В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Рассмотрим задачу Коши лля уравнения (8) с начальным условием ю = !з(р) при х = О. (11) Сначала представим начальное условие (11) в парамсзричсской форме (см. разл. 3.!.2). х=О, у=6, юГ р(6). (! 2) Подставим начальные данные (12) в интегралы (10) характ сристичсской системы (9). В рсзулыах получим значения постоянных интегрирования: С = С Сз = зз(6).
Подставляя зги значения в формулы (10), находим решение зштачи Коши (8), (11) в параметрическом инда у — ат =- С юе =. уз(6). Исключая отсюда параметр С получилз рсшсиис решение зазачи Коши (8), (111 в явном виде ю = е р(у — ах). 4.2. Уравнения, содержащие степенные функции 4.2.1. Коэффициенты уравнений линейны по х и у 1. а +Ь =ею. а вр Двс формы црсдставлспия общего решения: ус /с ю = ехр( — х) Ф(бх — ау), ю = ехр( — у) Ф(Ьх — ау).
а 6 а а а — + у — = Ью. о ар Общсс решение: из = !у!ьФ(!у)'е»). О» Литература: Э. Камкс (1966). в о х — +у =ало. Вх Вр Дифференциальное уравнение дзн однородных функций порядки а. Общее решение: ю = х."Ф(туггх). О» Лзгнзерал1тра: Э. Камко !1966). Виг дю й х(а — — Ь вЂ” ) = сую. а ор) Общее решенно: ю = ехр( — '((Ьх+ ау) 1пх — Ьх1 '(Ф(Ьх 4- ау). ! аз Вю Вил 5. х +у =ахю. ах вр Общее решение: ю = е" Ф( У ). дю дю (х — а) — + (у — Ь) — = ю.
вх ар Дифференцнаюное уравнение конической поверхности с вери!икон в точке (а., Ь, 0). Общее решение: ю = (х — а)Ф( ' / 1У вЂ” 6 Х х- и р — ах=С, юс ь*=Ся (10) Г1озтому общее решение рассматривасмого уравнсния выражается через произвояьную функцию двух аргумснтов Ф(у — ах,юе ь ) =- О. Разрешив зту зависимость относительно второго аргумента, получим решение в явном виде линейниз гпаензння знал ~(х, у) о + р(х у) о = 6(х у)ю 90 д д 7. (у + ах) — + (у — ах) — = Ью. дх ву Общее решение: гпе б = р + (а — 1)хр + ах, о = у)х.
4.2.2. Коэффициенты уравнений квадратичны по х и у 1 з з1 Общее решение: и = ехр[ — (бх — ар )~Ф(бх — ар). [ Заб ,д дю г 1. х — +аху — =Ьу ю, дх др Общее решение: ехр(6 — !пх)ф(х ' р) р п!зи а = — '. 3. ах + Ьу = (х+ су)ю. дх ву йб а1 Общее решение: ю = х ро Ф( — — — ). х р 5. у — + ах — = (Ьх + су )ю. гдю гдю д вр Ь 1 з з Общее решение: ю = ехр(сх Ф вЂ” р) Ф(ах — у ).
а б. ху — + ау — = (Ьх + су + з!)ю. дю гдю вх ду Общее решение: х [ (! — а)а — абх ] а(а — !)р ехр [( — Ф с) !п ~х~ — — ~ Ф( — ') при аф1, при п=1, 7. х(ау + 6) — + (ау — 6х) — = аую. вю г Вю вх др / ах — б х-)- р Общее решение: и~ = (а+ у)ф( Фа!п ~) хшр :с 8. х(ЬУ вЂ” х + а) — у(6х — у -1- а) = Ь(у — х)го, дю дю д др З Г (хшр — а)" Общее решение: ю = (х+ у — а)'ф( ) хд 4. х — + ау — = (Ьх + сху + ду )ю. гдю гдю г г вх ву Г Нрг Ф абхр — Ьгг схр х !1 Г х — ар 1 Общее решение: ю = ехр( ' " — ' 1и — !)!Ф( ' ). ар — х ар — х р хр 91 4.2 Уриенения, еидераеищие еи~ененееге фуннншг 4.2.3. Коэффициенты уравнений содержат другие степенные функции 1.
а — + Ь вЂ” = (сх + с(у )ю. Вю дги з з о* вр ' Ьсхе Ф апре Ь Общее решение: ю = ехр( ) Ф(6х — ар). ЬиЬ дю дю 2. х — + у —, = аугхи + уг ю. дх Ву Общее решение: ю = енр (а у х- + уг ~ Ф ( — ') . х 3. х + аху = у (ах+ Ьу)ю, вх др Общее решение: и~=сир~ ' ]Ф( — ). 2х х хгу + аху = (Ьху+ сх+ е(у+ Ь)ю. Вх ор Общее решение: ь Г Й с 1 х ехр~— — — — — ]Ф(х 'у) при а ф- — 1, (и -~- 1)ху х ар Г Й с 41 еухр~~ — + 6!1 1п(х)+ — — — ]Ф(хр) при а = — 1.
хр и р 5. аху — + Ьх у — = (апу + Ьтх )ю. гдю г дю г г в* вр Общее решение: ю = х" р 'Ф(арг — 6хг). зв зв 6. х — + ау — = х (Ьх+ су)ю. дх вр хгрг ~ хг х у 'хг - ауг у Общее рсшспис: ю = ехр(с~(, 1п~)) —, — а+ — +Ьх)Ф( ). — Ф, ) (,,гг )' в ор с у1,4Г1 Общее решение: ю = Ф(Ьх — ар) ехр ~ х -~- р ]. ~ а(п -~- !) 6(пу -~- !) дю дю 2. а + Ь = сх"ую. вх вр Общее решение: сГа(п -~- 2)у — Ьх)хи+У 1 схр ~~Ф(ь, —, ) ~~Ф(Ьх — у) г(п Ф ц(паз) Г Ье с ехр ~ —,.Г(1 — 1и х) Ф вЂ” р 1п х! Ф(ьх — ар) иг а Г 6с ер1 схр~ —,(1+!пх) — — ]Ф(ьх — ау) аг их при и, ф -1, -2; при п=-1; при и = -2.
дю дю г г и 3. х — +у — =а(х +у) ю. Вх др Ги г ге1 /ру Общее решение: ге = ехр~ — (х Ф р ) ']Ф( — !. 126 ' " х 4.2.4. Коэффициенты уравнений содержат произвольные степени х и у линейныв шыенкния вилл 1'(х, у) и ' + д(х у) и„= Ь(х у)1и 92 а Ою 4. ах — +Ьу — =сх у ю. О ар Общее решение: ш р и сяр( х у )Ф(у * ) при ап-ибтпф0 ю= ап -и Ьт ехр( — х" у !их)Ф(у'х ) при ап -!- Ьт = О. ~а 5. ах + Ьу = (сх" + Ьу )ю. О ар Общее решение: ю = ссср! — х -!- — у" !Ф(у х ).
/ с „Ь ип Ьш б. тх + тау = (ах" + Ьу ) ю. О ар Общее решение: ю = ехр[ (ах -!- Ьуш) ]Ф(у"'х и), ~ тпи дю дю 7. ах" — + Ьу — = (сх + ду')ю. Ох ар Частный случай уравнения 4.8.2.4. Общее решение: сх" ,1, — 4-1 1 — У1— ю=ехр + ' 1Ф(и), и= а(И вЂ” и+ 1) Ь(ь — ш+ 1) 1 ' а(1 — и! Ь(1 — ш) а а 8. ах — + Ьх у — = (сх у*+ д)ю. Ох ар Частный случай уравнения 4 8 4 3 при 1(х) = ах", д(т) = Ьх ', Ь(х...
У) = схир'+ Ы. 9. ах — + (Ьх у+ сх ) — = (ях'уч + а)ю. Ох ар Частный случай уравнения 4.8.4.4 прн 1(х) = ах", д1(х) = Ьх, де(х) = сх, 6(х, у) = ях" уи + и. 18. ах" + Ьх™у" = (сх"уч + я)ю. Ох Ор Частный случай уравнения 4.8.4.5 при у(х) = ах", д1(х) = О, де(х) = Ьхш, 6(х, у) = сх"уи + я. „а „а 11. ау — + Ьх — = (сх + я)ю. Ох Ор Частный случай уравнения 4.8.1,!4 при 1"(х) = а, д(х) = Ьх", Ь(х) = сх -!- я. 12. х[х + (2п — 1)у ) + у[у + (2те — 1)х ) = Ьп(х + у )ю.
дх Ор Общее решение: ю = (х" — у") Ф( ). / (х — у")я ху 13. х[(тт — 2)у — 2х ) — + у[2у — (и — 2)х дх ар = ([а(п — 2) + 2Ь)у — [2а + Ь(та — 2))х ) ю. Общее решение: ю = х'у Ф( П х" 9 и" 1 хира 4.3. Уравнение, содержащие акснонснцианнныс функции 4.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции 4.3.1. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциапьные функции д"' +Ьдш = о ор Общее решение: ехр( е" 'ели)Ф(Ьх — ау) при ос 4-ЬД ф О, к ас Ч Ьд щ с с и н Е В ехр( — 'хеи'+си) Ф(Ьх — ад) при ас+ 63 = О.
ка 2. а + Ь = (се + Ье"и)то. Ох др Общее рсшеиис: п~ = ехр( — с Ф вЂ” е ) Ф(6х — оу). /ел~я 1аЛ ЬП ) 3. ае — + Ье — = сто. „.о лад о ду Обшсс рсшсиие: ю = ехр( — — 'е "')Ф(63е л* — аЛс "). аЛ ,„ о е. о 4. ае" +Ье =срс дх ор Общее решение: то = ехр[ ' ]Ф(аде "— ЬЛе *). с(дх — Лу) 1 л„в аде"т — ЬЛспс 5. ае лс дто + Ьеп = се 'иш. „о дх оу Частный случай уравнения 4844 при у (х) = сел', де (х) вя О, до(х) = Ьепй 6(х, у) = сс'".
б. ае + Ьели = (се' + ве и)ш. дх ду Частиый случай урависиия 4824 при Дх) = пел', д(у) = беде, Ье(х) = ест'", Ьа(у) =ее~и. 7. аеп — + (Ьет + се"") — = (ве"" + Ье + р)ю. о* ор Частиый случай уравнения 4.8.4.6 при У(х) =- сев*8 д1(х) = Ьст", до(х) = с, 6(х, у) = ве"с -~- Ье к Ч- р. 8. аеп" + (Ьет" + се ") = (вен т "+ Ь)то. дх Ор Частиый случай уравнения 4.8.4.6 при Д(х) = аеп'Л д1(х) = Ьет', до(х) 6(х, у) = веи'"~и + й. 9.
аел +Ьет Ч" =( ' "и+6) о* др Частный случай уравнения 4.8.4.6 при 4'(х) = ае''. д~(х) = О, до(х) 6(х, у) = се" """ + Й. 10. ае "— + Ье~ — = (се' + Ь)ю. дх од Частный случай уравнения 4.8,1.! 5 при Дх) = а, д(х) = бед*, 6(х) = се"' + Ь линейные талвнвния вилл У(х, у) а, + д(х, У),~„= Ь(х У)1с 94 4.З.2. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные и степенные функции 1. а — + Ь вЂ” = (суе ~ + ухе"'Я)ю.
ах ау Общее решение: и~ = ехр[ — е '(у — — ! Ч- — е ' (х — — ' !1Ф(6х — ау). ~аЛ Л' аЛ Ьр Ьр 2. х +у = ахе "т"ию. О О Ох Оу Общее решение: ю = ехр( ' е "")Ф! — ' ах л вял /УЛ Лттру х дю дю л х + у = (ауе + Ьхе'")ю. Ох Оу Общее решение: ю = еяр( — е + — 'е ) Ф( — !. Г ау л .
Ьх нул / у Л ( л. РУ ах — + Ьел" = (сх" + в)ю. Ох Оу Частный случай уравнения 4 8 1.13 при у(х) = ах", д1 (х) = О, да(х) = 6, Ь(х) = сх" -! я. лаю л дю ау — + Ье — = (се + в)ю. дх Оу Частный случай уравнения 4.8.1.! 4 при Г(х) = а, д(х) = Ьел", Ь(х) = сеи' Ч- я. л дю адю ае — + Ьу — = (сх + я)ю. дх ду Частный случай уравнения 4 81.12 при ((х) = не ~в, дГ (х) = О, да(х) = 6, Ь(х) = сх" + я. ае — + 6х — = (се + в) ю.
л„аю в аю ох Оу Частный случай уравнения 4.8.1.15 при Г(х) = а, д(х) = Ьх~, Ь(х) = сеи' + я. 4.4. Уравнения, содержащие гиперболические функции 4.4.1. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический синус 1. а + Ь = [сяЬ(Лх) + ЬяЬ(ру))ю. ох. ау [ с Ь Общее решение: и = еяр [ — сй(Лх) Ф вЂ” сй(ру)1Ф(6х — ау).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
