Е.И. Несис - Методы математической физики (1120414), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Π— уравнение Шредингера, й 6. Понятие об общем интеграле уравнения в частных производных Каждое уравнение в частных производных, как и обыкновенное дифференциальное уравнение, в подавляющем большинстве случаев имеет бесчисленное множество частных решений. Таким образом, любое дифференциальное уравнение (как обыкновенное, так и в частных производных) определяет, вообще говоря, некоторый класс удовлетворяющих этому уравнению функций, совокупность которых образует так называемый общий интеграл (общее решение).
Однако между общими решениями обыкновенных дифференциальных уравнений и общими решениями уравнений в частных производных имеется существенное различие, из-за чего методы нахождения этих решений в конкретных частных задачах различны. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение п-го порядка: ) (х, у, у', у", ..., у'"') =О. Его общий интеграл, как иавеотно, представляет собой некоторое семвйатво функций, зависящее от п произволь- )оо ных постоянных (параметров): у=Р(х, с„с„..., с„).
.Любое частное решение получается из него, если параметрам с„с„..., с„придать определенные значения. Например, в случае уравнения у" +у=-0 общий интеграл имеет вид: у =-с, соз(+с, з1п(. Если в начальный момент времени 1=.0 искомая функ- ция д(х) должна удовлетворять условиям у~,, = 1, у'/,, = =- 1, то мы легко найдем соответствующие значения па- раметров с, и с„подставив в общее решение эти началь- ные значения для у и д': у (0) = — с, сов О+ с, э| и 0 =- 1, у,'= — — с, з|пО+с,соз0=-1, откуда с, = 1, с, = 1. Следовательно, соответствующее част- ное решение запишется так: у = соз1+ з|п (. У дифференциального уравнения в частных производных общий интеграл содержит, как мы сейчас увидим, произвольные функции, количество которых равно порядку уравнения.
Пусть дано уравнение: (2о) да да Найдем его общий интеграл, т.е. функцию и(х, у), удовлетворяющую (28). Для этого сначала запишем это уравнение в виде: Поскольку производная по х от величины, стоящей в скобках, равна нулю, то последняя является некоторой произвольной функцией от у: дя ~„-=1(д) Поэтому и (х, у) = ) ) (у) г(у. Но интегрируя произвольную функцию 1(у), получим новую, также произвольную функцию, скажем Р(у), плюс |о| произвольная функция Ф (х) переменной х (последняя играет роль постоянной интегрирования у обыкновенных дифференциальных уравнений), Таким образом, общий интеграл уравнения второго порядка (28) и (х, у) = Ф (х) + Р (у) содержит две произвольные функции, Еще один пример.
Найдем общее решение уравнения второго порядка: , -= — О. (29) Подставим его в форме: ди Тогда сразу ясно, что — =1(х), где 1(х) — какая угодно ду функция, Интегрируя последнее равенство, находим: и(х, у)= ~ ) (х) г(у+Ч>(х), или окончательно и(х, у).—.у1(х)+~у(х), где ~у(х) — тоже произвольная функция от х. Следовательно, и в этом случае общий интеграл содержит две произвольные функции.
Легко убедиться, что такое положение имеет место и для более сложных уравнений в частных производных. Ниже будет показано, например, что с помощью замены переменных общее уравнение второго порядка д2и д'и д2и а — +26 — +с — =О дк~ дк ду дуэ сводится к одному из простейших уравнений †(23) или (24). Поэтому его общий интеграл также содержит две произвольные функции, положим Ф(х) и Р(у).
т1тобы теперь из общего интеграла уравнения в частных производных найти определенное частное решение, нужно найти конкретный вид функции 111(х) н Р(у). Однако — и в этом состоит причина сушественного различия методов решения уравнений обыкновенных н в частных производных — из-за чрезвычайной о бщ ности общего интеграла уравнения в частных производных, как 102 правило, очень трудно из него выделить нужное конкретное решение. Поэтому в математической физике изучают главным 'образом методы непосредственного нахождения частных решений, удовлетворяющих определенным начальным и граничным условиям. Следует тем не менее иметь в виду, что общий интеграл несет важную информацию о процессе, описываемом дифференциальным уравнением в частных производных, и эта информация может во многих случаях оказаться весьма полезной и для получения ответа на данную физическую задачу. В заключение настоящего параграфа покажем, как можно найти общее решение уравнения (30).
Полагая, что коэффициент с чь0, введем новые независимые переменные: $=х+)чу, т~=х+Х,у, <зц где ).т и Х, пока произвольные, но различные (иначе $ и тт не будут взаимно независимы) числа. Так как ди ди д,'- ди дн ди ди — — + дх дз дх дя дх д$ + дя ди ди д$ ди дя ди ди — = — — + — — =Х вЂ” +Х ду д~ ду дя ду ' д$ х дт1 ' то имеет место соответствие д д д д д д — — ~ — + —, — — ~). — +Х дх д~ дя' ду хЯ хдт1' Поэтому +(т+ х)д~ + хдх' д'и дхи + ' 'дедя+ т дях ' Умттожим эти вторые производные соответственно на а, 20 и с н затем ик слоним, Тогда левая часть у(завне- ния (30) примат вид: (32) где А = а+ 2Ь)и+ се, В а+ Ь (Х, + Р,,) + сХ,Х,„ (32') С=а+2ЬХ,+сит Рассмотрим теперь вспомогательное квадратное уравнение Ь'+ 2Ьй+ О.
(30 ) Его корнями являются В зависимости от значения дискрнминанта Р= Р— ас возможны три случая: 1) если Р ) О, то корни )., и Х, действительны и различны; уравнение принадлежит к г иперболическому типу; 2) если Р (О, то корни )., н Х,,комплексны и различны; уравнение (30) является э ллиптически м; 3) если Р=О, то корни Х, и Х, действительны н равны между собой; уравнение называется параболическим. Допустим сначала, что Р~О.
Тогда выберем в качестве параметров Х, и Х, в (31) следующие значения: — э+в, — ь — и Х =— с ' ' с Тогда коэффициенты А и С в (32) обращаются в нуль, в чо время как В~О. Поэтому уравнение (30) в переменных ~ и т) принимает простейшую форму (28): сни 0 оЯ( Общее решение этого уравнения нам известно: и=Ф($)+г (т)). Возвращаясь к старым переменным х и у, получаем окончательно: и =Ф(х+).,у)+г" (х+ Х,у). (33) В том случае, когда уравнение (30) является параболи- ческим, т.а В 5' — а"-О, Ь примем Л, =- — —, а Л, — произвольным.
Тогда согласно (32') А=О, СчьО, а коэффициент В равен нулю при любом Л,. Такнм образом, уравнение (30) сводится к более простому (29): дйи о. Его общий интеграл, как показано было выше, имеет вид~ и=О)6)+ч 6). Возвращаясь к первоначальным переменным х и у, получаем общий интеграл: и=(х+Л,у))'(х+Л,р)+~р(х+Лу), (34) который также содержит две произвольные функции ) н ф. В следующем параграфе приводится пример, в котором удается получить частное решение из общего.
(35) и начальным условиям: и ~~,=-Ч~(х), д ~ =ф(х). (36) Поскольку струна является бесконечной, то граничные условия не нужны. Такая задача более проста и является частным случаем так называемой задачи лоши. Начнем с нахождения общего интеграла уравнения (35). Запишем это уравнение в следующем виде: дии 1 д"*и 3 ~ — —,— )к=О. (35') 105 й 7. Колебания бесконечной струны Пусть совершающая колебания упругая струна является столь длинной, что ее можно считать бесконечной. Требуется найти смещение любой точки в произвольный момент времени, начальная форма струны и скорости ее точек заданы. На языке математической физики эта задача формулируется следующим образоья найти функцию и = и (х, ()„ удовлетворяющую волновому уравнению: ди ,ди дп дии Следуя методике решения уравнения (30), рассмот~ипнай в предыдущем параграфе, чияпишем коэффициенты урав« мания (35): а=1, 6=0, с= — 1~о'.
Днск(мннинннт Р =Ь' — ас =- — „, > О, так по уравнение ! принадлежит к гиперболическому типу. Подставляя значения этих коэффициентов и квадратное уравнение (30'), получаем: ! — —,У+1=0, откуда Х= ~ о. Вводя теперь новые переменные: 5 = х+ Х,1 = х + о1; т1 = х+ Х,1 = — х — о1, приведем уравнение (35) н простейтаему виду: Д2и оздч — =О. Таким образом, искомая функция и(х, г) согласно (33) предыдущего параграфа равна сумме двух произвольных функций: 0 =Ф(х+о()+ Р(х — о1).
(33 ) В указанном .виде решение волнового уравнения было впервые получено Ддламбером. Выясним его физический смысл. Примем для простоты, то Ф=О и смещение колеблющихся точек определяется соотношением: У, = Р (х — о1). (33") Возьмем произвольную точку х. В момент времени 1=0 смещение этой точки равно Р(х). Легко видеть, что точно такое же смещение будет в более поздний момент г > 0 у точки с координатой х+ о1. А это значит, 'что отклонение и перемещается вдаль струны вправо со скоростью о.
Перемещение в пространстве некоторого переменного (чаще всего периодического) процесса с постоянной скоростью представляет собой распространение прямой волны. Аналогично решение У,=Ф(х+о1) описывает обратную волну, распространяющуюся с той же скоростью вдоль струны влево. Следовательно, решение (33') предсаааляет собой сумму (сунериознцию) прямой и обратной волн. Д7 ! Попытаемся теперь выб- У' рать произвольные функпни Ф и г так, чтобы вы- а полнялись начальные ус! ! ! Ф ! ловия (Зб). Подставляя в ! (33') значение !=О, мы в соответствии с (Зб) найдем, что 7 Ф(х)+Р (х)=(р(х). (37) Если.
же подставить значение 1=-0 в производную хс Х. от (ЗЗ'), то получим: ! ! ! о ~Ф' (х) — Р' (х)~ = ф (х). (38) х! х, Равенства (37) н (38) обра- 'у! г !- зуют систему уравнения с двумя неизвестными функциями Ф(х) и г" (х). Чтобы определить их, продифференпируем (37)'н сопоставим с (38): Ф' (х) +г"' (х) = Чх' (х),.
(37') Ф' (х) — г"' (х) =1 !(я(х). (33 ) Отсюда легко находим, что Ф'( ) = —,' ~Ч'+ — „' ф~, р'(х)=ф ~~ — „' ф~. (Зйй Интегрируя эти равенства, установим явнвай. вид фрин ций Ф'(х) и г" (х). Таким образом! рен!ение Даламбера задачи Коши для бесконечной струим принимает следую щую форму: и (х, !) — — Ц!р (х+ о!)+ ср (х — о(у))!+ — ~ ф(х).!(а. (40) к- о! Выясним физический смысл этого решения на двух частных случаях. Е Пусть начальные скорости точек струны равны нулю (ф = 0), а начальное смещение имбо!г только точки иа участке ( — (, !), как показано на рисунке 32, а: <р(х)=0, если!х!>(, !Щ Решение (40) принимает вид: и(х, 1) = — ~~р(х — о1)+~у(х+о1)~, (41) к»ы и(х, 1) -2„.- ~ ф(г)йг. Обозначим 2- ф(г)йг Х(х).
Тогда и(х, 1) ) (х+о1) — ).( — о1). (42) (43) 1ОВ т. е. представляет собой сумму двух волн, распространяющихся со скоростью о вправо и влево, амплитуды которых 1 равны половине амплитуды начального смещения — «р(х). 2 Поэтому„чтобы построить форму струны в некоторый момент времени 1) О, нужно график половинного смещения сдвинуть вправо и влево иа симметричные отрезки ьт и графически сложить эти кривые (рис. 32, 6). 1 После момента 1 = — распространяющиеся в противоположные стороны «половинные» волны уже не накладываются друг на друга и расходятся в разные стороны (рис.
32, в, г). Последим теперь за поведением точки струны, не получившей начального смещения (координата которой х ) 1 к — 1 или х < — 1). Ясно, что до тех пор, пока 1< — аргумент функции ~р (х — о1) будет больше 1, так что смещение равно нулю (и=О) и точка находится в покое, Это будет к — 1 продолжаться до момента 1, = —, когда передний фронт волны достигнет точки х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
