В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Коэффициенты уравнений содержат логарифмические функции дю Вю ддл 1, — + а — + 6 — = с 1п (Лх) + я. Ох Вр дх Общее решение: и~ = Ф(у — ах, - — Ьх) Ф с 51 1и (Лх) Вх, Ф вх. й 2. а + Ь + с!п(!Зу) 1п(ух) = й!п(скх). аю Ою Оид ах ар Оя й Общее решение: ю = Ф(ид, ид) + — х(!п(Лх) — 1], где а И« ид = Ьх — ау, и« = су(! — 1п(!3ду)] -~- 651 !и( ~«) б. ад ссЬ '(Лдх) — + Ьд сЕЬ '(13«у) — + сд сйЬ '(удх) — = дю адл Оид ах Ор Ох = а«ссЬ '(Л«х) + 6«сйЬ «((3«у) + с«сйЬ '(т«х). Частный случай уравнения 7.8.2.1 прн 7(х) = ад сгЬ"'(Лдх), д(у) = Ьд ссЬн" (!3ду), 6(«) = сд с!ЬЬ (7д«), д«(х) = а«с!Ь"«(Лдх), ф(у) = Ь«сПЬ"'«((3«ду), Л( ) = с«с!Ьд«(7««).
ЛИНЕЙНЫВ ЯаАВНВНИЯ ВИЛЛ 1! а + тг я, + 13 я У Г ! (Х У Я) 168 — + и 1п" (,Зх) — + Ь 1п (Лх) — = с !и ( ух) + я. да! ап! а ах ду д Частный случай уравнения 7.8.1.1 при 7(х) = а1п" (Вх), д(х) = Ип (Лх), Ьн(х) = О Ь!(х) = О, Ьо(х) = с!п" (7х) Ф я. — + а1п" (Лх) — + Ь!п (,Зу) — = с!и (ту) + я1п (Нх). дяо а!о аю ! а* ау а Частный случай уравнения 7.8 3.5 при 7!(х) = О, 7г(х) = а!п" (Лх), д!(х, у) = О, дг(х., У) = Ь !и'"'(ду), Ь(х, У, г) = с 1п '( 7У) -1- я 1п (Вг). а! 1п ! (Лгх) — + Ь! !и™ (13!у) — + с! 1п"! (тгх)— ах ву дх = аг 1п '(Лгх) + Ьг 1п '(13гу) + сг!и"г( 1гх).
Частный случай уравнения 7.8.2.1 при 7(х) = а!!п"'(Л!х), д(у) = Ь!!п '(!3!У), Ь(л) = с! 1пгч(7!х), у!(х) = а !и"'(Лгх), Ф(у) = Ьг 1п г(!Згу), Л(г) = со 1пгг(тгг). 7.5.2. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические и степенные Функции В д д — + Ь вЂ” + Ьп (Лу) — — ву 1и (13х).
а ву дх Частный случай уравнения 7.8.3.! при д(х, у) = схо!п (Лу), д(х,у) = яу 1п (1гг!)- 2. + ах + Ьх = су1п (Лх) + ах1п ()Зх). ах ау дх Частный случай уравнения 7.8.1.1 при ((х) = ах", д(х) = Ьх'", Ьг(х) = с!пв(Лх), Ь|(х) = я!п (!Зх), Ьо(х) = О. 3. + а1п (Лх) + Ьу = с!п ((Зх) + я!п (ух). д!о д!о ди! а* ду ах Частный случай уравнения 7.8.3.5 при )!(х) = О, (г(х) = а1п" (Лх), д!(х, у) = О, дг(х,у) = ЬУ, 1!(х,у,г) = с1п'(!Зх) Ф в1п'(7г). 4. а1п (Лх) + х + Ь!п (!Зу) = сх + в1п(уу). д!о ди! дяо Вх Ву дх Частный случай уравнения 7.8.2.2 при Д(х) = а 1п" (Лх), д(у) = Ь 1пв(ду), Ьг(х) = сх ', Ь!(у) = я!п(7у). 5. ах(1п х) + Ьу(1п у) + сх(1п х) = Ь(!п х)'.
дп! д ! Ви! ах ду дх Общее решение: ч с (1пх)' " при я+ 1 ф и, !ю = Ф(и!., иг) Ф Ь вЂ” !п !1п х( при я -1- 1 = и, а где (1пх)! " (!ну)! '" (!пг)! " (1пя)! и! = — иг = а(п — 1) Ь(га — Ц а(п — 1) с(1 — 1) 7.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции 7.6.1. Коэффициенты уравнений содержат синус аш а аю 1. — + а — + Ь вЂ” = сваи (Лх) + я. ах ау ах Общее решение: ш = Ф(у — ах, х — Ьх) -1- с / я1г!" (Лх) !1х+ ах.
28 Уравнения, содеро!Сслщин тригонометрические функиии в в . в 2. а — + Ь вЂ” + ся1п(-Гх) — = 6 щи(ах) + яв(п(лоу). ах ву вх = й Б Общее реп!ение; ю = Ф(и1, иг) — — соя(от) — — соя(луу), где ао Ьр' и! — — Ьх — ау, и2 = С72 — а!п(!8— 72 2 в, . „в . а 3.
— + ая(п (Лх) — +Ья!п (!3х) — = св!п (тх). дх ау ах Частный случай уравнения 7.8.1.1 при г(х) = а я!п" (Лх), д(х) = Ья!п (дх), 62(х) = О, 6!(Х) = О, 6о(х) = сшп" (7Х). 4. + ашп"(Лх) +Ьв!п (Лоу) = си!и (ту) + ящп (!лх). в . „а . в ах ау вх Частный случай уравнения 7.83.5 при 11(х) = О„.!2(х) = аяш" (Лх), д1(х, д) = О, д (х у) = ЬБ1П (л!Лу), 6(хая) = ся1п (ту) -! ББ1П (ре), а . а . в 5. а — + Ь яш()Эу) — + с Б1п(ЛХ) — = й вш(-ГХ). ах ду в Общее решение: ю = Ф(иг, ил) Ф вЂ” у! я!пг 72+ — '(соя(ЛХ) — соя(Л!)) ) М, А ! л !де и! = ЬЗХ вЂ” а 1п 28 — ' (, иа = аЛ2 + с соя(Лх). ду 2 вю а дю б. аг Б1п '(Лгх) + Ь! Б1п ~()31у) + ст Б1п (7!Х) вх ау в = ая вш '(Лях) + бавш '(Дау) + ся в!п"'(тах). Частный случай уравнения 7.8.2.1 при у(х) = а! Бшщ (Л!Х), д(у) = Ь! Бы~!(ЛЛ!у), 6(2) = с1 Б!п (71 ), р(х) = а2 Б!п (Лгх), гд(у) = ЬЛ в!и (02у), Л(2) = с2 Б1п (722).
7.6.2. Коэффициенты уравнений содержат косинус дю Вю дю н 1. — -1- а — + Ь вЂ” = с соя (Лх) + я. дх ду дя Общее Решение: ю = Ф(У вЂ” ах, 2 — Ьх) -1- с у! соа (Лх) алх Ф Бх. ,1 дю дю дю а + Ь + ссов(!3х) = усов(Лх) + ясов(ту). дх Ву ах й в ОбпЛес решение: и = Ф(и1, ия) -> — 'чш(Лх) Ф вЂ” ' Б!П(уу), где аЛ Ьт и! = Ьх — ау, и! = сдх — а1п~чяег(!Х) Ч- 18(ов)/. 3.
+ а соя (!Зх) + Ь соя (Лх) = с соя ( ух) + я. дю Вян вю ах ау вх Частный случай уравнения 7.8.1.1 при У(х) = асов" (лдх), д(х) = 6сочн(Лх), 62(х) = О, 6!(х) = О, Ьо(х) = с гон"'(тх) + Б. 4. — + асов (Лх) — + Ьсов (,Зу) — = ссоя (ту) + ясов (лих). дю дю а а ду Вх Частный случай уравнения 783.5 при (л(х) = О, (2(х) = а сояо(Лх), д!(х,у) = О, дл(х, у) = ЬсОБ (О!у), 6(х,у, 2) = ссоя (7у) -1- БсОБ (!12).
линеиныл янлвнения вилл 7) л, + Уг в" + Ь л. = д* Л = Л(х у г) 27О О а О ел 5. а — + Ь соя()Зу) — + с сов(Лх) — = й соя(лх). ах ар Ох Общее решение: ю = Ф(иы иг) + — у! сов! 7х+ — (шп(Л!) — в!п(Лх)) ~ 41, а/ гаЛ тле и1 = Ьдх — а1гг)вес(!Зу) + 18((!у)(, глг = аЛг — сшп(Лх).
ог соя '(Лгх) + Ьг сов '()Згр) + сл сов~'(ттх) Ох Ор а = ог сов '(Лгх) + Ьг сов г()Згу) + сг сов '(тгх). Частный случай уравнения 7.8.2.1 прн 7(х) = аь сов"'(Лгх), д(у) = Ь| сов '(бгу), 6(г) = сг сов"'(7гг), дг(х) = аг сов"г(Лгх), Ы(у) = бг сов"ы(%у), Л(г) = с соил'(тгг). 7.6.3. Коэффициенты уравнений содержат тангенс Общее решение: ю = Ф(у — ах, г — бх) + с / ткл(Лх) Нх+ ях. 2. а — +Ь вЂ” +с!К()Зх) — = Ьтк(Лх)+век(ту). длл Оле длл а Ор Ох Общее решение: Ь я и = Ф(иы ив) — — !п!сов(Лх) ~ — — '1п!сов( уу) 1 аЛ Ьу глс иг —— Ьх — ау, иг = сДх — а!п!в1п(гтг)/.
ах + аЕК ()Зх) + ЬЕК (Лх) = сЕК (гх) + я. Ор а Частный случай уравнения 7.8.1.1 при 7(х) = а!8'((!х), д(х) = Ьтй" (Лх), Ьг(х) = О, Ь,( ) = О, Ь,( ) = .18™ (7 ) + . — + аЕК" (Лх) + Ьба (ЗР) = сЕК (тр) + Я*8 (7лх). ах Ор а Частный случай уравнения 7.8лй5 при у1(х) = О, тг(х) = а!8" (Лх), д1(х, у) = О, дг(ху) = бек ()Зу), Ь(х,ух) = с!8 (ту) +в!8 (рг). Ош Ою Отл от Еи л (Лтх) — + Ьл Ек ~ (Ау) — + сл ЕК (утх) — = Ох Ор дх = ог ЕК"'(Лгх) + Ьг ЕК'"г(1Згу) + сг ЕК '(тгх).
Частный случай уравнения 7.8.2.1 при 7'(х) = а~ тй"'(Л1х), д(у) = Ьг 18 '(31 у), 6(г) = с~ !8"'(71г), х(х) = а 18'ы(Л х), Ф(у) = Ьг 18"'г(Дгу), Л(г) = с 18"'(7гв). 7.6.4. Коэффициенты уравнений содержат котангенс ах ар Общее реншние: ш = Ф(у — ах, г — бх) + с / сейл(Лх) йх Ф вх.
о + Ь + с сти( ух) = Ь сти(Лх) + в сЕК(!Зу). Ою Огю Ою Ох ар Ох Общее решение: Ь в ш = Ф(иы иг) + — !п)в!п(Лх)( -1- — 1и!в!п((уу) ), аЛ ЬД гле и1 = Ьх — ау, иг = с7х+ а!и!соя(7х)!. 171 7.6 уравнения, содвро»саидов тригонометрические функя»»и 3. — + асан (!Зх) — + Ьсаи (Лх) — = ссац (тх) + я. дю д Ою дх ду д Частный случай уравнения 7.8.1.1 при 7'(х) = ас!8'(дх), д(х) = Ьсдк (Лх), бя(х) = 0 Ьд(х) = О, Ьо(х) = с»с!8 (тх) -> я. 4. — + и сСК (Лх) — + Ь сФК™(1ЗУ) — = с сЯК ( »У) + Я сск (!дх). дю Оп» дю Ох ду дх Частный случай уравнения 7.8.3.5 прн 7»(х) = О, 7»(х) = ос!8" (Лх), дд(х,у) = О, дч(х,у) = Ьстй~(ду), 6(х, у, я) = сс18 '(7у) + я с!8 (!»я). 5. а -1- Ь сад()ЗУ) + с сЕК(Лх) = Ь сЕК(тх).
дх ву Ох Общее рещение: ю = Ф(пд, и») + — с!8~7»+ — (!дд $я!п(Л!)$ — 1п $я!»д(Лх)$] (»21, о го д аЛ дле од = бдя+а!и~соя(Яу)(, но = аЛ» — с!дд!я1п(Лх)). ддо » Ою дю 6. ад сди '(Лдх) + Ьд сан '(Зду) + сд саи '(удх) в Оу Ох = ая саи"»(Лях) + бя сей»(!Зяу) + ся стиви(уях).
Частный случай уравнения 7 82.! при 7'(х) = ад сд8 '(Лдх), д(д) = Ьд стйнн(»З»у), 6(л) = сд ст д» (7» я), тс(х) = а» с!8 о (Лах), »Ь(у) = Ьч сдй и» (Зду), Л(е) = с» сейся (7» ). 7.6.5. Коэффициенты уравнений содержат различные тригонометрические функ!4ии 1. — + авдо (Лх) — + Ьсоя (!Зх) — = свдп (-!х) + я. В . Ою Ою дх ву дя Частный случай уравнения 7 8 !.1 при Дх) = а ып" (Лх), д(х) = Ь совтфх), 6»(х) = О, 6» (х) = О, Ьо(х) = с. Я1п (тх) -1- Я. 2. + асов (Лх) + Ьвш™(1Зу) = ссов (ту) + яяш (ддх). ви» Вчю .
0»ю н Ох ду Вх Частный случай уравнения 7.8.3.5 нри рд(х) = О,,дд(х) = асов" (Лх), дд(х,у) = О, дд(хд) = Ьвшо(»ЗУ), !д(х, У Я) = с сна (7У) и- Ящп (Ре). 3. + а соя (Лх) + Ьеи™()Зу) = с соя (ту) + веК (»пх). дх Оу дх Частный случай уравнения 7.8.3.5 при Гд(х) = О, 2»(х) = асов" (Лх), д» (х,у) = О, да(х, у) = Ьий Цу), 1»(х, у, с) = с соя '(ту) -1- я!к(!дс). 4. ад Я!и (Лдх) — + бд сов (1З»У) — + сд сов (тдх) — = » Ою » дю и» дю дх ду дх = аа соя '(Лях) + Ья яш '(Зяу) + са соя '(тях).
Частный случай уравнения 7 8 2 1 при 7(х) = ад щп"' (Лд х), д(у) = Ьд совт' (Зд у), 6(е) = сд сов»'(7»ай И(х) = ад соя"'(Лдх), »)»(у) = Ьч я!и»(Д»у), Л(я) = с» соя»'(7ае). дю 0»о в 5. ад Си '(Лдх) — + Ьд сак»(»З»У) — + сд с!К '(тдх) — = д* ву д = ая сФК"»(Лях) + бя Сц '()Зяу) + ся сали '(тях). Частный случай уравнения 782,! при Д(х) = ад 18"»(Лдх), д(у) = Ь| с!8 '(Д у), !д(л) = сд дзй~'(7»е), »р(х) = а» с!8"»(Лах), Е(у) = Ь» 18»(»З»у), Л(с) = с» сдйяо(7 с).
7|пнет|из!я ггзяненнл Вн||л 1! з + уз в, + уз в. = д* т = т (х У з) 172 дш ди| д|е а! + аз + аз — = Ь| агсвш(Л|х) + Ьз агсвш(Лзу) + Ьз агсвш(Лзх). в оу Вх Частный случай уравнения 7.8.2.! при Дх) = а|, д(у) = аз, 6(з) = аз, тз(х) = Ь| атсяп(Л|х), Ф(у) = Ьз атсв!п(Л у), Л(з) = Ьз атсвш(Лзз).
в о ди! а + 6 + сагсяп (Лх) агсяп (|Зх) = вагсяп (тх). дх ду Ох Частный случай уравнения 7,8.2.3 при 7т(х) = а, 7з(х) = 6, 7з(х) = сясйп" (Лх), 74(х) = в атсяп"'(7х), д(у) = 1, 6(з) = атсяш|(,'Зз). Ои| Ои| Ои| а — + Ь вЂ” + сагсв!п (Лх) агсяп ()Зу) агсв(п (тх) — = в. Ох ду дх Частный случай уравнения 7832 при 7(х,у) = сатсзш" (Лх)атсвш (!Зу), д(з) = атсч|п (уз), 6(х, у) = в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
