Е.И. Несис - Методы математической физики (1120414), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Следовательно, возникает необходимость ввести операцию умножения элементов векторного множества Я на элементы числового поля Р. В современной алгебре под понятием вектор а понимают абстрактную математическую величину, характеризующуюся в и-мерном пространстве и скалярными числами †координата (а„ а„ ..., а„), 158 лишь бы для таких величин была указана операция сложения, Таким образом, современная алгебра наряду с группами, кольцами и полями изучает также абстрактные векторные множества, для которых определена еще операция умножения любого его элемента иа произвольное число из некоторого поля Р. В частности, предметом линейной алгебры являются такие векторные множества, для которых операции сложения и умножения на число удовлетворяют ряду рассматриваемых ниже условий.
В этом случае множество векторов называют линейным (или аффинным) ве торным пространством. Основная задача линейной алгебры — это изучение линейных пространств и аффииных преобразований таких пространств. й 1. Линейное векторное пространство (11) ' Векторы с=а+Ь к о =За крккадлежкт векторному мкожеегву, если только о к Ь вЂ” элементы этого множества. 159 Множество векторов )г образует линейное (аффннное) пространство, если для всех элементов из )с заданы операции сложения и умножения на числа ', причем обе этн операции удовлетворяют следующим условиям: а) иолвлеутативиости— а+о=Ь+а~ Ла =аЛ ) б) ассоциативности— (а+Ь)+с=а+(Ь+с) 11 Л(ра)=(Лр)а / в) дистрибутивности— Л (а+ Ь) = Ла+ ЛЬ 1 (1П) (Л+р) а =Ла+ ра ) г) существует единственный нуль-вектор О, такой, что для любого вектора а имеет место равенство а+О= а; (1Ч) д) для всякого ненулевого вектора а существует единственный противоположный вектор — а, который в сумме с а дает нульг -Ъ ы а+( — а) =О; е) при умножении произвольного вектора а на число ! вектор не меняется: ! а=а.
(Ч1) Такое громоздкое определение вызывает обычно у начинающего некоторое недоумение, возникают вопросы: почему рассмотренное множество называют линепиым прострояспыом? Почему каждый век- тор этого множества обязательно должен обладать свойствами (()— (Л)? и т. п. Чтобы ответить на эти вопросы и пояснить геометрическую сущ- ность указанного определения, познакомимся немного с методологией ссвременной геометрии, Геометрия как математическая наука о пространственных отно- шениях и формах тел пользуется двумя осиовнымн методами: с и н- тетическим (или собственно геометрическим) и аналитиче- с к им. Первый был развит еще геометрами древности и прежде всего Евклидом.
В этом методе все выводы и рассуждения строятся на чисто геометрической, наглядной основе, с привлечением простран- ственного опыта; по существу синтетический метод состоит в опери- ровании самими геометрическими образами и понятинми. Типичными примерами применения синтетического метода в эле. ментарной математике являются задачи на построение и доказатель- сгво теорем о равенстве треугольников путем наложения.
Аналитический метод берет начало с работ известного француз- ского математика Декарта, введшего в первой половине ХЧП века в геометрию систему координат и сопоставившего каждой точке про- странства тройку чисел х, у, з. Это позволило сначала свести про- стые геометрические понятия и выводы к числам, уравнениям, вы- числениям (ояолилшческая геометрия), а затем решать и более тонкие геометрические задачи с помощью аппарата математического анализа (диф4еренциальнол геометрия). Зтот метод по существу слил в одно целое геометрию, алгебру и анализ. Примерами применения этого метода являются тригонометрические и алгебраические способы ре- шения различных элементарных геометрических задач.
В современных геометрических теориях аналитический метод иг- рает важнейшую роль, он применяется не только для доказательства различных теорем, но и для определения исходных, основных гео- метрических понятий. Дальнейшим развитием этого метода в геометрии явились вектор- ное и тензорное исчисления, позволившие аналитически характеризо- вать геометрические объекты и соотношения инварнантным (не зави- сящим от выбора системы координат) способом. Действительно, основному геометрическому сбъекту — то ч ке сопоставляется радиус-вектор, так что произвольной области пространства, представляющей собой непрерывное множество точек, ирииодится и соответствие векторное множество.
Умея оперироиать с векторами, мы, счеиидно, можем любую геометрическую задачу ре- шить методами векторной алгебры. Векторное исчисление оказалось наиболее удобным аналитическим аппаратом для исследования геометрии того или иного пространства. Но для того чтобы с помощью векторов можно было изучать геометрические свойства данного пространства, нужно сформулировать основные определения и операции над векторами как направленными отрезками, соединяющими две точки, т. е.
построить векторно-алгебраическую аксиоматику, из которой все утверждения и факты указанной геометрии вытекали бы как следствия. Ясно, что каждой геометрии соответствует своя совокупность аксиом. При пользовании синтетическим методом это †геометрическ аксиомы, Когда же исследование пространственных соотношений производится с помощью векторного анализа, используются эквивалентные геометрическим алгебраические аксиомы. Так, определения понятия вектора и правил действия над векторами будут различными для геометрий на плоскости и сфере, ибо геометрические аксиомы этих геометрий различны (например, кратчайшим расстоянием на сфере является не прямая, а дуга большого круга).
Легко видеть, что условия (1) — (Ч1), которым должны удовлетворять векторы двумерного линейного пространства, выполняются для обычной плоскости. Точно так же удовлетворяют этим условиям векторы реального трехмерного пространства, поскольку мы считаем его евклидовым или плоским (лишенным кривизны). Заметим, что великий Лобачевский впервые понял, что вопрос об евклидовости нашего пространства не является столь простым, как считалось ранее, что ответить на него может только опыт; иными словами, решить задачу о кривизне реального пространства должны ие математики, а физики.
В дальнейшем эту замечательную мысль развил немецкий математик Рнман, который показал, что плоское, евклидово пространство является простейшим частным случаем пространств различной кривизны. Соответственно, евклидова геометрия представляет собой предельный вид более общей римановой геометрии. Согласно общей теории относительности четырехмерное пространство-время не является плоским (евклидовым), 161 его кривизна переменна и определяется наличием гравитирующих масс вблизи рассматриваемой точки. Ясно, что линейное пространство — это обобщение геометрического понятия плоского пространства, в частности плоскости (когда размерность пространства равна 2).
Отсюда следует, что линейная алгебра †э аналитический аппарат изучения абстрактной геометрии л-мерных плоских пространств. Но и геометрия простейшего плоского пространства содержит огромное множество геометрических свойств, которые желательно разбить на отдельные классы.
«Первоначально геометрия вообще не расчленялась. Она изучала главным образом метрические — связанные с измерением размеров фигур — свойства пространства. Лишь попутно рассматривались обстоятельства, связанные не с измерением, а с качественным характером взаимного расположения фигур, причем уже давно замечали, что часть таких свойств отличается своеобразной устойчивостью, сохраняясь при довольно существенных искажениях формы и изменениях положения фигур» (А. Д. Александровов). Немецкий математик К л е й н сформулировал общий принцип классификации геометрических свойств: рассматривая различные группы преобразований пространства, объединяют в один класс те геометрические свойства фигур, которые сохраняются при тех. или иных преобразованиях. Иными словами, пространственные свойства как бы расслаиваются по их устойчивости.
Представим себе, что на квадратной плоской резиновой пленке нарисован круг с двумя взаимно перпендикулярными диаметрами. Если мы равномерно растянем пленку вдоль одной стороны квадрата, то круг превратится в эллипс и углы между диаметрами уже не будут прямыми (рис. 47). Таким образом, мы видим, что такая равномерная линейная деформация существенно изменила ряд геометрических свойств пространства. Однако некоторые свойства при этом сохранились.
Так, не нарушилась прямолинейность диаметров, точка пересечения диаметров делит их пополам (как в круге) и т. д. Геометрические свойства, которые сохраняются при равномерном растяжении или сжатии пространства в трех взаимно перпендикулярных направлениях (такие преобразования называются аффинными), образуют так называемую аффинную геометрию. К аффинным свойствам отно- 162 сятся прямолинейность линий, параллельность прямых, пересечение медиан треугольника в одной точке и др.
Напротив, метрические свойства — длина отрезков, площадь фигур, углы между прямыми и т. п.— сохраняются только при ортогоиал ьных преобразованиях, сводящихся к простому 'повороту (или движению) пространства как целое. Геометрические свойства, остающиеся неизменными при ортогональных преобразованиях образуют евклидову геометрию, Если резиновую пленку закрепить на жестком каркасе, то единственным возможным преобразованием пространства будет его вращение (или движение). При этом неизменными будут как аффинные, так и метрические свойства, которые в совокупности составляют евклидовы свойства пространства. Аналогично свойства, сохраняющиеся при проективных или конформных (сохраняющих углы) преобразованиях, образуют соответственно проективную и кон4ормную геометрии.
Если в обычной евклидовой геометрии мы отвлекаемся от реальных свойств тел, кроме геометрических, то при выделении из нее классов как бы совершается дальнейшее абстрагирование от всех других геометрических свойств, кроме тех, которые рассматриваются в данном классе. Так, изучая аффинные свойства, можно мыслить себе некоторое «воображаемое» пространство, в котором все фигуры не обладают никакими другими геометрическими свойствами, кроме аффинных. Ясно, что аксиоматика геометрии такого абстрактного пространства будет более проста (содержит меньшее число аксиом), чем аксноматика евклидовой геометрии. Следствия из этой аксиоматики характеризуют аффинные свойства фигур в обычном пространстве.
Из изложенного понятно, что аффиниые свойства являются более глубокими, чем метрические. Еще более глубокими геометрическими свойствами являются топо- логические, сохраняющиеся при самых различных непрерывных (топологических) преобразованиях пространства. Так, при любой непрерывной деформации (без разрывов) резиновой пленки окружность можт принять произвольную форму,'но будет оставаться замкнутой линией. Изучением таких свойств занимается топология, а абстрактное пространство, в котором фигуры обладают только топологическими свойствами, называют топологическим пространством.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
