Е.И. Несис - Методы математической физики (1120414), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

Вернемся теперь к определению понятия линейного пространства. Легко проверить, что условия (1 — Ч1) описывают не метрические свойства плоского пространства, а только его аффинные свойства. Поэтому можно утверждать, что линейное пространство — это абстрактное аффиннсе пространство любого конечного числа измерений. й 2. Размерность линейного пространства Как известно, пространство как форма существования материи, т. е. наше реальное пространство, имеет три измерения †дли, ширину и высоту. Тем не менее в теоретической физике широко используют как некую математическую абстракцию пространство большего числа измерений.

Поэтому изучение линейных пространств любого числа измерений имеет важное значение для математической физики, Чтобы выяснить, как определяется размерность пространства, введем понятие линейной независимости векторов. Векторы а„а„..., а„называются линейно независимыми, если равенствоа,а,+а,а,+... +а„а„=-О возможно только при а, =а,=... =а„=О.

Иными словами, ни один из векторов а; нельзя представить в виде линейной комбинации (и — 1) остальных а вектоРов. Если же Равенство ~ч",а„аь=-О может быть Удовлетворено хотя бы прн одном ненулевом ао то векторы а„ а,, ..., а„являются линейно зависимыми. В этом случае всегда можно один из векторов представить в виде линейной комбинации остальных: а;=р,а,+...();,а,,+~„,а;,+... +р,а„. !64 Теперь можно перейти и определению размерности пространства. Рассмотрим прямую (одномерное пространство). Ясно, что любые два вектора а и Ь на ней могут отличаться только численным множителем: > Ь=аа. Это значит, что в одномерном пространстве имеется только один линейно независимый вектор. Соответственно на плоскости (дзумерное пространство) всегда можно выбрать два линейно независимых вектора а, и а, (для этого достаточно, чтобы они не были коллинеарными).

Но любой третий вектор Ь на этой плоскости можно разложить по этим векторам а, и а„т. е. представить в виде линейной комбинации: Ь = а,а, + а,а,. В трехмерном евклидовом пространстве всегда можно выбрать три некомплаиарных линейно независимых вектора а„а„а,. Но любые четыре вектора обязательно линейно зависимы: Ь=сс а,+сс,а +а а, Приведенные примеры показывают, что максимальное число линейно независимых векторов пространства совпадает с размерностью этого пространства. Естественно поэтому ввести такое определение.

Линейное пространство называется п-мерным, если в нем существует и н только и линейно независимых векторов. Совокупность п линейно независимых векторов е„ е„ ..., е„ л-мерного пространства называется базисом этого пространства. Нетрудно убедиться в том, что не только в обычном трехмерном, но и пространстве любой размерности справедливо следующее утверждение: В и-мерном пространстве можно каждый вектор х представить, и притом единственным образом, как линейную комбинацию векторов базиса: х=х,с1+л;е,+... +х„е„, Числа х„х„..., х„называют координатами вектора х в данном базисе. Наконец, очень просто проверить, что при сложении двух векторов х и у их координаты складываются, а при умножении вектора х на число Л его координаты умножаются на это число.

Важным понятием линейной алгебры является изоморфизм. Линейные пространства Я и гг' называются изоморфными, если между векторами х из Я и векторами х' из Я' можно установить такое взаимно однозначное соответствие х~->х', что если вектору х соответствует вектор х', а вектору у — у', то: а) вектору х+у соответствует вектор х' + у' и б) вектору Лх соответствует вектор Лх'. Можно показать, что все пространства, имеющие одну и ту же размерность и, изоморфны друг другу и, наоборот, пространства различной размерности заведомо не изоморфны друг другу. Изоморфизм векторных множеств различной природы позволяет переносить любой результат, вытекающий из свойств линейных операций для данного множества, на произвольное другое изоморфное множество. При этом конкретная природа как самих элементов, так и операций над ними может быть совсем различной.

Существенным свойством линейных пространств является наличие в них подпростраивтв. Подпространством К пространства )с называется такая совокупность элементов нз А', которая сама образует линейное пространство относительно определенных в К операций сложения векторов и умножения вектора иа число. Примером подпространства в множестве векторов обычного трехмерного пространства является произвольное множество компланарных векторов, образующих двумерное векторное пространство, соответствующее плоскости в реальном пространстве. Обратим внимание, что далеко не всякая совокупность элементов линейного пространства образует подпространство. Очевидно, чтобы последнее имело место, необходимо, хотя этого и не достаточно, чтобы указанная совокупность включала нулевой элемент. Ясно, что размерность любого подпространства не превосходит размерности своего пространства. Существует весьма простой общий способ выделения из любого линейного пространства )с некоторых подпространств.

Выберем в )с произвольную совокупность векторов а, Ь, с, ... и составим из них множество всевозможных линейных комбинаций. Легко видеть, что полученное таким образом векторное множество образует определенное подпространство, порожденное векторами а, Ь,с, .... Подпростраиство и-мерного пространства, порожденное й линейно-независимыми векторами е„е„..., ем является й-мерным (векторы е„е„..., еь образуют базис этого подпростраиства).

Очевидно, что любое л-мерное пространство содержит подпространства всех меньших измерений. Простейшее подпростраиство — это иулеесе, содержащее один нулевой элемент. Следующим являются одномерные пространства, базис каждого одномерного пространства состоит из одного вектора е,. Ясно, что указанное одномерное подпространство представляет собой множество векторов вида ае„ гдеа †произвольн число. Множество ае, по аналогии с обычным пространством называют прямой в линейном пространстве )с л-измерений.

Совершенно так же двумерное подпространство с базисными векторами е, и е„представляющие собой множество векторов вида а,е,'+а,е, (где а, и а,— произвольные числа), можно назвать алоскостью в )г. Если п > 3, то по аналогии можно построить трехмерное подпространство (гиперплоскость) а,е, + а,е, + а,е,. й 3. Евклидово пространство Ранее мы уже отмечали, что рассматривавшиеся до сих пор линейные или аффииные пространства беднее по своим геометрическим свойствам, чем обычное евклидово пространство. Это объясняется тем, что в них не определены метр ические понятия — длина вектора, угол между двумя векторами, площадь фигуры и т.

п. 167 Для того чтобы превратить двумерное аффинное про- странство в евклидово, нужно, очевидно, резиновую пленку натянуть на жесткий каркас, так чтобы ее более нельзя было подвергнуть такому растяжению или сжатию. Все геометрические свойства фигур, расположенные на такой «затвердевшей» пленке, будут уже относиться к евклидовой геометрии: они будут сохраняться только при вращении плоскости как целого (ортогональное преобра- зование). На такой «затвердевшей> плоскости метри- ческие понятия принимают однозначный смысл. Итак, чтобы линейное пространство превратилось в евклидово, нужно сформулировать еще ряд дополнитель- ных аксиом, из которых как следствия будут вытекать все метрические свойства пространства. Ясно, что эти аксиомы можно выбрать различными эквивалентными способами.

Но, оказывается, наиболее удобным для наших целей являегся введение определения (аксиомы) скалярного произведения векторов. Линейное пространство )« называется евклидова«м, если каждой паре векторов х, у из К поставлено в соот- ветствие действительное число, называемое скалярным -) > произведением (х, у), которое обладает следующими свой- ствами: 1) (х, у) =-(у, х) — (коммутативность), 2) (Хх, р) =1(х, у) — (Х вЂ” действительное число), ) 3) (х, + х„у) = (х„у) + (х„у) — (дистрибутивность). 4) Скалярный квадрат произвольного вектора (х, х) является положительной величиной, только (О, 0)=0, В полученном таким образом евклндовом пространстве легко определяются и другие метрические свойства, Длиной вектора х называют корень из его скалярного квадрата )х( =+ )~ (х, х). (1) Углом между векторами х и у называют число ~р, определяемое формулой: > <р= агссоэ (х' ") Ф) (х / (у( !68 Ясно, что определения (!) н (2) распространяют свойства скалярного произведения в обычном пространстве на произвольные евклидовы пространства.

В частности, два вектора х и у называются о!тнтогональиьами, если (х, у)=0. Легко убедиться, что для двух ортогональных векторов х и у имеет место равенство ~ х+ у ~' = — ~ х )'+ ~ у ~', представляющее собой теорему Пифагора. Можно также доказать, что для произвольных двух векторов х и у имеет место неравенство Коши — Буняковского: (х, у)' -(х, х) (у, у). (з) В отличие от аффинного пространства, где все базисы (косоугольные декартовы координаты) равноправны, в евклидовом пространстве существуют особенно удобные базисы — орто гон альп ые. -Ф '+ Ф Если л ненулевых векторов е„е„..., е„попарно ортогональны, то они образуют ортогональйый базив в и-мерном евклидовом пространстве )т'. Чтобы это определение имело смысл, нужно доказать, что векторы е„е„..., е, линейно независимы.

Характеристики

Список файлов книги