Е.И. Несис - Методы математической физики (1120414), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Результат действия дифференциального оператора ф на произведение двух скалярных функций или на произведение скалярной и векторной функций равен сумме произведений каждого "множителя на результат применения оператора ко второму сомножителю: р(фф) =-ф 'уф+ ф.тгф, или угад (фф) =фдгад ф+ ф дгаг(ф (д, фа) =(а, рр)+ф(ф, а), или Йч(ра) =(а, дга6 ф)+ + ф Йч а, (40) [ч, фа1 = ф [ р, а)+ [рф, аЬ или го1 (фа) = > = ф го1 а+[игай ф, а1. С помощью оператора Гамильтона легко вычисляются различные вторые производные скалярных и векторных функций.
Скалярное поле ф(г) имеет одну производную — вектор ягаг) ф. Векторное же поле а(г) характеризуется двумя первыми производными: скалярной Йча и векторной го(а, Следовательно, в математической теории поля встречаются три первые производные; ига с( ф, Йч а, го1 а. Легко видеть, что скалярное поле Йча и векторные поля дгад ф и го1а характеризуются пятью вторыми производными: г(йг дгаг( ф, го1 ягаг( ф, ягад Йч а, Йч го1 а, го1 го1 а. Определим каждую из этих вторых производных с помощью оператора р, !.
Величину б!ч йгаб ~р мы получаем в результате двухкратного скалярного применения оператора Ч: б!чйгайЧ =(Ч. Чр)=(Ч, Ч)7=7 д. По правилам возведения в квадрат вектора получаем для Ч'. Гид '+д 'дтк дк дк дк 7'= [( — + ! — +й — ~ = — + — + —. дк ду дгг' дк' дуг дгк ' Оператор 7' широко применяется в математической физике и называется оператором Лапласа или лапласиа- иом. Ои обозначается греческой буквой а (дельта). Итак, йч игам ~р =- А ~р. (4!) 2. Для получения величины го1 игаб <р необходимо применить оператор 7 сначала скалярно, и затем век- торно: гйягаб 4~=[7, 7'71.
Вынося скалярный множитель ~р за скобки и учитывая, что векторное произведение двух одинаковых векторов всегда равно нулю, получим: [ч 7141 = О Следовательно, имеет место тождественное равенство го1 пгай ~р = О, (42) означающее, что потенциальное поле не имеет вихрей. 3. Величина йчго1а представляет собой смешанное произведение трех сомножителей: йчго1а=(7 [7 а)) Производя циклическую перестановку, получаем: (7, [7, а))=([7, 7), а)=О. Итак, йчго1 а всегда равна нулю: йч го1 а= — О. (4З) Физический смысл этого тождества заключается в том, что вихревое поле не имеет источников (векторные линии не имеют ни начала нн конца, они либо замкнуты, либо уходят в бесконечность).
4. Вторая производная го1 го1 а может быть представ- лена как двойное векторное произведение: го1го1 а=[7, [7 а11. По правилам векторного умножения [у, [р, аЦ= 7(у, и) — (р, 7) а. Значит, го( го(а= йгаб йта — Ьа. (44) 5. Из предыдущей формулы получаем выражение для -г второй производной огай Йт ьк йгас( йт а = го( го( а+ Ка, (45) 9 9. Формулы Грина В качестве приложений полученных в предыдущем параграфе результатов выведем часто применяемые в математической физике так называемые формулы Грина, Для любого векторного поля согласно теореме Гаусса — Остроградского имеет место равенство: ~ ) ) й т а Л' = '))~ а„гЬ.
(28) Положим теперь, что а (г) = ф (г) й (г), где ф и Ь вЂ” некоторые скалярная и векторная координат. Согласно соотношению (40) Йу(фд)=(6, йгаб 1р)+ф Йтй. (46) функции Ь(г) по- Сделаем еще предположение, что векторное поле тенциально, т. е. что 6(г)=йгабф(г), (46') дф а =ф —.
дл ' (48) Подставляя это выражение в предыдущее равенство, получаем: о1уа=йт(ф дгабф) =(ягай ф, йгайф).+ф Лф. (47) Поскольку согласно (46) и (46') а=ф дгабф то Следовательно, равенство Остроградского — Гаусса при- нимает вид: ,),),) (7ч 7ф+7 ф) $ ~д Это п е р в а я формула Грина. Применяя равенство (47) к векторной функции а = = ф пгад 7, получаем: В(7Ф 7%+Ф 7%)п =Офрбв.
(50) Вычитая последнее из (49), приходим ко второй фор- муле Грина: Я(р ф ф ) $ ( 7дл 1 да ) $10. Классификации векторных полей Как мы знаем, любое векторное поле а(г) аналитически характеризуется двумя «производнымитл скалярной б(т а и векторной го1 а. Простейшими классами векторных полей являются такие, у которых в каждой точке одна из производных равна нулю. 1, Поле называется безвихреаым, если го1 и= — О.
(52) Г = уз а, г(1 =О. (52') Необходимость этого условия очевидна. Действительно, Несложно убедиться, что бсзвихревое поле является полем и о т е и ц и а л ь н ы м, т. е. при выполнении условия (52) всегда можно подобрать такое скалярное поле 7 (г), для которого наше векторное поле является полем градиента этого скалярного поля: а = дгад ф. (52) Основное свойство яотеициального поля состоит в равенстве нулю циркуляции вектора по произвольной замкнутой кривой: в потенциальном поле а, = —, поэтому дч д! ' фа,с(7= ') Яй=-фйр=б. Нетрудно доказать и достаточность этого условия. Из основного свойства следует, что в потенциальных полях криволинейный интеграл от вектора а =ягаб Ч~ от точки М (х„ у„ г„) до точки М (х„ у„ г,) зависит не от вида кривой интегрирования, а только от значения потенциала ~р в начальной и конечной точках: М 2 1'"'=Га"'='" -"' — "" "" м 1 Примером потенциального векторного поля является поле консервативных сил (гравнтационное поле, электростатическое поле и т.
п.), в котором работа этих сил при перемещении частиц из одной точки в другую А = ') Рй 1 ие зависит от выбора траектории. Характерным для потенциальных полей является наличие эквипотенциальных поверхностей, между которыми векторы поля направлены в сторону возрастания потенциала. Итак, всякое потенциальное поле б е с ц и р к у л яцп оиио. С другой стороны, по теореме Стокса ~а, Й= ) ') го(„а г(5. Поэтому тождественное обращение в нуль циркуляции вектора приводит к выполнению условия безвихревости го( а = — О. Следовательно, условия потенциальности (а = нгаб ~г), безвихревости (го(а= — О) и бесцнркуляциоиности ( ~ а,А=О) векторного поля полностью эквивалентны. Е Возможность представления векторной функции в виде градиента скалярной функции имеет большое значение в математической физике, ибо изучение векторного поля а (г) в этом случае сводится к исследованию намного 67 более простого скалярного полн ~р(г).
При этом скалярная функция. ~р (г) называется скалярным потенг(аалолг данного .вектОрного полл а (г). 2. Векторное' поле а(г), у которого гВча=О, (54) является полем без источников и называется соленоадальным или трубчатыль Согласно формуле (43) дивергенция от ротора произвольного вектора всегда равна нул|о: гВ ч го( Ь = О.
(43) Сопоставляя (43) и (54), мы можем векторное поле а(г) представить как ротор некоторого другого векторного поля Ь(г): а=го(Ь. (55) Иными словами, соленоидальное поле является в и хре вы м. Основным свойством соленоидальиого поля а(г) является равенство нулю потока вектора а через произвольную замкнутую поверхность в пространстве поля: ))~ а„05 = — О. (56) Это непосредственно следует из формулы Гаусса — Остроградского (28). В частности, если в качестве 3 выбрать поверхность некоторой части векторной трубки, то мы придем к установленному егце в 3 6 выводу о постоянстве в вихревом поле напряжения вдоль векторной трубки.
( Напряжением 1 векторной трубки в данном сечении Я называют поток вектора а через это сечение: 1= ) ) а„д5.) Из основного свойства соленоидальных полей вьпекает, что векторные линии у них не имеют ни начала, ни конца, они либо замкнуты, либо уходят в бесконечность. 3.
Поле а(г), у которого и гВча=О, и го(а=О не имеют ни источников, ни вихрей. Такое поле одновре- менио и потенциально и соленоидально (вихревое и безвихревое). Рассмотрим, какими свойствами обладает такое векторное поле. Поскольку го(а=О, то а(г) можно представить в виде градиента скалярного поля: '+ а=огай ф. Так как йта=О, то, взяв дивергенцию от предыдущего равенства, получим, что потенциал ф должен удовлетворять условию йч араб ф = О, или (57) Итак, векторное поле а(г), у которого обе производные тождественно равны нулю (йта=О, го1а=— 0), всегда можно представить в виде градиента скалярной функции ф, удовлетворяющей уравнению Лапласа: д'-*<р д%~р д'-~р дх' ду~ дх'" — + — + —,=О.
4. Важность изучения потенциальных и вихревых полей становится особенно ясной, если принять во внимание теорему Гельмгольца. Всякое однозначное, непрерывное и гладкое векторное поле о(г) можно представить в виде суммы потенциального и вихревого полей: а (г) = йгаб ф (г) + го1д (г). (58) При этом векторный потенциал д всегда можно выбрать так, чтобы йт 6 = О. А поскольку йт го1 д = 0 н 4(т йтаб ф = — хъф, то источники исходного поля йт а выражаются через лапласиан Лф и не зависят от 6.
й 11. Физические векторные и теизорные поля в четырехмерном пространстве-времени В настоящем параграфе мы рассмотрим примеры четырехмерных векторных и тензорных величин, встречающихся в физике. Математический аппарат теории относительности пользуется своеобразным пространством четырех измерений, где три измерения х„х„х, берутся по обычным осям координат Х, У, Л (йростраиственные оси), а четвертым измерением х, служит мнимая координата )с( (где 1= $~ — 1, с — скорость света, ( — время). Такое пространство называют псевдосаклидовым (см. ч. 1П); оно обладает некоторыми своеобразными свойствами, на которые мы укажем ниже.
Каждая точка характеризуется четырьмя координатами, из которых три — х„х„к, являются действительными числами, а четвертая х,— мнимая. Прямолинейный отрезок, соединяющий две точки л4 (х'„х'„х,', х,') и Ф(х,", х"„х,", к,"), представляет собой четырехмерный вектор а= МУ, компоненты которого аь=х~ — х~ (где й — -- 1, 2, 3, 4). Согласно формуле (3) квадрат длины четырехмерного вектора )а~'=а,'+а',+а',+а;" в отличие от евклидова пространства может из-за мнимости а, быть не только положительной, но и отрицательной величиной, а также равняться нулю.
Скалярное произведение двух четырехмерных векторов в псевдоевклидовом пространстве определяется по аналогии с обычным скалярным произведением (в трехмерном пространстве) так: (а, б) = а,б, + а,б, + а,б, + аА. При атом, как легко убедиться, стоящая справа сумма произведений компонентов является инвариантом, не меняющимся при повороте четырехмерной системы координат. Однако в отличие от обычного пространства величина (а, Ь) может быть не только положительной, но и отрицательной, а также равняться нулю, В последнем случае векторы а и 6 называют взаимно перпендикулярными. Два четырехмерных вектора а и 6 можно перемножить те н з о р но, в результате чего получается четырех- 70 мерная днада а,Ь, ~ а,Ь, аЬ а,Ь, а,Ь, агЬз а,Ь, а,Ь, а,Ь, а,Ь, а,Ь, а,Ь, а,Ь, ' а,Ь, а,Ь, О Ол =- ~ а,Ь,— а,Ь, , а,Ь, — а,Ь, а,Ь, — а,Ь, О а,Ь, — а,Ь, а,Ь, — а,Ь, а,Ь, — а,Ь, О имеет три существенно различные компоненты и ему можно сопоставить трехмерный вектор ! й а„а„а, ~п, Ь1=- В случае же четырехмерного пространства антисимметричная часть диады содержит 6 компонентов типа О,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
