Е.И. Несис - Методы математической физики (1120414), страница 5
Текст из файла (страница 5)
! Рм Р»1 В первом случае мы получили вектор а' в виде столбце- вой матрицы, во втором — вектор а" в виде строчной. 6. Скалярным произведением двух тензоров П н Ф называется тензор Ф, матрицы компонентов которого равны произведению матриц тензоров сомножителей, т. е. ггм —— lу' Р»р1й( ~ » 12 Р»»+Р»» Р»»+Рм й2 ~, Ф =П Фй= Рмры~~ ~ 1з1(аз ! Рз1(»+ Рж121 Р»112+ Р»1а11 Кроме перечисленных, существует еще ряд более сложных операций над тензорами, но мы их рассматривать не будем. й 6.
Тензор как аффннор Тот факт, что при умножении тензора П на вектор а получается ие зависящий от системы координат новый вектор а', позволяет рассматривать тензор не только как математическую величину, но и как некий операаюр, превращакхций один вектор в другой. Вообще, оператором, или преобразованием, называют правило, сопоставляющее функции и (х) определенную функцию о(х).
Операторы, которые прямые линии преобразуют в прямые, называют аффинорами. С различными свойстнами операторов мы подробнее познакомимся в ч. П1, а сейчас ограничимся тем, что любой тснзор можно рассматривать как аффннор и, наоборот, каждому аффинору можно сопоставить некоторый тензор. Поэтому можно дать новое определение тензора. Если некоторый оператор П, характеризующийся в каждой системе координат своей четверкой чисел р», рия рии рио преобразует произвольный вектор а в поныв вектор а' по линейным формулам (12~, то П есть аффннор (тензер).
Отсюда получается критерий, с помощью которо. о можно судить, является ли математический объект П, определяемый в каждой системе координат своей матрицей чисел: '1Р, Р22~! ~ Р21 Р22 ) тензором или нет. А именно, пусть некоторый вектор а характеризуется (в данной системе координат) определенуа,~ ной столбцевой матрицей ( и ) . Ясно, что в результате умножения квадратной матрицы ,'(ру2( на матрицу-столбец Й ') мы получим новую столбцевую матрицу: Ь;~ ~'риа, + р„а,') Ь22 ',Р22п2+ Р22п2~ В различных координатных системах элементы Ь, и Ь, будут выглядеть по-разному, но если всегда онн характеризуют одни и тот же вектор Ь, то матрица ~р~2( определяет тензор (или аффинор) П.
Применим теперь этот критерий для получения явного вида тензора как производной векторной функции по векторному аргументу. Пусть дано векторное поле а(г). При бесконечно малом смещении 2(г из некоторой точки поля в соседнюю точку функция а получает приращение Иа. Чтобы связать 2(а и 2(г, выберем какую-нибудь координатную систему с осями Х, и Х,. Каждую точку поля будем определять ие вектором г, а числами х, и х„а векторную функцию а (г) = а (х„х,) заменим полностью эквивалентной системой двух скалярных функций координат а,(х„ к2) и а2(х,, х2). соответстьенно вектор приращения функции г(а будет характеризоваться двумя ска- ЛяриЫМИ днффсрЕНцнаЛаМИ Йа,(Х„ Х,) И да,(Хя Х2). ПО правилам дифференцирования функций нескольких переменных мы вправе записать: (14) Если бы мы выбрали иную систему координат (Х;, Х;), то рассматриваемые векторы имели бы другие компоненты: а (а'„а,'), йа (Йа1, да;), Нг (дх,', дх'.).
Соответственно равенства (14) приняли бы форму: да( да( а(а', = —, с(х, + —, Йх'„ дх, ' дх( дх( ' дх( (14') Ыа= —, г(г (1о) й 7. Главные направления тензора Мы уже неоднократно отмечали, что при скалярном умножении тензора на вектор получается новый вектор, вообще говоря, отличный от первоначального как по модулю, так и по направлению. Оказывается, и мы сейчас убедимся в этом, у тензоров существуют некоторые главные направления на плоскости, такие, что, воздействуя тензором на вектор а, взятый вдоль такого направления, получим новый вектор а', коллинеарный первоначальному. Иными словами, если на- 28 Сопоставляя равенства (14) н (14'), можно убедиться, что в каждой системе координат имеется своя четверка скада, да, да, да, лярных величин —, —, —, — ', которая компонентам дх, ' дх, ' дх, ' дх., ' вектора с(г(г(хо дх,) линейным образом сопоставляет компоненты одного и того же вектора г1а(дам г1а,).
Следовательно, эта совокупность чисел образует аффинор, называемый тгнзорол-производной векторной функции по векторному аргументу и обозначаемый так: (да1 да,,,' (15) Этот тензор полностью характеризует быстроту изменения зависимой переменной а. Равенства (14) могут быть теперь записаны в тензорном виде: Эту систему уравнений можно представить так: (р„— ))а,+р„а,=0, '( р,,а, + (р„— к) а, = О.
/ (18) Полученная система однородных линейных уравнений от- носительно а, и а, имеет ненулевые решения только в том случае, если определитель системы равен нулю: =0, (19) В развернутом виде это уравнение, называемое характе- ристическим, имеет вид: 1Рм Рм ) (19') Из него находим собственные значения в,. В том случае, когда оба корня )., и )ц действительны, мы получим, вообще говоря, два главных направления.
Действительно, подставляя в (18) последовательно значения )ч и ).и, мы для каждого из них получим соответствующие отношения компонентов векторов а' и а". Главные направления определяются углами а, и ац между векторами а' и ац и осью Х,: (~ ) ~1 — он ом (20) (20') правление вектора а совпадает с главным направлением > -> тензора П, то (П, а)=),а. Скалярная величина Х называется главным или собственным значением тензора; она показывает, во сколько раз тензор П изменяет длину векторов, расположенных вдоль главного направления (поэтому число ).
еще называют козффициентом растяжения). Выясним, сколько главных направлений имеет данный тензор и как они ориентированы на плоскости. Запишем векторное равенство (17) в проекциях на осн координат: р„а, +р„а,=бац ~ р„а,+р„а, ).а,. 1 Легко понять, что в случае трехмерного тензора мы с помощью аналогичных рассуждений получили бы кубическое характеристическое уравнение, которое имеет цо крайней мере одно действительное значение (остальные два корня могут быть мнимыми). Поэтому у пространственного тензора всегда существует либо одно, либо три гла иных направления. В дальнейшем мы будем рассматривать наиболее важный для практики класс симметричных тензоров, у которых, как можно показать, главные значения л являются действительными числами. Можно также доказать, что главные направления, или оси симметричного тензора в общем случае, когда корни различные (а, ~ ап), взаимно перпендикулярны.
И только в случае кратных корней (Х, =- йц) все направления на плоскости явтяются главными и в качестве осей тензора можно выбрать любые два взаимно перпендикулярные направления. (Почему так ведут себя тензоры с одинаковыми главными значениями, станет ясно из последующего.) 3 а я а ч а. В системе ХОт' тензор Ю характеризуется матрнцей: Найтн его главные навравлення. Р е ш е н не. Составляем характеристическое уравнение: или ).з — 42. + 3 = О. Отсюда г.
= 2 -~ 1. Следовательно, главные значения тензора равны й,=3, ац — — 1. Подставляя в (20) значение Х, = 3, получаем первое главное направление: 3 — 2 1п сс, = — = — 1, а, = 135'. — ! Аналогично для второго главного направления: 1 — 2 1Кец- — — — —— + 1, ссц — — 45', Таким образом, главные направления пересекаются под прямым углом (рис. 6). 30 Поскольку симметричный тензор всегда имеет два взаимно перпендикулярных направления, естественно рас- смотреть представление тензора в системе координат, оси которой совпадают с главными осями этого тензора, Обозначим компоненты тензора Я в такой координат- ной системе через зи. Умножив скалярио 3 на орты 1,(1, О) и 1,(0, 1) главных осей, получим: т 'Ф (~» (д=ЛА> (Я, ю',)=Лп»,.
Спроектировав каждое из этих равенств на обе оси ко- ординат и принимая во внимание формулы (18), мы легко получим, что з,',=Ли з'„=Ли, з'„=з,', =О. Поэтому тензор, приведенный к главным осям, имеет диагональный вид: ~=~!о л„| а его составляющие направлены вдоль координатных осей и соответственно равны: г,=Л,1„з,=Ли~',. Мы знаем, что„хотя компоненты тейзора принимают в разных системах координат различные значения, су- ществуют некоторые инвариантные соотношения между компонентами, верные в любой системе, Чтобы установить вид этих соотношений, учтем, что у каждого тензора имеются свои главные направления и соответствующие им главные значения Л, и Лп, которые имеют непосредственный геометрический или физический смысл, не зависящий от выбора осей координат.
С другой стороны, главные значения определяются из характеристического уравнения (19'), коэффициентами которого являются некоторые функции компонентов тензора. Для того чтобы значения корней Е, и Хп этого уравнения не зависели от выбора системы координат, коэффициенты квадратного уравнения должны быть неизменными. Отсюда мы получаем два инварианта, связанные с главными значениями по теореме Виетта: 1пчт =Рт,+Р„=)1+ Хп, 1пуз = ~ Р" Р" ~ = — Х,).п. Рт Ры Сумма диагональных элементов теизора и определитель матрицы его компонентов ие зависят от системы координат и являются основными инвариантами двумерного теизора. 9 8.
Тензорный эллипс Тензору, вообще говоря, нельзя сопоставить определенный геометрический образ (и этим, в частности, объясняется трудность усвоения тензорного исчисления). Однако в случае симметричных тензоров, с которыми обычно имеют дело в физике, такое наглядное представление возможно. А именно, каждому неособенному симметричному тензору' можно сопоставить на плоско сти центральную коническую кривую — эллипс (чаще всего) или гиперболу.
Рассмотрим симметричный тензор Я вЂ” ~~ 11 згз (~ у которого а,з = з„. Попытаемся определить геометрическое место точек, описываемое векторным уравнением; (г, Яг) =1, (21) где г = хг'+ у) — текущий радиус-вектор точек исследуемой линии. Если бы тензор 5 был равен единичному тензору т', то уравнение (21) приняло бы, очевидно, форму (г, г) =1 ' Незсобенным называется тензор, онределнтель матрицы которого не равен нулю.
32 или (в координатной записи) х'+у'=1, т. е. выражало бы собой окружность. В общем же случае, когда 8~7, уравнение (21) описывает более сложную кривую. Мы знаем, что (ог) есть некоторый вектор г', определяемый согласно (12) следующим образом: г' =- (Я, г) = 1(амх+ з„у)+ 1 (з„х+ з„д). (Мы временно возвратились к обозначениям координат через х, у вместо х„х„чтобы удобнее было сопоставить наши соотношения с обычными формулами аналитической геометрии.) Умножая теперь скалярно г на г', получаем уравнение второй степени: амх'+ 2з„ху+ зму' = 1. (22) Поскольку его дискриминант совпадает с определителем тензора 3, который по предположению не равен нулю, то уравнение (22) описывает центральную кривую второго порядка — эллипс или гиперболу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
