Е.И. Несис - Методы математической физики (1120414), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Характеризуемая им функция 1„(х) называется бесселевой функг)ией первого рода порядка и. Бесселевы функции первого рода 1,(х) хорошо изучены, для иих составлены таблицы. При х)) 1 функцию Бесселя можно заменить ее асимптотической формулой: 1 (х) ), — соз ~х — — ~ /2 / ип п1 1 их ~ 2 4~' (18) из которой видно, что для больших х кривая 7,(х) приблизительно представляет собой затухающую косинусоиду (на рисунке 40 приведен график бесселевои функции нулевого порядка).
Ясно, что функции 1,(х) имеют бесчисленное множество корней Ц"' (где Й=1, 2, ...), для которых l, (ВР) =О. 134 Итак, функция Бесселя первого рода 1,(х) является одним частным решением у, (х) уравнения (12). Чтобы написать его общее решение, нужно знать второе линейно- независимое частное решение у,(х).
В теории бесселевых функций показывается, что в том случае, когда параметр т является не целым числом, это второе частное решение можно получить, положив з= — чч О «=а з "Ы В т)" (ь т) Однако, если т есть целое число (тс и), то функция 1 „(х) отличается от 1„(х) только постоянным множителем ( — 1). Иными словами, 1„(х) и 1,(х) линейно- зависимы и из иих общий интеграл нельзя составить. В этом случае в качестве второго независимого частного решения выбирают функцию Бесселя второго рода У„(х), которую еще называют функцией Неймана.
Мы не будем строго выводить выражение для У„(х), а ограничимся ее асимптотической формулой, справедли- вой при х))1: Г2 . / пя п~ У (х) = "ь — з)п ( х — —" — — ) . У (, з 4)' (20) У. Это тоже бесселева функция первого рода, но отрицательного порядка, ее график подобен затухающей косинусоиде. В случае иецелочислениости т общий интеграл уравнения Бесселя имеет вид; у (х) = С,1„(х)+ С,1, (х). (19) $ 3. Решение задачи Дирихле для цилиндра Пусть даи цилиидр высоты И и радиуса а (рис. 40), иа боковой поверхности и верхием торце которого температура равна нулю, а иа иижием торце поддерживается постоянная температура по закону Т = Р (р). Найдем распределение температуры в таком цилиндре.
Чтобы сформулировать задачу аиалятически, примем во виимаиие, что из ее условий вытекает симметричиость распределения температуры дт по углу и. Поэтому — =О и уравнение Лапласа упрощается: бр 1 ду дтпл даТ вЂ” — ( р — ~+ — =о. р др(, дру дза — . (22) Граиичиые условия выражаются так; т~, .-о, т(;о, (23) т) =е=р(р). (24) Согласно методу Фурье представим искомую функцию в виде произведения: Т (р, г) = И (р) Е (г).
(25) Подставив это произведеиие в исходное урав- иеиие (22), имеем: 1 г — — (рд)+юг =о. р "Р Деля это равенство иа КЯ и перенося вто- рое слагаемое вправо, получаем: 1 г(, Я' — — (рй') = — —. рте ар 2 (г) ' .) Приравнивая, как обычно, обе части равеиства постояяиой — Аэ, приходим к двум Рис. 42 Наиболее существенное свойство функции У„состоит в том, что при х — 0 функции Неймана любого порядка стремятся к бесконечности: У„(0) = — оо.
(20') На рисунке 41 приведен график функции Неймана нулевого порядка. Таким образом, при т=п общий интеграл уравнения Бесселя (12) выражается следующей формулон: у (х) =- С гТ „(х) + С,У„(х). (21) В следующем параграфе рассматривается конкретный пример, в котором используются функции Бесселя. обыкновенным дифференциальным уравнениям: 2" — )со2 (з) = О, 1 — — (р)с')+)со)г = 0 р бр Общий интеграл уравнения (26) записывается сразу: 2 (г) = А сЬ )сг + В зЬ )ст, (28) )7'+ — )с'+)М=О. 1 Р (27') Его общее решение согласно (21) имеет вид: )с (р) =-С)о (йр) +1)У» Р р) (29) Из условия конечности решения во всех точках цилиндра следует, что В=О. В противном случае для точек на оси з, т. е.
прн р =О. мы бы получили )7 — о со (так как (1'о(0)) = со). Итак, И (1з) = С)о ()Чэ). (29') Потребуем теперь, чтобы на поверхности цилиндра )7(а) 0; г Р. )=о. Отсюда находим параметр Х: Ха=к», или )с о гй — о где $» — корни бесселевой функции нулевого порядка. Подставляя о (31) в (29), получаем: Л. (р) =С.). (а -Р) . (32) а! (30) (3!) Умножая (32) на (28), находим множество функций: 7»(Р з)= ~М»с(с (С» — )+ и» з" (яп — )1 (о (вй — ), (33) удовлетворяющих уравнению (22) н первому из граничных условий (23). Чтобы удовлетворить еще второму граничному условию (Т) а=О), необходимо положить М»сй (4» — )+Л'»зй(йп — )=О.
(34) Отсюда ӄ— М„(3(~,', "). (35) Подставляя (35) в (ЗЗ) и учтя формулу для гиперболического синуса 137 Что касается (27), то оно является уравнением Бесселя нулевого порядка от независимой переменной (Хр): разности двух углов, мы приходам к соотношению: зй(а"— ') Та=Ми — ), (вЯ). зй ($е ) Т(р, з)= ~~' Т„= ~~' М„Г Л 1 )е (еь» — ) (бУ) а=1 «=1 зй ( та ) а) н потребуем, чтобы прн з=б она сходилась к Р(р): \О Т (р, б) = ~~)~, М„! (Я ( 1 =Р(р). "а) Л4Ы Задача теперь свелась к разложению функции Р(р) в ряд по бесселевым функцням нулевого порядка.
В теория цилиндрических функций доказывается, что две различные функции одного порядка о боб же н но орто го на ль н ы, т. е. а ~ р(, (йа — ') У,(4' — ') Ир=б о прн ш ~ л. Поэтому любую функцню Р(р) можно разложять в ряд Фурье — Бесселя: Р() ~~)~ Р ) (~о Р) а=! Прн этом ноэффнцненты Фурье — Бесселя Р„вычисляются по формуле И Р =-; — Э вЂ”,~рР(р) )е($. ~ ~) Нр. аз()ч(Ь Нз о) (40) Таням образом, полагая М„=Р„, получаем окончательное решение задачи з виде суммы ряда: Т(р, з)= ) Ри; ь т )о($», ) зй ( 1»' — ) а) (41) Нам осталось еше удовлетворить граничному условию (24).
Дляэтого составам нз решений Т„бесконечную сумму: Глава 1Ч. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ В СФЕРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ 5 1. Решение уравнения Лапласа в с!рерических координатах. Уравнение Лежандра Уравнение Лапласа в координатах (г, В, гп) записывается так: 1 дГ ди1 1 д l .
дих 1 дти ЛУ = — — (г' — ) + —.— (з1пй — )+ . — =О. г~ дг(, дг) ггип В до (, дВ) гез!и~Ода (1) Следуя методу Фурье, ищем решение этого уравнения в виде произведения: р) = Л (г) У'(В, р). (2) Подставляем (2) в (1), получаем: У д, Й1 ! дГ. ду~ 1 дЧ'1 — — (г%') + — 1 —. — ( з1п — ) + —. — ~ = О.
г~ дг г' ) и!п В дВ (, дВ ) и!птВ д~р~ 1 Умножим это равенство на г*ЯУ, приводим его к виду: „(г*)1 ) = —,ЛР, 1 д,, 1 (з) (5) (6) Уравнение (6) в развернутом виде выглядит так: 1 д ~ . д!г~ 1 дЯК мп 0 д0 1, д0 ! Мпзв дгрт — 1'з1п  — '1+ —.— +ЛУ = О. Как видно, это уравнение в частных производных. Поэтому вновь применим метод Фурье, Представим У(0, гр) в виде произведения: У=У(В) Ф«Г) (6') (у) 139 где Л вЂ” так называемый оператор Лежандра, равный Приравнивая обе части равенства (3) постоянной Х, приходим к двум уравнениям: дг — (гЧ~') — ХЯ = О, Л)г — 3Х = О. Ф (~у+ 2а) = Ф (~р), то можно сделать вывод, что значение т не может быть произвольным, а обязательно является целочисленным: т=-т=1, 2, Следовательно, функция (Ф) ~р принимает форму: Ф=Ае' в+Ве ' в, (! 0') а уравнение (9) соответственно запишется так: Изу соз О ИУ / тз —.+ —.— + () — —.) У=-О.
Нве з1п В ЕВ ~ з|пэ О/ Уравнение (9') называют обобщенным уравнением Ле- жандра, Если ввести новую независимую переменную х=созй (при этом — 1 =х(1) и обозначить У(В) =у(х), то обобщенное уравнение Лежандра принимает обычный вид '): тз (1 — х')у" — 2ху'+ )у —,, у=О. (11) (9') т) Действительно, х=соз В, ох= — ми Ос)О. Поэтому ЕУ Ыу Ех — = — — = — мп О.у', вВ =их еВ= Еэу Подставляя — и — в (9), приходим к (| |). Евз ВВ |40 и подставим это выражение в (6'). Тогда Ф Н т .
ВУ~ У ЕзФ вЂ” — (з|п — ) + . — з+ХУФ=О. Мпа ВО(, аО) Мп'В арз Мпэ О Умножив последнее равенство на — и разделив пе- ФУ ременные, приходим к равенству: з1п6 В ., Ф" — — (з!и ВГ) +) яп'В = —. ЕВ Ф ' Приравнивая обе части постоянной — т', получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения: Ф" +тэФ=-О, (8) —.',,— В~з пВУ )+ () "„) У(В) =-О. (9) Решение уравнения (8) нам удобнее представить в показательной форме: Ф(„,) Ае~хв | Ве-ыв (10) Так как обычно функция Ф(ф) удовлетворяет условию цикличности При и=О это уравнение имеет более простую форму уравнения Лежандра: (1 — х') у" — 2ху'+ Ху = О.
(12) Таким образом, задача свелась к нахождению решений уравнения Лежандра (9') и радиального уравнения (5). Обозначая их интегралы соответственно через 1~(В) и Я (г), представим искомую функцию в форме следующего произведения: и (г, О, р) = )Р (г) и (О) Е ( р), где сО(~р) имеет вид (10'). Перейдем теперь к изучению методов решений уравнений (9') и (5).
ф 2. Решение уравнения Лежандра (14') 141 Будем искать интеграл уравнения Лежандра (12) с переменными коэффициентами в виде ряда: у (х) = ,)„', алхл. л=о Дифференцируя (14), получаем: у'=,ройалхл ', л=о ОВ у" = ~ й(й — 1)алх" '. (14") Умножив у" (х) на (1 — х') и у' на 2х и подставив полу- ченные выражения в (12), приходим к равенству: О \Ю (1 — хл) ~~", й(й — 1)алх" ' — 2х ~ йа„х' '+й ~.", алх"=-О.
»=о л=о о=о Перенесем все члены, содержащие х в й-й степени, вправо: ~ й(й — 1)а„х» *= — ~ 1й(й — 1)+2й — Ча х", *=о о=о или О ~ й(й — 1)алхл л— = ~~~ ~1(й+1)й — Л]алхл. (15) о=о о=о Поскольку согласно (15) должно иметь место равенство коэффициентов при одинаковых степенях в обеих частях равенства, то (й + 2) (й+ 1) ал+ =- (й (й+ 1) — Ч а„.
Отсюда получаем рекуррентную формулу: а (э+!) — з. а», — — а„ (16) позволяющую выразить все четные коэффициенты ряда (14) через а, и все нечетные через а,. Таким образом, ряд (14) с коэффициентами, определяемыми по формуле (16) и с произвольными значениями а, и а„является общим решением уравнения Лежандра (12). Обратим теперь внимание иа то, что согласно равенству (16) при а,=О все нечетные коэффициенты ряда (14) обращаются в нуль (а, = а,= а, =... = О). При этом получим «четный» ряд: у,(х)=а,+а,+а,х'+а,х'+..., (17) являющийся частным решением уравнения (12). Аналогнчно, положив а«=б (но а,ФО), получим «нечетный» ряд: у, (х) = а,х+ а,х'+ а,х'+...
(18) представляющий собой второе частное решение уравнения (12). При этом коэффициенты рядов (17) и (18) вычисляются по формуле (16). Таким образом, общее решение исходного уравнения можно записать так: у (х) = Ау, (х) + Ву, (х). (19) Однако задачу еще нельзя считать решенной. Дело в том, что в математической физике нас интересуют не любые решения, а только такие, которые удовлетворяют условиям однозначности, непрерывности и конечности. Анализ же рядов (17) и (18) показывает, что последнему требованию они, вообще говоря, не удовлетворяют. И только в том частном случае, когда какой-нибудь из этих рядов «обрывается» на некотором члене и содержит конечное число слагаемых, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
