Е.И. Несис - Методы математической физики (1120414), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Чтобы найти вид координатных линий, преобразуем формулы (14) двумя способами: х у сьЬ ' эьй — = сов т1, — = выл (14') — =с)т $, —.=з)т $. х у сов п Ми т| (14") Рис. 26 Одну из переменных можно исключить, если равенства (14') возвести в квадрат и сложить, а возведенные в квадрат равенства (14") вычесть друг из друга: х' уэ ск $2 эк|э — -(- — = 1, (15) х' у- (16) Из (15) вытекает, что координатные линии т1 (вдоль которых 5=сопз1) являются эллипсами, оси которых совпадают с декартовыми осями координат. Более того, поскольку большая и малая полуоси равны соответственно а=с)т $ и Ь=а)т $, то фокусное расстояние с = ахат — Ь'=1, т. е.
одинаково для всех й. Это значит, что семейство координатных кривых т1 есть семейство софокусных эллипсов (рнс. 26). Характер второго семейства координатных кривых следует из выражения (16). А именно, положив в нем т1 =-сопз1, находим, что линии $ представляют собой семейство гипербол с теми же фокусами, что и у эллипсов. Проверим теперь, выполняется ли условие ортогональности.
Для этого вычислим частные производные: дх ду . дх дй ' дв ' д — = соз т1. з)з $, — = з!п т) сй К вЂ” = — с)т $ з)п т1 ду — =з)т |.созй. дч Пользуясь этими выражениями, убеждаемся в том, что дх дх ду ду — ° — + —. ° — = О, оа дЧ д,"-, дн т. е, что линии В и т1 взаимно перпендикулярны. Наконец, вычислим коэффициенты Лямэ. Прежде всего легко убедиться, что коэффициенты Нь и Ня равны между собой и выражаются так: Н;=Н„=1'соз'т) айте+ з(пвт) сЬв$.
Учитывая, что з(пят) =1 — созвт) и сйв $=1+зЬв $, получаем окончательно: и, = в„= уьгтх; (17) 2. Показать, что плоская параболпвеспаа система координат (в, о), связанная с прямоугольными декартовымн координатами (л, у) соотношениями 1 л= — (и — о), у= у ав, 2 () 8) является ортогональной. Определить ковффнциенты Лямв. Чтобы найти уравнения координатных линий и и о, выразим каждую из этих переменных через х и у: и=х+3 х'+у' о= — х+~/хе+уз (19) отсюда ясно, что линии о также представляют собой соосные параболы с фокусом в точке О, но повернутые в противоположную сторону (кривые справа на рис. 27). Взаимная перпендикуляр- ность кривых и и о устанавли- Рис.
27 80 Семейство координатных линий и мы определим, положив в (19) г =с: с = — х+ р' хз+ уз, у'=2сх+с', Зто — симметричные относительно оси Х софокусные параболы с фокусом в начале координат и вершинами в точках х= — с(2 (кривые слева на рисунке 27).
Аналогично, общее уравнение координатных кривых о при и=с' имеет вид: у' = — 2с'х+ с', вается с помощью условий (4» и (18): дхдх ду ду — — + — — =О до до ди ди Для коэффициентов Лямэ получаем следующие выражения: 1 /и+и ! а/ и+о Т У й 3. Основные дифференциальные операции в криволинейных координатах 1.
Градиент скалярной функции. Как было показано в главе 1, градиент скалярной функции ч~ представляет собой вектор дгаб Ч~, проекция которого на произвольное направление 1 равна производной от ~Р по этому направлению: йга<1,~~= д,, где Ж вЂ” длина отрезка, взятого вдоль направления 1. Пусть вектор дгаб~р задан в некоторой точке пространства М, Через нее проходят три взаимно перпендикулярные линии до д„д,.
Проведем в точке М касательные к этим линиям и вдоль этих касательных отложим (в направлении возрастания координат) единичные орты ео е„е, (рис. 28), Эта тройка ортогональных ортов, называемая базисом (или репером), образует локальную Рос. 2В 8! (местную) прямоугольную систему координат. Ясно, что в характеризуемых криволинейными координатами точках пространства реперы будут, вообще говоря, разные. Проекция вектора ягаб !р на направление координатных линий (т, е. иа касательные к атил! линиям в точке М) равна: дт (й бд).,=,—,'., где г(з! — длина дуги координатной кривой д,. Но согласно (8) гЬ, =-Н,"бд;. Поэтому (ета4 !р)~, =- — —, ! д!р ! (21) Следовательно, градиент скалярной функции в некоторой точке пространства определяется в криволинейной системе координат тремя проекциями на координатные линии, проходящие через эту точку: ! дт 1 дт ' ! д~р -' йгаб <р = — — е, + — — е, + — — е,, (22) Н! дд~ ! Н,до~ ! Н дд Необходимо только иметь в виду, что в отличие от прямоугольных координат компоненты градиента (ягаб,,!р) меняются от точки к точке ие только вследствие того, что я~ — переменная величина, ио, вообще говоря, еще из-за непостоянства значения Н, и непостоянства направления в пространстве соответствующего орта е, 2.
Дивергенция векторной функции. В главе 111 была выведена формула, которая может служить инвариантным определением дивергенции: д!д <11! а=- — —. Л' ' (23) Здесь бЮ вЂ” элемент объема, выражающийся в криволинейных координатах согласно (11) формулой Л' =- =-- Н,Н,Н,г(д,!(д,г(д„а г(ЛР определяет поток вектора через малую замкнутую поверхность Ло, ограничивающую объем а'р',. !(М =$а„!(о, аа 82 В качестве элементарного объема б(г выберем криволинейный кубик, гранями которого являются участки координатных поверхностей (см, рис. 25).
Рассмотрим две грани, перпендикулярные д,— левую 1 и правую 2, Площадь грани 1 равна: до,=Н,(д,) Н,(а,) ЩЩ, Соответственно площадь грани 2 запишется так: г(о~=На(1~+ "ЧЭ Нз(ч~+ "ЧЭ "Ч~"ч . Пусть переменный вектор а в точках элементарной грани 1 принимает значение а(д,), а в точках грани 2— соответственно а (д,+ Щ). Так как координатная линия д, перпендикулярна к обеим этим граням, то нормальные про- екции векторов а(д,) и а(д,+Лд,) с учетом направлений нормали принимают значения: — а„(д,) и а„(д,-( йд,). Поэтому результирующий поток вдоль ), равен: дУ„= — а„Н, (д,) Н, (д,) дд,Щ+ а„(д, +ба,) Н (д, +Ид,) Х х Н, (д, + (д,) й),йЧ„ или, пользуясь формулой Тейлора и отбрасывая малые высших порядков, дФ„= — (Н,Н,а„) Ид, й), А(,.
Полный же поток через все грани кубика определяется равенством: дЖ =~(~ (Н,Н,а )+ ~ (Н,Н,а~,)+ д д Подставляя это соотношение в (23) и учитывая (11), получаем выражение для дивергенции в криволинейных координатах: 3. Оператор Лапласа. В прямоугольных декартовых координатах оператор Лапласа„ или лалла.иая, представляет собой сумму вторых частных производных по координатам: д' Р д~ й— = — + — + —. дх да д2~ Чтобы получить выражение лапласиаиа в криволинейных вз (27) Выберем в качестве элементарной площадки !(о малый криволинейный четырехугольник АВСО, стороны которого являются отрезками координатных линий д, и д,. Ясно, что нормаль к этой площадке направлена вдоль д, (рис.
29). Согласно (!О) ~о = 7)Мз !(!)а !(!)в. Что касается циркуляции по периметру четырехуголь- ника г(Г =~а,г(!, координатах воспользуемся соотношением: Лч!=Й!э дгаб !г. Обозначим ягаб !г =а. Тогда согласно (21) ! дт а = — — и Л<р = Йч а. Н! дч! Используя формулу (25), в которую вместо а~ подставим — —, приходим к искомому выражению: ! д!р Н! дч! ' 4.
Ротор векторной функции. Для получения выражения ротора в криволинейных координатах будем исходить из инвариантного соотношения (32) главы И: !!Г го(„а= —. (28) Рас. 29 то для ее определения необходимо вычислить криволинейный интеграл по каждой из четырех сторон прямоугольника: Ф =1+1+1+1 Прн этом нужно учесть, в о-не р в ы х, что длина стороны прямоугольника согласно(В)равна г(1, =Н, г(((г, и, во-в то р ы х, что в данном случае рассматривается двумер- ное векторное поле в точках координатной поверхности уз=сонэ(, так что а=а(з)„дз).
Следовательно, в ~ азг(1 =аз(г)э) Нз(г)з)г(д„где аз =аз,, л ) пз с(1 = згэ (Чг) Нэ (Чз) г(чз в Аналогично для остальных двух сторон: с („,з д1 =, ()з+ (фз) Н, (дз+ (дз) Гй(„ в в (дазг(1 = — а, И,+ г(г),) Н, И,+г(г(,) г(р,. с Складывая второй интеграл с третьим и четвертый с пер. вым и пользуясь формулой Тейлора, получаем: г(Г = ~~ (азНз) — д (азНз)1 г(г(,г(г(з. (29) Подставляя значения з(Г и г(о в (28), найдем для проекции ротора на направление з)з: го( а= —. ( (д(изнз) д(агНг)) (зо) э Н,Н,'( дог др, Теперь понятно, что полное выражение вихря через его проекции на локальные орты криволинейной системы координат имеет вид: ! (д(азНэ) д(изНй)- го(а ( ) е+ (3! ) Примеры.
1. Наппсать оыразгеппп дпфферепцпадьпых операций ага д и, Ю а, го(а и Ьи а цпзппдрпческой системе коордппат р, о, т. Как было показано в р 2, коэффициенты Лямэ в рассматриваемом случае имеют следующие значения: Нр — — 1, (35) Н„=р, Н,=(. Поэтому сог,пасно формуле (22) ди ' ! ди ди дгас(и= — е + — — е + — е. — д т и г д г. (32) Пользуясь формулой (23), получаем выражение для дивер- генции: 1 1д дае! да с1(ч й= — г — (рар)+ — е~+ — '. р(др " дф~ дг (33) Точно так же, подставляя в (27) значения коэффициен- тов Лямэ, получим: 1 дг дит 1 дги дги сти = — — ( р — ~ + — — -1- — . р др (, др) рт дсрг дгг ' (34) Наконец, написав формулу (ЗО) в применении к цилиндри- ческим координатам и подставив в нее значения коэффи- циентов Лямэ, получим выражения для проекций вихря: 1 да дае - дао да го1 й= — — ' — — е.
го1 а= —" — — ', о р дго дг ' е дг др' (д (ра,) да„) го1 й= — ~ р 1 др др)' З. Напнсвть выражения двя агади, д1т а, гога н ди в сфери- ческой системе коордннвт г, О, ф. Учитывая, что Н,=1, Не=г и Н„=гз(пй и посту- пая так же, как в предыдущем примере, получаем выра- жения для дифференциальных операций в сферической системе координат. Градиент скалярной функции выразится формулой: ди ' 1 ди ' 1 ди -' аса!) й = д ет+ г дОее+ г1пО д (Зб) дивергенция векторной функции — формулой: д , ! да, с)!Ч й = — г д (ггй,) +г мп 0 да (з(пййо) + ' 0 ' (37) Подставляя в (37) вместо йг соответствующие проекции (атас(и), получаем лапласиан скалярной функции: г,' Для проекций вихря получаются следующие формулы: Г д дааз го1 й= —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
