В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 30
Текст из файла (страница 30)
При интегрировании иг ст 7. (аг + азе ) — + (Ьг + Ьгенп) — + (сг + сает ) — = Ьд + йяе"". ох ау ох 61 . 1 62 Ьг Общее решение: ю = Ф(иы иг) + — х+ — ( — — — 11 1п(аз + аге ), гле йг а йз йг иг = — [ах — !п(аг + азе н)] — — [!ту — 1п(Ьг + Ьге )], 1 1 вн иго 6 (1 иг = — [ах — 1п(аг + азе н)] — — [тх — 1п(сг + огг.' )].
агй Ггз 8. е~п(аг+аяе н) — +е (Ьг+Ьге~в) — +се~в~т' — =йзени(6г+Ьзе "). дх ау дх Общее решение: ггг = Ф(иг, из) -!- х -1- — ( — — — г! !п(а~ -1- азе ), гле ягяз Ьз Г Ьз йг а йз йг иг — — 1п(аг+аге ) — 1п(Ьг-1-Ьзе ), из = [ах — 1п(аг-1-азг. )] Ф вЂ” е ' '. 1 1 вн 1 йза Ьгд ага ст 7.3.2.
КоэФФициенты уравнений содержат экспоненциапьные и степенные функции ох ау ах Частный случай уравнения 7 8.1.1 при Д(х) = ах", д(х) = Ьх'", Ьз (х) = сел", 6г (х) = Лев*, Ье(х) = ве *. ою ! л.аю+Ь ою = " +Ьи + ах ор ах Частный случай уравнения 7 8.1.1 при Д(х) = пел', д(х) =Ьх ', Ьг(х) =ох", Ьг(х) = бе~", 6о(х) = ве ". о " ор о Частный случай уравнения 7.8.2. ! при Д(х) = 1, д(у) = ау", 6(з) = Ьз'", зг(х) = сел*, Ф(у) = йе ", х(з) = ве"'. — +ае — +Ьх — =се +Ьу +ве аю Вв дю дю л дх ор ах Частный случай уравнения 7.8.2.1 при г(х) = 1, д(у) = ае"", 6(з) = Ьхн', Зй(х) = сел', ю(у) = "у ° Х(х) = че г!' 3.
+ае +Ьу =Ьен х+ве'". о ор " ах Частный случай уравнения 7 8.1.4 при 1г (х) = О, уз (х) = пел, дг (х) = Ь, дз (х) = Ьг(т) = О, Ьг(х) = йе *, 6о(х) = вез . лннейиыв у!Авнения Вилл З! а + |з а + зз л д ! ! (х у х) 164 — -1- [ул -1- Ьу -!- ае" (у — Ь) — Ь ) — + [х + с(хх — 1)е ) — = гсе ах ду а 10. 7.4.
Уравнения, содержащие гиперболические функции 7.4.1. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический синус Общее решение: ш = Ф(у — а;г,, - — Ьх) + с / вй (Лх) |1х+ их. а + 6 + с в!|(Лх) = Ь в1|()3у) + я в1з(гх). ах ау а Общее решение: ь и = Ф(а|, из) + — сй(()У) — — ( ай[ — (сй(Лх) — с1|(Л1)) — тх1 М, ьд Л' [л где и| —— Ьт, — ау, из = аЛг — сс1|(Лх). + ав1г" ()3х) + Ьвуг (Лх) = сяуз (гх) + я.
ах ау а Частный случай уравнения 7.8.!.1 при Д(х) = а як" (дх), д(х) = 6 ай!(Лх), Ьз(х) = О, Ьз(х) = О, Ьо(х) = сей (7х) -!- в. а + Ь я1з()3у) + с яуз(Лх) = Ь в1|(тх). а ду дх Общее решение: щ = Ф(из,из) + — ! вй(7х Ф вЂ” [с!ЦЛх) — г|Ь(Л1)]~!11, где а, с аЛ и| = Ьох — а 1п !Ь вЂ” (, из = аЛх — сей(Лх). Др 2 2. 3. л. Общее репхнис: ю = — е ' -!- Ф(и|, из), где и|, из - интегральный базис однородного Л уравнения 6.3.2.5. — + [уз + ае (х+ 1)) — + (се~"ха + Ье ~ ) — = !се~". дх ду дх Общее решение: ю = — е -!- Ф(и|, и ), глс и|, из — интегральный базис олнородного Л уравнения 6.3.2.6.
+ ( + Ье ") + [|1 Л + сез ( — с|2е!И~т!")) = 7е Вх Ву Вх й л Общее решение: и = — 'е + Ф(и|, из), где и|, из интегральный базис однородного Л уравнения 6.3.2.7. л, ! Ь еа, ь) ! ( лз"в+ 6 едз Частный случай уравнения 7.8.1.7 при гз(х) = а|ел", гз(х) = 6|ее'", д|(х) = азе~з*, дз(х) = Ьзсдз*, Ь(х) = ах'. + (а еи! + Ь ет' ь) + (а елз + Ь етз"+з'*) дх Частный случай уравнения 7.8.!.8 при )г(х) = а!с~! ', зз(х) = 6! е~', д| (х) = авеля'"', дз(х) = Ьзез", Ь(х) = сх'. — + (атх + Ьдх е ) — + (азх + Ьзх е ) — = сх,'. дю ля д|с ь ! и аи! ах Ву Вх Частный случай уравнения 7.8.!.9 при (з(х) = а!в", зз(х) = 6|х, д|(х) = азх ', дз(х) = Ьзх, Ь(х) = сх 7УХ Уравнения, еосерхеаине гнверболнчеенпе фун Чнн Ою Ого О 5.
аг вЬ '(Лгх) — + Ьг вЬ '()Згу) — + сг вЬ '(тгх) — = Ох ду О = г'г в1г (Лгх) + Ьг Я!' Ргд) + сг в!' ('уях). Частный случай уравнения 7.8.2.1 при 7(х) = аг в!г"'(Лгх), д(у) = Ьг в1ген(77гу), Ь(г) = ег вЬ''(7гг), яг(х) = а вЬ"г(Лгх), Ф(у) = ЬгчЬ г(1)ггу), Л(г) = се вЬ '(7гх). 7.4.2. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический косинус Общее решение: ю = Ф(у — ах, х — Ьх) -!-с / сЬ (Лх) дх -1- ях. 2. а + Ь + ссЬ(Лх) = ЬсЬ()Зу) + всЬ(гх).
Вю дю дю дх ду дх Общее решение: ю = Ф1иы иг) + — вЬ(ду) + — уг гЬ| — (сЬ(Л1) — сЦЛх)) + 'Гг| Ж, й Ьд ' а о аЛ где иг = Ьх — ау, иг = аЛх — сяЦЛх). Ого О Ою — + а сЬ" ()Зх) — + Ь сЬ (Лх) — = с сЬ ( гх) + в. дх ду Ох Частный случай уравнения 7.8.!. ! при 7(х) = а сЬн(Зх), д(х) = ЬсЬг(Лх), Ьг(х) = О, 6~(х) = О, Ьо(х) = ссЬ (ух) + я. а + ЬсЬ((Зу) + ссЬ(Лх) = ЬсЬ(тх). дх ду дх Общее решение: ю = Ф(иг,иг) + — ~ ей!ух + — (вЬ(Л1) — вЬ(Лх)) '(Ж, 1де а о аЛ иг = Ьдх — 2а агсск 11г — ', и = аЛг — свЦЛх). ру 2 д О Ою а — + Ь сЬ(1)у) — + с сЬ( гх) — = р сЬ(Лх) + д.
Ох ду дх Общее решение: ю = Ф(иг, иг) + — х+ — вЦЛх), где иг = Ьдх — 2а асс!к гЬ вЂ” ' с р Згу а аЛ 2 те ггг = с ~х — 2а агсак 111— 2 дю дго О аг сЬ"'(Лгх) + Ьг сЬ г()Згу) + сг сЬ '( Ггх) О ду дх = аг сЬ г (Лгх) + Ьг сЬ г ()ЗгУ) + сг сЬ"г (Угх). Частный слУчай УРавнениЯ 782.1 пРи Д(х) = аг сЬн'(Лгх), д(У) = Ь1 сЬн'(17гУ), 6(г) = с1 сЬн' (уг г), Чг(х) = аг сЬ"' (Лгх), Е(у) = Ьг сЬыг (Дгу), Л(г) = сг сЬг'(7г -). 7.4.3. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический тангенс Вгх Вю Вю я 1. — + а — + Ь вЂ” = с СЬ (Лх) + я. Вх ду дх Общее решение: ю = Ф(у — ах, г — Ьх) + с( 1Ьн(Лх) г7х Ч- ях.
2. а — + Ь вЂ” + с СЬ(тх) — = ге СЬ(Лх) + веЬ(13у). О Ои О Ох Оу дх Ь в Общее решение: ю = Ф(иг,иг) -1- — 1п[сЬ(Лх)] + — 1п(сЬ(77у)1, где иг = Ьх — ау, аЛ ор' ггг = е'ух а 1и/вЬ(7г) !, динейныв «тлвняния видл г» в +.6 о„+ 7з в.' = д, 7 = 7 (х,у,я) 2ОЬ 4. а — + 6ЕЦ,Зу) — + сЕЬ(Лх) — = 61Ь( ух). Ою д Ою а ду''а Общее решение: ш = Ф(и»,иг) + — ~ »Ь) ух+ — '[1»»[сЬ(Лх)! — 1п!сЬ(ЛС)!]) Ж, а ./о аЛ где и» = ЬВх — а 1п!вЬ(»Зу)[, иг = аЛя — с1и [сЬ(Лх)~.
5. а + 6ЕЬ(уЗу) + сЕЬ( ух) Ох ду = 6 еЬ(Лх). Ох 6 — 1п[сЬ(Лх)1, где и» = 6»дх — а1п!вЬ(»ду)1, аЛ Общее решение: ю = Ф(и», иг) -1- иг = сух — а!п~яЬ(уя) ~. 6. аеЬ(Лх) + 6еЬ()Зу) + сеЬ( ух) = 6. Вх. Оф дх Общее решение: ю = Ф(и», »лг) + — 1п[яЬ(Лх)), и» = 11(д )!" аЛ 'яЬ(Лх))ОЯ иг = ' = вЦЛх) ° 7.
а» еЬ «(Лгх) — + 6» 4Ь «()З»у) — + с» еЬ «('у»х)— Вх ду Вх = ая ЕЬ"«(Лях) + Ья ЕЬ '(73яу) + ся ЕЬ"«( уях). Частный случай уравнения 782.1 при Дх) = а»ЕЬ'*«(Л»х), д(у) = 6»»Ь«"«(д»у), 6(я) = с» оЬ~«( у»я), И(х) = аг »Ьо'(Лгх), »»г(у) = 6« »Ь""(»угу), т(я) = сг вЬ»'( Ггх). 7.4.4. КоэФФициенты уравнений содержат гипербопический котангенс дю ди« дю 1.
— -1- а — + 6 — = с сЕЬ (Лх) + в. дх ду дх Общее решение: ю = Ф(у — ах, я — Ьх) + с / с»1»л(Лх)»ух Ф вх. 2. а — + 6 — + сс»Ь(тх) — = 6соЬ(Лх) + вс1ЦуЗу). В«о Ою Ою Ох Ву д Ь я Общее решение: ю = Ф(и»,иг) Ф вЂ” 1п[яЦЛх)~ -»- — '1п[вЦ(уу)1 где и» = Ьх — ау, аЛ ьд иг = сух — а!п[сЬ(уя)~. 3. — + ас1Ь ()Зх) — + 6с1Ь (Лх) — = ссЕЬ ("ух) + в. дю дю дю Вх ду Ох Частный случай урявнения 7.8.1.1 при У(х) = ос»Ь" (Вх), д(х) = 6 с»Ь" (Лх), Ьг(х) = О, 6»(х) = О, Ьо(х) = ссОЬ'"(-ут)-1-в.
4. а — + бс1Ь(;Зу) + ссеЦЛх) — = 6св1»( ух). а Вю дю Вх ау Ох Общее решение: ю = Ф(и», иг) + — 1 с»Ь) ух -1- — [1п !яЬ(Л1)[ — 1п !яЦЛх)!) ) Ж, а го оЛ где и» = Ьдх — а1п[сЬ(»ууЯ, иг = аЛя — с!п!вЬ(Лх)!. 3. — + аеЬ (»Зх) — + ЬеЬ (Лх) — = сСЬ ('ух) + в. дю Вю а ах Оу Ох Частный едучий уравнения 7.8.1.! при 7(г») = а»Ь" (дх), д(х) = 6оЬ (Лх), 6я(х) = О, 6«(х) = О, Ьо(х) = с»1»"'(7х) + я. 7.5 Уравнения, сосгер«дсанГне.двеарпфмннескне функянн 5.
а — + Ь сеЬ((3у) — + с с!Ь(тх) — = й с!Ь(Лх). О О Ою ах ар а й Общее решение: ю = Ф(ид,и«) + — 1«д!вЬ(Лх)~. где ид = 60«: — а!п(с!д(ду)], аЛ а« = сух — а 1п(сЬ(7«)]. 7.4.5. Коэффициенты уравнений содержат различные гиперболические функции 1. а + Ь + сяЬ" (Лу) = всЬ (!Зх) + 6яЬ (ту). ах ар а Частный случай уравнения 7 8 3 1 нри Г(х, у) = с вЬв(Лу), д(х, у) = в с1д"'((5х)+ 6 в!д~( Гр). Частный случай уравнения 7.8.1.1 прн г(х) = авЬ" (Лх), д(х) = Ьсй"'(13х), 6д(х) = О, Ьд(х) = О, 6а(х) = я сйн(7х). 3. — + асЬ" (Лх) — + 6вЬ (13у) — = явЬ (тх).
аю аю дю а* ду дя Частный случай уравнения 7.8.3.5 прн 5д(х) = О, 7«(х) = а сЬ" (Лх), дд(х, р) = О, д«(х, у) = 6 чЬы(!3у), 6(х, у, «) = як!д '(7«). 4. + асЬ" (Лх) + ЬссЬ (1Зх) = вссЬ (тх). Ох др Ох Частный случай уравнения 7.8.1.! при г(х) = гд!Ьв(Лх), д(х) =- Ьс!Ь (Зх), 6«(х) =- О, 6д(х) = О, Ьв(х) = я с!Ь~(ух). 5. а яЬ(Лх) — + Ь аю дх яЦ13у) — + с яЦтх) — = й сЦЛх). а дю ду дх й = Ф(ид, и«) Ф вЂ” 1п(яЬ(Лх)~, где аЛ тЬ вЂ” ~ — — 1п]сЬ вЂ” '~, и« = — !п еЬ вЂ” — — 1п сЬ— Л" ! ! ~ др ~ 1 Лх 2 вд 2 аЛ 2 с1 2 Общее решение: ю 1 ид = — 1п аЛ 7.5. Уравнения, содержащие логарифмические функции 7.5.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
