В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Д. Поляннн (1996). 2.8.4. Коэффициенты уравнений содержат произвольные и логарифмические функции а 2 а 1. — [ау 1пх — аху(!их — 1)З" + У] = О. а ар 1 лявный интеграл е Е !п х Их Е = ехр о, х((1нх — 1) ах]. х(1нх — Цгихр(!цх — 1) — 1) 3 хг(1)х — 1)г ' днг 2 дто 2. — + [Ху — ах(!их)гу+ а1пх+ а] — = О. дх ар Главный интеграл: 29 Уровненна содержащие проичволннме функции ршных иргухынхпов 8. — + [Г'у + Зуаву + (д+ ЗГ)г )у+ )С)хБ + д)г — Гт 1 — = О. дх ду 1 лаан ый интеграл: Б = ', + 2 / Г"Ес(хч Е = ехр(2 / дх(х).
дчп Г д„' а х! дчп дх (Хя( 9+6)' Г ) ду Главный интеграч; до 1 — — 1и )ад -1- Ь[, оз — ио Ф 1 Г(ил+ 6) 10. Главный интеграл: =- = ЕЬ вЂ” У~" Ъ вЂ” д!' у— 11. — + (Г"у + д'у+ а,ге и) — = О. дх ду Е = екр~ — /(1' — д) Гч Нх~. 1'. Главный интеграл прн и > О: Б = агстй ( ) — тГй / уев с(х. 2'. Главный интеграл при и, ( О: Б = Агтй( ) -1- фа ~ / 1 ев г)х. 12.
— +(Г у +ае Гу+ае ) — = О. дх ду 1'лавный интеграл; ! 1, Б = ц- / — ', г(х, Е = счкр(а, /е х Гс(х). 2.9. Уравнения, содержащие произвольные функции разных аргументов 2.9.1. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции х и произвольные функции у Г с1х Г иу Главный интегРал: Б = 21 1 Г(х) 2' 9(р) Оп Лип~ерипири: Э. Камке(1966). 2. [Г" (х) + д(у)) + Г (х) = О.
Главный интеграл: Б = Г(х)е "— / е ид(у) с(у. 3. [х Г(у) + хд(у)~ — + Гх(у) — = О. дх ду Гчавный интеграл: а = х' оЕ-~-(и — 1) Г ау, Е = екр[(п — 1) Г с)чч1. 6(д) ' ' Г чс(9) © Лщперщпуро. В. Ф. Зайнев, А. Д. Полянин (1996). ЛИНВИНЫЕ УРЯВНЕНИЯ ВИЛЯ 1 (Х, У) — + д(Х, У) е — О ОО [Р(у) -1-атнх у г] — — [д(х) + агах" у ] — = О. а ар Главный интеграл: Б = / Г(у) др -Р ( 9(х) 4х + ах у Ое Латератгра: А. О.
Ро1уап!п, тХ Р. Ха!нет 11996). [с " Г(у) + с)З] — [снпд(х) + со] = О, Главный инте!рхл х = / с " Я г(у) Ну + / с о'д(х) Нх — сс (") Латература; А. П. Ро1уап1п, Р. Р Хайвея(1996). до а + бу(п) с = ах -1- бу + с. г. + у( — ") Главный инте!рхс Б = / — 1ц[а[, Г(с) — е у о= х 3. — + [ЗЯ(у+ ах + Ь) — апх ] — = О. дх ду Главный интеграл; аю = /' — -х, с=у У(п) Главный интеграл — 1н !х[, и [т1(о) -1- и] с = х" р'". (е) Лятерапрра: А. О.
Ро!уап1п,''я'. Р. Ха!нет (1996). ах " др Главный интеграл: ап п аи -1- от!(и) и Ое Литеггатрра. В. Ф. Зайцев, А. Д. Поллини (1996). с = ах -1- Ьу™. 6. — + с У(с у) — = О. ах ар Главный интеграл: ап Г(о) + Ло с=с 'у. дх др Главный интеграл: — 1и [х[, , [Лп Г(п) + 1] о=с ях. ля 2.9.2. Коэффициенты уравнений содержат одну произвольную функцию сложного аргумента 1. +Г(ах+Ьу+с) =О, Ьфд. дх ар Г,!авный интеграл: 2. 9 Урпвнвиня, содврэкпщив произвох выв фупкйии розных пргумвихов 8. — + ру"-(е р™) — = О.
дх др Главный интеграл: йо + п)1 Ов Литврппдрп: В. Ф. Зайцев, А. Д. Г!оляннн (1996). н = е"*р х — + З'(х" е ") — = О. дх др Главный интеграл: йи — 1п )х[, о[н -1- а((о)] о=л"е ". 10. + е Рог(ае + Ьеии) = О. дх 1'ванный интеграл; 4о 1 л* пЛ -н ЬДУ(о) Л Ов Лхлврпагрп. В. Ф.
Зайцев, А. Д. Поляннн (1996). о = ае + Ьери. 1 ванный интеграл: 1' до Б= ( — х, о=(Г-Ьое +Ь. ,/ йо) 12. сххр + [гх!'(х е ") — ар1 = О. дяо и дго дх др 1лавный интеграл; Б=рŠ— — З! о Еде, о=хпе, Е=ехр[ —,', ~ а [аг ./ о!(з) 1 14. + [у(р+ аейх) — ае8 х| — = О. дт г Ого дх др Главный интеграл: оо — х, и = у -1- о гй х. о -1- г" (о) Главный интеграл: е" оо ((о) т Ле' е = Лх -1-!пр. 16. + е~иг(Лр+ !пх) = О. дх др Главный интеграл: ло — !их, Лев ! (о) -1- 1 и = Лр+ 1пх. дго до 13.
гпх(1п р) — + [ру(х" р ) — гхр 1п р~ — = О. д др Главный интеграл: Б = Е!пр — — Зг о Еде, е = т"р'", Е = ехр[ — З! т оу(о) 1 Линейные Яглвненна вида ~(х,р) а",', +д(х:У) а [2( — ) + х Ь( — )] — + [д( — ) + рх Ь( — )] — = О. Главный интеграл: Ь(о)Е аа : — = х "Е -1- а ( а д(о) — о)(о) У о а:' 4. [З (ах + Ьр) + Ьхд(пх + Ьр)] + [Ь(пх + Ьр) ахд(ах + Ьр)] Ор Главный инте! рхн У(о)Е Ло „I а1" (о) -1- б!г(о) ' Оя Лихераткаи: В. Ф. Зайнев, А.
Д. Полянин (1996). [2(ах + Ьр) + Ьрд(пх + Ьр)] — + [Ь(ах + Ьр) ах Фбр, ард(пх + Ьр)]— Ояа Ор Главный интеграл: б(о)Е аа ,) )(о) Ф бб(е) ' х[Г(х"р ) + тпх"д(х"р™)) + р[Ь(х"р )— Главный интеграл: Е=х Е+Ьга 1 Г д(о)Е ао ! о[нг"(о) -, габ(о)] ' () 1(о) Ыо где Е=ехр Ь ,1 о(и)(е) -1- тб(о)] ) х[У(х р ) + тпр"д(х р™)] — + р[Ь(х р )— ! лавный интеграл: д(о)Е г1о ./ а[нГ(о) Ф тб(о)] б(о) е где Е=ехр й ,1 а[711(е) —;. шб(а)] ах+ ЬУ, пх д(х"р )] = О. Ор пр д(х"р )] — = О. Ор 2.9.3. Коэффициенты уравнений содержат несколько произвольных функций 1.
тпх — — [пр — хр Ях)д(х р )] — = О. Ох Ор Главный интеграл: — — Ло г .Ы=Я). :- = / г — / х )(х) дх, н = х"у"'. д(о) ОЯ Латерая11ра; В. Ф. зайцев. А. Д. Пояянин (1996). 2. р — [ах" + д(х)2(р"т + ах ~ )] = О. Ох Ор Главный интеграл Б = / + (и + 1) / д(а)г(х, и = у ~ -'г их .1 Г(о) Оя Литера~я1 ра: В. Ф. Закаев, А.
Д. Валянии (1996). ОЗ 2. 9 Уривнення, ггг1герэкиивие произвол нме функлни розных аргументов 8. х[ву(х"у ) — тпд(х 1зх)1 — + у[пд(х у') — Ьу(х"у )1 — = О. Ох Ор Главный интеграл: 1' дг Г гзе ь в=х р, с=ж у 1 .() З' Г()' д ΠЄ— — (:.— = О. Ож Оу здесь Г", и Гв --. частные производные функции г" = Г"(х, р) по переменным х н р. Обшее решение: ю = Ф(Г(ж, р)), где Ф = Ф(~) произвольная функция. (в) 1Гитеритури: Э. Камне (1966). 10. Г(хг у) — — д(ж, у) — = О, дгв О дх др Главный интеграл: дг дд где Вж Вр =- = / у( о, !) ОЬ+ / д(1, р) дт, во а где хо и ро -. - произвольные постоянные.
11. х + [хУ(х)д(х е") — п~ = О. Ож Ор ! лавпый интеграл Главный интеграл: — ли Г д(в)Еив Б=е иŠ— Лад!, в=ож+ЬУ, оГ(ю) -1- ЬИ.(в) 14. [Г(ах+ Ьу) + Ье д(ах+ Ьу)) + [Ь(ах+ Ьу) — ае д(ах+ Ьу)] = О. дж. Ор ! лавный интеграл; 1' д(в) Е Нв Б = с Е -1- ао З1 вГ(в) -1- ЬИ(в) 15. х[у(х™е ") + гхуд(х"е в)~ — + [Ь(х, е ")— дж ! лавный интеграл: И(в)Е дв [-Г(в)+-И( )) ' в = ах -1- Ьр, пуд(х"е в)1 — = О. Ор в=в"е '", ив = = ( — г(Г ((х) г(х, о = хне". ,/ вд(в) (в) Ливгервгггури: Л. О. Ро1уапгп, х1 К Канаев (1996). 12. тп — + [тпу у(х)д(е у ) — ау~ — = О. дж др Главный интеграл 1 г " '" Нв Г Га(1 — И) 1 *е т — пг ( ~(ж)екр[ ж1г(х, в = е р д(в) ,/ ш (г) Литературо: й. О.
Ро1уапгп, гу. К Канаев 11996). 13. [Г(ах+ Ьу) + Ье "д(ах+ Ьу)1 — + [Ь(ах+ Ьу) — ае "д(ах+ Ьу)~ — = О. дх Оу линвйнью п ьвнения вила 7 (х, у) а. + У(х, У) а 1б. [~(е~ у™м) + тпхд(е у )1 — + у[И(е™У ) — пхд(е У )! = О. д ду Главный интеграл: Дэ) Е г!н ,[ г(,) ь й(н)! ' д(е) ев где Е = ехр — т д е[оДе) Ьтй(е)) ) н=е 'у 17. х — + [худ(х)д(х 1п у) — пу 1п у~ — = О. дю дю дх ду Главный интеграл: Б = 1 — /Г~'(х) г(х, и = хн!Пу. д(е) Главный интеграл: Л(е)Еен е~[п7(в) и тй(е)[ =.
(/' д(в)гя где Е=ехр и д а[аде) .~- гнци)) 1 У 19. х[д"(х у™) + тд(х у ) 1пх~ + у[И(х"у ) — пд(х у™) 1пх| Главный интеграл: Е = Е1нх — ( Дн)Е г!е н=х у я[пан) -1- тл(е)) (- ./' д(е)г!е где Е = ехр — т, д е[аДи) -Ь тп(и)) д- О ду дю д 20. соя у — + [д (х)д(я!п х я(п у) — с!и х яш у~ — = О. дх ду 1 данный интеграт ан — / 7(х)я!ихг!х, и = Б!ихыпу / д(е) 21. вш2х — + [яш2хсоя уу(х)д(йдхййу) — а!п2у~ — = О. дю дю дх ду Главный интеграл: Б = / — / Д(х) те хе(х, и = Фйхтйу. 22. х + [хсоя у,((х)д(х "Сну) — пяш2у~ дх ду Главный интеграл: н — хя" !ау 23. — + [сояв у,г(х)д(е~ Сд у) дх !лавный интеграл; /' ае дю — я1п 2у| — = О.
ду — / е г(х) г)х, и= -"тйу. 1й. х[~(х у ) -[- тпд(х у ) 1пу) ю + у[)г(х у ) — пд(х у ) 1пу~ = О. дх ду 3. Линейные уравнения вида ~(х, у) — + д(х, у) — = Й(х, у) 3.1. Предварительные замечания 3.1.1. Методы решения 3.1.1-1. Структура решения нсодноролного уравнения. Рассмотрим линейное неодноролное ураинсние первого порялка с двумя независимыми пере- менными вила ((х, у) — + у(х, у) —, = 6(х, у) ди дш дх ' ду Общее рсшепие неолноролно|о уравнения (1) можно прелставить в виде суммы ш = и+все, гдс ш любое частное решение этого уравнения, гас общее решенно соотвстствующсго однородного уравнения (при 6 = О). 3.1.1-2.
Метод решения, основанный на переходе к новым переменным. 3.1.1-3. Метод решения с помощью характеристической системы. Если извесзны два независимых интеграла иг(х.,у,и~) = Сг., из(х,у,ие) = Сз (4) характсристической системы дх ду дзв э'(х, у) у(х, у) б(х, у) ' то общее решенно неолноролного уравнения (1) имеет вил Ф(иг, из) = О, где Ф .— произвольная функция двух аргументов. (5) (б) В. Ф. Звянев, А д Пояяннн Пусть известно частное решение и(х, у) (гдавный интеграл) соответствующего однородного уравнения ди + У(х У), = 0 (и ~ сопят). дх ' ду Переходя в (1) от х, у к новым переменным х, и = и(х, у), получим ! (х, и) — = Ь(х, и), дх где !(х и) = 3(х у), ге(хи) = !г(х у) -- коэффициенты исходного уравнения (!), записанные в переменных х, и.
Уравнение (2) можно рассматривать как обыкновенное лифферснпиап нос уравнение с разделяющимися переменными для и = ие(;с) с параметром и.. Его общее решение имеет вил ш = ! ' г!х+ Ф(и), 6(зп и) (3) ,/ т" (хэ и) где Ф . произвольная функция, при вычислении интеграза и рассматривается как параметр. Для нахождения общего инте~раза уравнения (1) необходимо в формуле (3) после интеерирования перейти к исходным переменным х, у. Поэтому, если частное решение соотвстствующсго однородного уравнения известно, то решение неоднородного уравнения (!) всегда может быть найдено в квадратурах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
