В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 18
Текст из файла (страница 18)
уравнения, егиерз~еаюив обрагннгяе юригонохетринепхе фумнвии О О а — + Ь вЂ” = сагсвш(Лх + 73у)ю. Ох Оу 1'. Общее решение прн аЛ + Ьд ~ Рс Г с(Лх + Оу) 1 — (Лх+ ду)е ю = ехр~ агся[п(лх 4-ду) 4- ~Ф(Ьх — ау). аЛ х Ьд аЛ+ ЬО 2*. Общее решение при аЛ Ь Ь[1 = рн и = ехр ~ — х вгсгйп(Лх 4- (уу)] Ф(Ьх — ау]. ~а, О О х — + у — = ох. агсяп(Лх + Ду) ю. О Оу 2. б .
= [ . ио еа+ ' [Ф( — ). ' — (* аг' 'я' ~ ~.1 Ою Ою м а — + Ь агся(п (Лх) = [с агав(п (7ях) + в агсшп ()Зу)) ю. Ох Оу Частный случай уравнения 4.8.44 при )(х) = а, дг(х) = О, да(х) = Ьатсв[п" (Лх), 6(х, у) = свгсяшае(рх) 4- я агав[а (Ду). дю дю и а — + Ь агсяш" (Лу) — = [с агсвш™(1ях) + я агсяш (Ду)1ю. дх Оу Частный случай уравнения 4.8.2.4 при )(х) = а, д(у) =- Ьагсшпи(лу), Ь~(х) = сагсвп1""(рх), Ья(у) = яагсвш (Ду).
4.7.2. Коэффициенты уравнений содержат арккосинус Ою Ою 7 х у Л 1. а в + Ь вЂ” = ( сагссоя — + й агссоя — )ю, дх ду Л Общее решение: ю = ехр ~ — ( х вгссоя — — муЛ вЂ” хи ) Ф вЂ” ( у атосов — ' — Л7 Д' — у ) ~ Ф(ьх — ау), а, Л Ь р а + Ь = сагссов(Лх+ 13у)ю. О О Ох Оу 1'. Общее решение при аЛ; — Ь(1 ~ рн Г с(Лх -~- Оу) — еа' .. ° а.+ел- ' '] (.- е. аЛ -~-ЬД ' аЛ Ч-ЬО 2'. Общее решение при аЛ 4- ЬЗ = Рл Гс ю = ехр ~ — 'х ахссоя(Лх + Ду)1 Ф(ьх — ау) . а Ою Ою х + у = ах атосов(Лх + )ау)ю. Ох Оу об е% =*[: О ея— 4.7. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции 4.7.1. Коэффициенты уравнений содержат арксинус Ою дю ,' .
х ут 1. а — + Ь вЂ” = (сагсшп — + Ьагсв1п — )ю. дх ду (, Л О) Общее решение: и = ехр~ — (хагсшп — + я7 Л' — х ) + — ( у агент — + л73' — у )~ Ф(ьх — ау). (а(, Л ) Ь(, О Линейные ХРАВНЕНИЯ ВИЛА 3 (х, У) е + д(х р) 2 = 6(х р)ю 102 д д я а — -[- Ьагссов (Лх) — = [сагссов (Ггх) + вагссов (,Зр))гп.
дх др Частный случай уравнения 4.8.44 при 1(х) = а, д2(х) = О, да(х) = Ьагссов" (Лт), 6(х, р) = сагссов (12Х)-~-вагссов (Зу). а + Ь атосов (Лу) = [с атосов (!АХ) + в атосов ()Зр)) ю, дх др Частный случай уравнения 4.8.2.4 при у(х) = а, д(у) = Ьагссов'(Лу), 62(х) = с атосов (Ггх), 62(у) = в атосов ([3у). 4.7.Ъ. Коэффициенты уравнений содержат арктангенс о о х р т 1.
а + Ь = ( сагсеб — + 6агсеб — 1ю. дх др ( Л д Общее решение: Г с Г х' Л '2 е 1 й Г Р д '2 '2 ю = ехр( — [хагс18 — — — !п(Л +х )~ + — [р агс!8 — — — !Н()3 +у )] )Ф(ЬХ вЂ” ау). а Л 2 Ь[ д 2 дю дю 2. а — + Ь вЂ” = с агсГК(Лх +,Зу)ю. дх др 1'. Общее решение при НЛ+ ЬЗ ~ О: ю = ехр( ' агс18(Лх+ 332у)— Г с(Лх -~- др) !В[1 а (Лх -!- др)2) 1 НЛ -1- 623 2(ВЛ -~- 6,3) ГФ(6х — ау). 2'.
Общее решение при аЛ + ЬД = О; Гс ю = ехр ~ — х агстб(ЛХ Ч-,Зу)) Ф(Ьх — ау). дю дю 3. х — + у — = ахате!8(ЛХ+ 33р)ю. дх ду 2 Общее решение: ю = ехр(ах агстк(ЛИ+ Зу) — 1п [х + ~ ) Ф( — ) . 2(Лх -~- Гур) (Лх 4 др)~ х 4. а + Ьагсек (Лх) = [сагсГК (!АХ) + ватага (~3р))ю. д:и др Частный случай уравнения 4.844 при Г(х) = а, дг(х) в— в О, де(х) = !2агстк" (Лх), 6(х, у) = саге!8'"(рх) -!- ваге!8~(ду). 5. а + Ьагсгй" (Лу) = [сагсек (их) + вагсгй (ГЗр)1ю. дх др Частный случай уравнения 4 8 2 4 при у(х) = а, д(у) = 6 агс18" (Лу), 62 (х) = саге!к'" (дх), 62(у) = вагстй (Зр).
4.7.4. Коэффициенты уравнений содержат арккотангенс О О Г х у Л 1. а + Ь = (сагссгб — + 6агссеК вЂ” 21ю. д Ор Л Общее решение; ГсГ х Л 2 21 ЬГ р Д я 21 ю = ехр( — 1хагссгк — + — 1п(Л +х )~+ — !уагссгб — + — !п((3 +у )) )Ф(ЬХ вЂ” ау). та[ Л 2 Ь д 2 д д 2. а — + Ь вЂ” = сагсс18(Лх+,Зр)ю. О* др 1'. Общее решение при аЛ + 623 ф О: Г с(Лх -~- Д2р) !п[1 Ч (Лх ' Ггр)е11 ю = ехр( ' ~ агсс18(ЛХ+ Зу) -1- ' ' 1Ф(ЬХ вЂ” ар).
ВЛ -~- Ьд 2(аЛ -~- 66) 2', Общее решение при аЛ + 613 = О: ю = ехр[ — 'х агсс18(Лх '; 13у)1Ф(Ьх, — ау). 2ОЗ 4.8 Урокнення, еоиеооеоолие нроьикольные ф>мяяии а аю 3. х — + у — = ах игссед(Лх + )Зу)тн. ах ор Общее реп~ение: н~ = ехр(ахаггт28(Лх+ ду) + 1п(х + " 1)Ф( — ). 2(ЛТ 4 Ю (Лх -~- ду)о х 4.
а — + Ьигссед" (Лх) — = [сигсссд (,их) + яигссск (13у))ю. Ого а й ох ар Частный случай уравнения 4.8.44 при Д(х) = и, дг(х) = О, уо(х) = Ьагсстк" (Лх), )йх,у) =сагсстб (ггх)+яагссек (Зу). 5. а — + Ьагсс1и" (Лу) — = [сагсс18™(их) + яигссгк (Зу))ю. о ою й ох ар Частный случай уравнения 4.8.2.4 при ((х) = и, д(у) = Ьагссгб'(Лу), Ьг(х) = с агссгб"'(1гх), Ьа(у) = я агссгк" (,Зу).
4.8. Уравнения, содержащие произвольные функции 4.8.1. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции х а а 1. а — + Ь вЂ” = 2'(х)ю. ох ор Общее решение: ю = ехр [ — / Д(х) йх~ Ф(Ьх — ау). 2. + а = 3'(х)ую. Ох др Общее решение: ю = ехр[ 1' (у — ох+ а1)7(Г) М) Ф(у — ах), глс хо любое. 'ек 3. + а = [2(х)у + д(х)у+ )ь(х))ю. Общее решение: ю = еяр [И(х)у и- Ф(х)у -~- Л(х)) Ф(у — ах), гле р(х) = / ~(х) г)х, й(х) = [ [д(х) — 2ар(х)1 г)х, Л(х) = / [Ь(х) — ий(х) )г)х. 4.
— + а в = 2(х)у ю. дю Ото дх др Общее решению ю = ехр [ 1' (у — ах Ф ог) г" (1) Й] Ф(у — пх), гле хе - - любое. к 5. + а = У(х)е "ю. о оу Общее решение: то = схр[е Ш *~ / г"(х)ео 'г)х1Ф(у — ох). б. О + [ау+ у(х)~ = д(х) Общее решение: ю = ехр[/ д(х)ох| Ф(н), глс и = е 'у / е (х)е е)х. 7. — + [ау+ у(х)~ — = д(х)у ю.
ах др Частный случай уравнения 4.8.2.3 при Ь(у) = уй. линейные ъРАВненил Видд д (х, у) с + д(х. у) о = Ь(х у)ю 104 8. 3'(х) — + у — = д(х)ю. дю идю дх ду Общее решение; 1 д А ( 4х уехр[ — / ~™ при /с~1, ю = ехр[/ — 4Х~Ф(и), д (х) при 1=1. У(х) — + (у + а) — = (Ьу + е) дю дю дх ау Общее решение: ю = (у 4 о)' '~Е~ВФ(и), где и = (у->о) охр[ — 1 х 1 ./ 1(х) д 1О. У(х) — + (у + ах) — = д(х)ид. дю ддю д ду Общее решение: ю = сир[/ 4Х~Ф(е 'у — о/ д1Х), где В = / 11. У(х) — + [дд(х)у + до(х)~ — = [Ье(х)у + Ьд(х)у + Ьо(х)|ид. дх ду Общее решение: ю = ехр [од(х)у' -> Ф(х)у Ф К(х) )Ф(и), и=с у — ( е ' — 4Х, у где 15. Г(х)е "— + д(х) — = Ь(х)ю.
дх ду Общее решение: 'о и=с е — Е(х), Е(х)=Л У ' 4Х, у Х(х) где хо-. любое. Х 12. )'(Х) — + [дд(х)у + ди(х)у~~ — = Ь(х)ю. д ду Общее решение: ю = ехр[~ — д1Х~Ф(и), где Г Л(х) ~ У(х) ег ад ~-А (1 А) / -а уо(х) 1 г (1 Е) 1 Уд(х) ц П.) — — / П) 13. ~(х) — + [дд(х) + де(х)е "1 д— = Ь(х)ю. дх ду Общее решение: ид = ехр[( д1Х~Ф(и), где Ь(х) l Лх) и, = с АВЕ(х) -~- Л I Уе Е(х) г(х, Е(х) = ехр[Л I ~~ йх~. 14.
)'(Х)у + д(х) = Ь(х)ю. дх ду г г. 8(г) Общее решение: ю = Ф(и) ехрд ( [и+ Е(1)~ Ае' Ж'(, где ~Л, 1(с) и = у ~ — Е(х), Е(х) = (Ь+ 1) I д1х, хо — любое. у у(х) 105 Кд Уравнение оодороьооиЗие нроюнозьньье Фзнквии 4.8.2. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции х и произвольные функции у 1. а — + Ь вЂ” = [Х(х) + я(у) ]ш. дш дш дх ду Г 1 Р Общее решение; и = ехр[ — ( 1"(х) дх -~- — 31 Я(у) г3у~Ф(ьх — ау). а Ь 2. " + а = Х(х)д(у) дх Ву Общее решение: то = ек1з ~ / 1(1)д(у — ах + ат) Ж~ Ф(у — ах), тле хо любое. о 3.
+ [ау+ 3" (х)] = д(х)гь(у)ш. д ду Замена щ = хе привалит к уравнению вила 3.8.2.3: ди ди —, + [ау+ 1"( )] — = я( ))ь(у). дх ду 4. Г(х) — + д(у) — = [1ьз(х) + гья(у)]'В. Общее решение: 5 Хт(х) — + [Ь(х)у+ Ха(х)у"] — = д(х)Гь(у)ш. дх ду Преобразование б = [ в ь1х, з3 = у ' приводит к уравнению вила 4.8.2.3: за 'ь) ь — ь l Ых) — + [(1 — Ь)г1 Ф Е(6] — = С(б)Н(43)ш, ле Р'Ы) = (1 — Ь) ', С(6 = ~ —, Н(у) = 1 Ь). ьв(х) 12(а') дш дш 6. Гз(х)дд(у) — + 3нв(х)дз(у) — = гьт(х)Гьз(у)ш. дх ду Преобразование б = 31 ' ь1х, ь3 = [ — г1у приводит к уравнению вида 4.8.2.2: Р 6() Р угЬ) 1з(х) уз(у) — + — = Г(б)С(ь1)ил зле Р(б) = —, С(г1) = дх дх 1з(х) ЬаЬ) дс дп Ых)' с Ь) 7. 3'т(х)дт(у) + га(х)дз(у) = [гьт(х) + Ьз(у)]ш.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
