В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Линвйнъы ззхвнвнил ВиЛл 7(х У) З '! У(з' У) Вз — (* У) 3.1.1-4. Использование вспомогательного однородного уравнения. Пусть С = Г(х, у, ш) интеграл вспомогательнозо линейного однородного уравнения с тремя независимыми переменными 1 (х, у) — + д(х, у) — + )з(х, у) —, = О. д( д( д( (7) дх ' ду ' дю Тагла интеграл щ(х, у) исхолного неодноролного уравнения (1) можно получить путем разре- шения алгебраического (трансцендентного) уравнения Д(х., у, ш) = 0 (С, ~ 0) относительно нь О решении уравнений вида(7) см.
равд. б.!. 3.1.2. Задача Коши 3.1.2-!. Формулировка задачи Коши. 1'. Кшссическая задача Коши. Требуется найти решение ш = щ(х, у) уравнения (1), уловле- творяющее начальному условию ш=зэ(у) цри х=О, (8) где щ(у) — заданная функция. 2'. Обобщенная заоача Коши. Требуется найти рецзение и = щ(х, У) уравнения (1), уловлетво- ряющее начатьным условиям х = Ьз(с), у = Ьэ(ь), ш = 1зз(ь), где б параметр (о < б <,д), а Ьь(б) заданные функции.
Геометрическая интерпретапия: требуется найти интегразьную поверхность уравнения (1), проходящую через линию (9), заданную параметрически. Классическую задачу Коши (1), (8), можно представить в виде обобщенной задачи Коши (!),(9), записав начальное условие (8) в параметрическом виде: х = О, у = б, 3 р(б). (10) 3.1.2-2. Решение задачи Каши. Процедура решения задачи Коши (1), (9) состоит из нескольких агапов. Сначала опрелеляются лва независимых интеграла (4) характеристической системы (5).
Затем для определения постоянных интегрирования Сз и Сз в интегралы (4) подставляются начатьные данные (9): из(6~®,)зз(б),Ьз(0) = См нз(Ьз(Я),Ьз®,Ьз(Д) = Сз. Исключая из (4) и (11) постоянные С~ и Сз, имеем из(х.ргш) = из(Ьз(б),Ьэ(б),Ьз(б)), из (х, у, ш) = из(Ьз (Ц, Ьз(б), Ьз(б)). (12) Эти формулы представляют собой параметрическую форму решснив залачи Коши (1), (9). Исключив из формул (! 2) параметр б, можно получить решение в явном виде.
3.1.3. Конкретные примеры Пример 1. Рассмоэрим неоднородное уравнение ди дш а:г — -1- Зу — = с. дх ду Частное Рещение этого уравнении щ ищем в вида функции, зависящей только от переменной х. В резулыате имеем с л = — !и!хй (!3) 3.2 Уравнения, спдпржкпщнп гшепеппме фупкппзг о — -- Ф(!р~ !хГ ), (14) где Ф =- Ф(и) произвольная функция. Общее решение исходного неоднородного уравнения с частными производными дается суммой решений (13) и (14): ю =- — !п)х!-'г Ф(!р(~~х! ).
а Пример 2. Рассмотрим уравнение дю дю аег — -1- Ь вЂ” = сел*у. дх ду Частное решение соответствующего однородного уравнения црн с .= О определяется формулой (см. пример 2 из равд. 2.1. 1): и =- ау -1- бе Переходя в исходном уравнении от х, у к новым переменным х, и, после несложных преобразований для функции ю = ю(х, и) получим дю с Ьс дх аз аз Интегрируя это уравнение (и рассматривается как параметр). имеем с Ьс ю = — с*и — — х -1- Ф(и).
аз аз где Ф = Ф(и) произвольная фуикдия. Учитывая зависимость и = ау+ Ье *, находим резпение исходного неоднородного уравнения с Ьс ю =- — е*р -1- — (1 — х) + Ф(пу -!- Ье '). а аз Пример 3. Рассмотрим задачу Коши шзя уравнения дгп диг — -!- а — =- Ь дх др (15) с начальными условиями х=(, у=!, гп=б Два независимых интезрвла соотвеютвующей харакщрисзической системы дх бр дю 1 а Ь (! 6) имеют вид у — ох =- Ст, ю — Ьх = Сз. (17) Подставив в (!7) начальные данные (!6), получим (1 — а)6 = Сг, б~ — Ьб = Сз. Исключая из этих алгебраических уравнений параметр С найдем связь между постоянными С! и Сз.
Сз ЬС Сз (1 — а)з 1 — а Заменив здесь Сг и Сз на левые части равенств (17), после выделения ю получим решение задачи Коши (15), (16) в явном виде: р — ах; у — ох )з ю = Ьх — Ь 1 — а 1 — а 3.2. Уравнения, содержащие степенные функции 3.2.1. КоэфФициенты уравнений линейны по х и у Вю дтп 1. а — +6 — = е. дх ду Уроппенип имшндрической поверх!гости. Две формы представления общего решения: с с ю = — х + Ф(бх — ау), ю = — у + Ф(бх — ау). а Ь Ов Лпюсрппззрп. Э. Камке (!966). Общее решение юо соответствующего однородного уравнения при с = О, полученное с помощью характеристического уравнения (см. Равд, 2.1.1), дается формулой линейные гвввнвннв вида ((х,у) в +д(х,у) г",' = Ь(х,у) а о 2.
а — + Ь вЂ” = ах + )ЗУ + т. ах ву г т В г Общее решение; ю= — х + — х+ — 'У Фф(бх — ау). 2а а 26 3. ах +Ь = ах+)ЗУ+7, о о Ох Оу Общее решение: ю = — х+ — 1п(х~ Ф вЂ” у + Ф(ау — 61п ~х~). а т В г и а 26 ' Ою О ах — +Ьх =с.
Ох Оу с Общее решение: ю = — 1п ~х~ + Ф(Ьх — ау). а 5. (ах+ Ь) + (су+ с1) = ах+)Зу+ у. Ох оу Общее решение: ю = — х -1-, 1п )ах -~- 6| -~- — у — — ', 1п (су + 4! -~- ф (|ах -1- Ь~"')су -~- д! ) . а ау — Ьа уа а аг с сг дю Ою б. ау — + Ь вЂ” = + )ЗУ + т. Ох Оу В ах-1-1 аа в г Общее решение; гв = — х+ У вЂ”, . У -6 Ф(26х ау ). а 6 ' ЗЬг 7. ау +Ьх =с.
Ою аю а оу Общее решение: ю = 1п~ггсибх+ау)+ Ф(ау — Ьх ) ъ'а~ 8. ау + Ьх = сх+ йу. Ою дю Ох Ву Ьбх -~- асу г,г Общее решение: ю = ' ' Ф Ф(ау — Ьх ). аб 3.2.2. Коэффициенты уравнений квадратичны по х и у 1. а — + Ь вЂ” = сх + ау + 1сху + а. Ою Ою г г о* ау Общее решение: ю = (6(2ас — Ыс)хе+ 2а с1ув -ббабх(Мху-62п)) + Ф(бх — ау). багб 2. ах +Ьу =сх +с1У +уху+и.
Ою О г а оу Общее решение; ( Ьсх -6асбу ) + — 1п ~х(-6 — ху-6 Ф(~х! ~г "гд) при а, + 6 ~ О, 2аЬ а а -~-6 — (сх — дгд ) -1- — (Йху Ф и)!п !х! Ф ф(ху) г г при а,-~-Ь=О. 2а а Вю Оха ау — + бх — = сху+ д. Ох Оу Общее решение: ю = — х + !п~ /ибх -6 ау(-1- Ф(ау — бх ). и г,г 2а ъ'аб 3.2 Уравнен~а, евдераеви!ие еювнемные фуннвви 4. ах — +Ьу — = сх +е4у + !еху+ пх+ тпу+ з.
гдю гдю г г ох ар Общее решение: с з дуг Йху ! ах ! и щ Гох — Ьу! зо = — х — — — ' + 1п( — (-!- — 1и (х(-б — !п!у! -1-Ф! в. в,х а:в — Ьу ах — бр р а б * ху 5. х +аху =Ьу . г дю в дх ар Общее решение: ю — -!- Ф(~х( у) при а, ф +, 2а — ! х уг Ь вЂ” !п(х! -б Ф()х! ~ р) при а = ф. ,а ,а ах ор Частный случай уравнения 38.!.!4 при Дх) = а, д(х) = Ьхг, Ь!х) = схг -1-4. ау +6ху =ох +ебу. г дю дю г г дх др Общее решение: ас Ф Ы с ау- — бхз 6 г,г н! = х — — асс!а! х, ) + Ф(ауг — Ьх ). аб 6 у' — Ьхг,) 3.2.3. Коэффициенты уравнений содержат другие степенные функции а е'хг ! уг дю аю о* о, = Общее решение; ю = а~/х~ -1- уг -1- Ф( — 'Р 1!. нх) 2.
ах +Ьу =сху +ебх у+6. дю а а вр Общее решение: ю = + ' + — 1п!х)+ Ф(!х! ~!" у). а-!-26 2ахб а Вю дто г 3. ау — + Ьх — = сх у + !4. вх ' ар с з 4 г,г Общее решение: ю = — 'х + !з!!раба+ау!+ Ф!ау — Ьх ). Зв, и'аб (ах + 6) + !су + д) = Ьх~ + пу". дх ау Общее решение: бг! з Ь Ьг бз ю = — ! — х — — х + —,х — — 1п)ах -б 6!)+ а 3 2а аз аз и ! , 4 , Ыг Дз + — ! — у — — х + — у — — 1и!ау+ ~Ц + Ф((ах+6)е~!су -ЬН) ). с !Э зс .' .з х +ху = у (ах+ Ьу).
гаю дю г дх др (ах и Ьу)рг Общее решение: ю = ' + Ф( — ). 2х !хl вано заю б. ах — + Ьу — = ох+ е4. дх ву 2сх -1- Н l ахг — Ьрг Общее решение: ю = — Ф Ф) '' ' ). 2ахз х р лннвнныв тт1внвння виля ((х, у) в"' + д(х,у) 2", = 6(х у) Общее решение: ю = Ф(Ьх — ау) -!- х -!- у с тч-1 а(п+ Ц ь( ФЦ аю д а — +Ь вЂ” =сх у. дх др Общее решение: с(а(п -!- 2)у — Ьх)х" щ + Ф(бх — ау) ая(п и Ц(п и 2) Ьс с —,х(1 — !и !х!) + — у !и !х! + Ф(Ьх — ау) ая а Ьс су — (1 Ф!п(х!) — — Ч- Ф(бх — ад) ат а,х при 22~ — 1,— 2; при и= — 1; при и = -2. х +у — =а(х +у) . а дю а* др Общее решение: ю = — (х -!- у ) Ф Ф( — ' 2.
Я Я 2 I У 2!2 х ан2 ая» ах +Ьу =сх у а др Общее решение: х"у + Ф()22!')х( ) при апн-Ьт ф О, ап -1- Ьт — х" у"' !и !х! ч- Ф(!у!" (х! ) при ап ч- Ьт = О. дю дю ах + бу = сх" + с!у а ар Общее решение: п2 = — х" Ф вЂ” У"' -!- Ф(У'х ). ап 62п тх +пу = (ах +Ьу )в. дх др Общее решение: ш = (ах" + Ьу"')~ + Ф(у х "). тпб аю дю 7. ах — + бу — = сх + 2!у'. дх ду Частный случай уравнения 3.8.2.4. Общее решение: а(6 — и-1-Ц Ь(в — тФЦ' дю дю 8. ах +Ьх у =сх у +21. дх ар Частный случай уравнения 3.8.4.3 прн Д(х) = ах", д(х) = Ьх~, 6(х, у) = сх" у 9.
ах + (Ьх у+сх ) = ахнув+21. дх др Часяный случай уравнения 3.844 при 1(х) = ах", д1(х) = Ьх, дс(х) /2(х, У) = вх У -; — 22. 10. ах — + (Ьх у + сх у) — = вх"у" + 22. а ар Частный случай уравнения 3.8.4.5 при 1(х) = ах"', д1(х) = сх2, дс(х) 6(х у) = вхпр~ + 2(. дх др Частный случай уравнения 3.8,1. 14 при т(х) = а, д(х) = Ьх", 6(х) = сх -!- 2!.
х " у 1 — » 1— и= а(! — п) Ь(! — т) Ьх", 3.2.4. Коэффициенты уравнений содержат произвольные степени х и у д* др 3.3. Ураспспыи, содсрлсопа2с экспонспигкаиныс фупкппк З.З. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции 3.3.1. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные функции Ох Ор Общее решение: 2ю = — е -~- — е ' + Ф(Ьх — ау). В нк аЛ Ьд О, В а +Ь =се Ох Вр Общее решение: ~ ~ ~ ~ с ~ ~ с ~ а ~~ ~ э ~ ~ ~ | в с '~~к + Ф(Ьх — ау) при аа + 613 ~ О, аа Ф ЬВ ш= — хс пад" + Ф(Ьх — ау) при аа+ ЬД = О. 3.
ае — + Ьедп = с. Ох Оу Общее решение; ш = — — 'с '+ Ф(и), где и = Ис "* — аЛс дк. аЛ ае ' — +Ье — =с. „,в д.в Ох Ор Общее решение: ш = с(Вх — Лу) -!- Ф(и), где и = о,,бе " — ЬЛее'. и Дч Оз" зы-Дп ае — + Ье — = се дх Оу Введем обозначение: и = — е — — е 1 дк ! ВЬ аа Общее решение: „Ою, и Вго „зд. ае + Ье = се Ох Оу Введем обозначение: и = — е — — е ! ду ! (36 аа 1'. Общее решение при у ф а, у ~ 2а, у ~ За: го = с Г зд~ 26В3 —,— д„26!В [е е ' + 2..1 Гп .у. а( у — а) а( у — 2а) аз(.у — 2а)( у — За) 2'. Общее решение при у = а: 62 Вз ш = — [хе "" — (ах-61)е ' '" Ф ' (Уах+ — Л)е "к! -~- Ф(и). 3'.
Общее решение при -у = 2ес го = — ' [е * д" + (ах — 1)! е ' " + Ф(и). аа оа 4'. Общее решение при у = Зес н а( у — а) с( дк Г * — дк аа ЬВс "!*[с "+ ! +Ф(и) при у ~ а, 2а, о(у — 2а) (ах+1)е ! + Ф(и) при у = а, ааз 6В + — (ах — 1)! + Ф(и) при у = 2а. аа Линейные ттлвнення внял ((х, у) О + д(х, у) л = Мх у) 7. ае — +Ье — =се +ве дю ня дю т ня дх ду Частный случай уравнения 3 В 2 4 при 1(х) = пе ', д(у) = Ьее", 61(х) = сео', 6 я(у) = ее"". 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
