дкЬ(уг+ — [1п(вЬ(Л!)[ — 1п]вЬ(Лх)!]) д!!), где ид = 613х — а1дд[с!д(!3у)], иг = аЛг — с!дд!вЬ(Лх)), а + ЬсгЬ(13у) + ссЕЬ(ух) = йсЕЬ(Лх)ю. дю дю вю дх ву Вх Общее решение: ю = [вЬ(Лх) ! ' Ф(ид, иг), где и1 = Ьдд3х — а!п[сЬ(дду)], аг = сух — а!п[сЬ(!г)].
ад сСЬ '(Лдх) — + Ьд сСЬ д(13ду) — + сд сгЬ д(тдх)— вх ду дх = [аг сЕЬ г (Лгх) + Ьг сСЬюг ()3гу) + сг сСЬ г (тгх)]ю. Чаегный случай уравнения 8.8311 прн У(х) = ад стЬ"' (Лдх), д(у) = Ьд со!д'"' (аду), 6(г) = с1 стйд'(Ч~ г), дг(х) = аг стЬ"г (Лгх), Ю(у) = Ьг снд'"г (13гу), т(г) = сг сг!две ( дгг). 8.4.5.
Коэффициенты уравнений содержат различные гиперболические функции а — + Ь вЂ” + сяЬ" (Лу) — = [всЬ ()3х) + йвЬ (ту)]ю. дю дю дю дх Вр дх Частный случай уравнения 8 8 3.1 при У(х, у) = свЬ" (Лу), д(х, у) = всЬ (ддх)+йв1д'( Гу). + авЬ" (Лх) + ЬсЬ ()дх) = всЬ" (.гх)ю. дх ау а Частный случай уравнения 8,8.1.1 при Д(х) = авЬ" (Лх), д(х) = ЬсЬ '(дх), 6 (х) = О, Ьд(х) = О, Ьо(х) = всЬа(тх).
дю аю д — + асЬ" (Лх) — + 6вЬ ()Зу) — = ввЬ (тх)ю. вх др а Частный случай уравнения 8.8.3.5 при Уд(х) = О, гг(х) = асЬ" (Лх), дд(х,у) = О, дг(х у) = "вЬ (ду) !д(х у г) = вв!' (Уг). + аЕЬ" (Лх) + ЬсеЬ (ддх) = всЕЬ" (тх)ю. Вх ву д Частный случай уравнения 8.8,1,! при у(х) = атЬ" (Лх), д(х) = 6 сдЬыд3х), Ьг(х) = О, 6,(х) = О, Ьо(х) = всСЬ '(тх), 189 85 Уровненяи еовервеощие лоеорнфпннеекне функяно 5. а вЬ(Лх) — + Ьай(,Зу) — + свЬ( ух) — = Ус сЬ(Лх)гп. дю д О Ох Ор д ну л Общее решение; ю = !аЬ(Лг>)! Ф(п>,и ), гле 1 Лх! 1 ! ОУ1 1 Лт 1 уг и> = — 1п 66 — ( — — 1п!1Ь вЂ” (, и = — !п 1Ь вЂ” — — 1п 6Ь вЂ” . оЛ 2 6УУ 2 аЛ 2 от> 2 8.5. Уравнения, содержащие логарифмические функции 8.5.1. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические функции Общее решение: и> = Ф(у — ах,г — Ьх) схр[с/!пн(>Ох) >!х].
2. а + Ь + с!п ()Зх) = и!п (Лу)ю. Ою дп> Ого в ор Ох Частный случай уравнения 8 83 1 при у(х у) = с1П" ((ух), д(х у) = в1п (Лу). 3. — + а1п" (13х) — + 61п (Лх) — = с!п ("ух)ю. д ди> Ою Ох вр Ох Частный случай уравнения 8.8.1.! При У(х) = П1по(>3х), д(х) = 61пн(Лх), Ьг>(х) = О, 61(х) = О, Ьо(х) = с!пн'( ух). 4. — + а1п (13х) — + 61п (Лу) — = с1п (-ух)ю. Ою дп> дю Ох вр дх Частный случай уравнения 8.8.3.5 при 11(х) = О .>>г(х) = П1пн((ух), д>(х,у) = О дг(х,у) = 6!п (Лу), Ь(х,у) = гй> (ух). 5. аг 1П '(Лгх) + Ьг !п '(13>у) + сг!п '(тах) Ою дю Вгл в, вр Ох = (аг 1п '(Лгх) + Ьг 1п '(13гу) + сг 1П '(угх)|ю.
Частный случай уравнения 8.82.1 при у(х) = а>!пУП(Л>х), д(у) = 61!п '(3>у), 6(г) = с1 1П (у1 ) д>(х) = пг!и (Лгх) >о(у) = Ьг 1п (>угу) Л(г) = сг 1п (тгг) 8.5.2. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические и степенные функции 1. а + Ь + сх" 1п (Лу) = ву !п (13х)ю. дх ду дх ЧаСтНЫй СЛуЧай ураВНЕНИя 8.8.3. ! Прн 1 (Х, у) = СХн!П (Лу), д(Х> у) = Ву'"!П (1>Х).
2. + ах + Ьх = (су1п (Лх) + ах1П (13х))ю. дх др Оя Частный случай уравнения 8.8.!.! прн у(х) = ат.", д(х) = Ьх.'", Ьг(х) = суп" (Лх), 61(х) = в!п'(>дх), Ьо(х) = О. 3. + П1п" (Лх) + Ьу = [с1п" ()Зх) + в1п'( ух)|ю. дх Ор д Частный случай уравнении 8.8 3.5 при ~1(х) = О, уг(х) = а!По(Лх), д>(х. у) = О* д, (х, у) = Ьу'", 6(х, у, г) = с 1п (дх) -6 я 91'(2 ). 4. а1п (Лх) + х + Ь!п ()Зу) = (сх + в!п( уу)|ю. Ор д Частный случай уравнения 8.8.2.2 при 5"(х) = а 1п" (Лх), д(у) = 61п (у)у)* Ьг(х) = сх 61(у) = и!п(уу).
дннеиныв пленения вилл (1 д"' + уя о ' ! (з д.' = ди'* Л = у (т,у х) д дд ах(1п х) — + бу(1п у)™ — + сх(1п х) — = 6(1п х)'ю. Огд а ,а ах ау ах Общее решение: ехр[ (!пх)' ]Ф(и1, ио) при я+ 1 ф и, и = л 2 г го(в — пи 1) (1пх) 1'Ф(и1, иа) при яр 1 = и, где (1п х) "' (1п у) ' (!и х) " (1п 2) и1 = — и а(п — 1) 6(ш — !) а(п — 1) с(! — 1) 8.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции 8.6.1. Коэффициенты уравнений содержат синус Общее решение: ю = Ф(у — ах, 2 — бх) ехр [с / яп" (Лх) о!х].
а — + Ь вЂ” + с впг(Лх) — = [Й вш(-Гх) + в в!и(1Зу)] иг. Ои1 Оиг . Ого а Оу Ох 6 я Общее решение: щ = Ф(и1, но) ехр < — — сов( ух) — — ' сов(ду)], где ау 6д Лг и1 = бх — ау, и = сЛх — а!п~68— Оиу . Ои1 . Ои1 — + аяп (Лх) — + Ьяп (,Зх) — = сяп ( ух)ш. о ау а Частный случай уравнения 8.8.1.! при 1"(х) = а яп" (Лх), д(х) = ба!п"'(Ох), 62(х) = О, 61(х) = О, Ьо(х) = сяпв(тх). О2о .
Оиг . Ои1 . в ах + ив!и (Лх) + Ьяп ()Зу) = [свгп (ту) + ввш (!лх)]тс. Оу Ох Частный случай ураннения 88 35 при 21(х) = О, Г2(х) = аяш (Лх), д1(х, у) = О, да(х, у) = 6 вш"'(Оу), 6(х, у, 2) = сяш (ту) и- я яп (ах). аго . Ои1 . Ви1 а — + Ь вш(!Эу) — + с яш(Лх) — = 6 яп(тх). ах оу о Общее решение: и = Ф(иг, иа) ехр( — ! я!п! тх Ч- — [соя(Лх) — сов(Л1)]) Ж '(, ). а ./о ! аЛ где и1 = ЬЗх — а 1п 68 — ', ия = аЛ2 + с соя(Лх). ду 2 о а о б.
аг яп '(Лгх) + Ьт яп '()Зту) + ст яп '(-Ггх) Ох Оу о = [а2в1п '(Л2х) + 62 я!и '(32у) + с2в1п '(722)]тд. Частный случай уравнения 8.8.2.1 при г'(х) = а1 вш"'(Л1х), д(у) = 61 я1п"ч (181 у), 6(2) = с1 в!п~'(ч1 ), оо(х) = аовшо (Лох), 66(у) = 62 вш 2 (агу), Л(2) = ся сйп 2 (222 б 8.6.2. Коэффициенты уравнений содержат косинус О О О 1. — + а — + Ь вЂ” = с сов (1Зх)тд. о* оу о Общее решение: щ = Ф(у — ах, я — бх) ехр<с / сов (Ох) г1х]. 191 В.б Уравнения, гоаерягащнг трнгннететрннеекне Функлин в в в 2.
а — + Ь вЂ” + с сов()Зх) — = [й соя(Лх) + я сов(ту)1ю. ах вр в [ й . в Общее решение: ю = Ф(иы иг) ехр [ — ' шп(Лх) + — я!п(ту)1* где ~аЛ ЬЧ иг = Ьх — ау, иг = с(1х — а 1п!ясс(Дг) + 18(г1г)[. 3. — + асов" ()Зх) — + Ьсоя (Лх) — = с соя ( ух)ю. дю дю аю ах др ах Частный случай уравнения 8.8.1.1 при Г(х) = асов" (гдх), д(х) = Ьсовн(Лх), 6г(х) = О, 6г(х) = О, Ье(х) = ссов'"(ух). 4.
— + асов" (1Зх) — + Ь сов (Лу) — = [ссов ( уу) + ясов (ргх))ю. дю дю дю г ах ар ах Частный случай уравнения 8.8 3.5 нри уг(х) = О, уг(х) = а саян(11х), дг(х,у) = О, дг(ху) = Ьсов (Лу), 6(х,у,г) = ссоя" (чу) лисов(рг). 5. а — + 6сов()Зр) — + с сов(Лх) — = й сов(тх)ю. дю Ою вю Ох Ор дх Общее решение: ю = Ф(иг, иг)ехр( — сов(уг Ф вЂ” [гйп(Л1) — яш(Лх))) гЫ), а хе аЛ гле иг = Ьдх — а1п!яес(оу) + 18(ду)[, иг = аЛг — сып(Лх). а Ою Вю б. аг сов '(Лгх) + Ьг соя '(1Згу) + сг соя г( утх) дх Оу вх [аг сов г(Лгх) + Ьг сов г ()Згр) + сг сов г(тгх)1ю. Частный случай уравнения 8.8.2.1 при 2(х) = аг сов '(Лгх), д(у) = Ьг сов '(1Згу), 6(х) = щ сояв'(чгг), Чг(х) = аг соя"г(Лгх), Ф(у) = бесов '(агу), Л(г) = сг соевы(тгг).
8.8.3. Коэффициенты уравнений содержат тангенс Общее решение: ю = Ф(у — ах, г — Ьх) ехр [с / ей" (дх) г1х1. 2. а — + 6 — + св8(1Зх) — = [йвн(Лх) + явй(тр)~ю. аю дю дю ар Ох Общее решение: и = !соя(Лх)[ ~соя(ту)[ ~Ф(иг,иг), где и1 = Ьх — ау, иг = сдх — а !п (я!гг(,3г) [. 3. + ахи ()Зх) + Ьвн (Лх) = сви (тх)ю. ах вр дх Честный случай уравнения 8.8.1.1 при Дх) = аейн(дх), д(х) = 618~(Лх), 6г(х) = О, Ьг(х) = О, Ье(х) = с!8'"(тх). 4. а + Ь ВИ()Зр) + с ЕИ(Лх) = й ЕИ(тх)ю. Вх вр дх Общее решение: ю = Ф(иы иг) ехр( — !8(бг+ — [1и !соя(ЛхЯ вЂ” 1п !сов(Л!)!)) Ж '(, а,ле аЛ где иг = Ь(гх — а1п!ятп(,ду)[, иг = аЛг+ с!п!сов(Лх)[.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
