Е.И. Несис - Методы математической физики (1120414), страница 4
Текст из файла (страница 4)
'+Рк»! Р«=Р». ~ Р»»1 Отсюда ясно, что теизор П можно также определить четырьмя скалярными величинами, называемыми к о мпоне игами тен вор а, которые записываются в виде таблицы (матрицы): П В тензорном исчислении стремятся к максимальному сокращению математической записи, для чего переименовывают координаты х, у в х„х„а орты «, ( в ~'„«„тогда для каждого вектора можно написатьл а = ~~'.~ «»а . »=1 Аналогично для теизора получим: Й=Х";, Р,. Соответственно в матричной форме: ~~ Р««Р»« ~~ 19 Если обозначить соз(х, х»)=иг», то формулы преобразования компонентов вектора запишутся так: а~ = ~ч'„«»»,а,.
Аналогично запишется формула для преобразования составляющих тензора р» =~~'.,««»,ро Легко показать, что для компонентов тензора формула, связывающая «старые> компоненты с «новыми», будет выгляде~ь так: р»:=ХЕ~„.„р,. (11) 5 Отсюда видно, что «новые> компоненты тензора являются линейными комбинациями «старых». Таким образом, можно дать другое определение понятия «тензорж Тензором называется величина, характеризуемая в системе координат ХОГ совокупностью четырех чисел р„„ записываемых в виде матрицы: ~рн р»» п=~ Р»» Рм и преобразующихся при переходе к другой системе координат Х'ОУ' по формулам (11). Так как мы рассматриваем только прямоугольные декартовы системы координат, то тензоры, о которых мы говорим, называются ортогональными пффиннами тензора>«и второго ранга.
Обычные векторы представляют собой тензоры первого ранга. А скалярные величины могут быть названы тензорами нулевого ранга. Еще раз подчеркнем, что каждый тензор П имеет непосредственный, инвариантный смысл, хотя в различных системах координат его составляющие р„и компоненты р„, выглядят по-разному. (й(ожно сказать, что составляющие тензора р, и р, являются «векторными проекциями» тензора П на оси координат х, и хм а компоненты р„, р„, р„, р,» †соответствующими «скалярными проекциями векторных проекций» тензора.) Поэтому для тензорного исчисления значение имеют только те свойства компонентов тензора, которые справедливы в любой системе координат, т. е, являются инвариантными.
20 Исходя из этого рассмотрим некоторые простейшие типы тензоров. 1. Нулевым тензором О называется тензор, все компоненты которого равны нулю: (о о( 1 2. Единичным тензором 1 называется тензор, составляющими которого являются орты ~ и )', а матрица компонентов имеет вид: Легко проверить с помощью формулы (!1), что у тензоров 0 и 1 их компоненты сохраняют свои значения в любой системе координат. 3. Тензор Я называется симметричным, если его компоненты удовлетворяют условию з,„= з„~, т. е.
его матрица имеет вид: ~ь с1 4. Тензор А называется антисимметричным, если а „= — ал, т. е. его компоненты образуют следующую матрицу: о ь~~ А= (. — ь о(. Ясно, что свойства симметричности и антисимметрячности — инвариантны. 5. Частным видом теизоров являются диады Р, составляющие которых (в лкбой системе координат!) суть коллииеарные векторы. Очевидно, что у диады строки и столбцы матрицы компонентов пропорциональны друг другу, а ее определитель равен нулю. В произвольной системе координат матрица диады имее~ вид: Р= — ' Заметим, что два вектора т и Ь можно умножать не только скалярно (а, Ь) и векторно )а, Ь), но и ген вор но (а,,'), 21 Тензорным произведением векторов а(а„ае) и 6(6„6,) называется тензор, компоненты которого образуют следующую матрицу: 'а,Ь, а,Ь,~ 3 з~ Рекомендуем читателю убедиться, что компоненты а,Ьь действительно преобразуются по тензорному закону (11). Поскольку строки и столбцы матрицы отличаются постоянным множителем, то полученный тензор с) является диадой, составляющие которой равны О, =-а,6 и г)з =а,Ь, т.
е. коллинеарны второму сомножителю Ь. Отсюда вытекает, что при повороте осей координат направление в пространстве составляющих диады не меняется, а их длины меняются совместно с проекциями первого сомножителя а, Кроме того, ясно, что тензорное произведение векторов иекоммутативно, т.
е, (а, Ь) чь (Ь, а). Только в том частном случае, когда а и 6 являются коллинеарными векторами, их тензорное произведение образует симметричную диаду и не зависит от порядка сомножителей. Упражнение 1. В некоторой системе координат теизор имеет вин: ()'3 1 2т'3,' Вычислить его компоненты и графически изобразить его составлнющие в новой системе координат, повернутой относительно старой на угол 60*. ~2 тгЗ Ответ: ~ 5/2 т' З~ 2.
В системе координат Х01г матечатическаи величина заракте- ризуетси матринен ! — 1 21 22 В другой системе Х'ОУ', повернутой на 45' относительно нещтрнховаиной, эта же величина определяется матрнцеги )~5/2 — !/2 ',13/2 — 7/2 ) Выяснить, является ли данная величина тензором. 3. В каком случае матрица тензорнога произведения двух векторов содержит только один ненулевой элементе 4. В какой системе координат одна из составляющих диады 0= (о, Ы обращается в пульт Чему в этом случае равна длина второй составляющей? Являетсв лн ннвариантом суммарная длина составляющих диады 1/зг+ггз(з $ 5. Тензорная алгебра Над тензорами как своеобразными математическими величинами, характеризующими определенные физические свойства реальных тел, можно производить ряд алгебраических операций: складывать, умножать на числа, умножать тензор на тензор и др.
Поэтому множество тензоров образует алгебру, являющуюся обобщением векторной алгебры. Поскольку тензор в любой системе координат характеризуется скалярными компонентами р, то естественно любое действие над тензорами определять как операцию иад компонентами; при этом результат операции должен быть инвариантен относительно преобразования координат. Перейдем к ознакомлению с простейшими алгебраическими операциями над тензорами. 1.
Суммой двух тензоров П' и П" называется тензор П = П'+ П", компоненты которого равны суммам компонентов слагае- мых: Р/э Р уь+ Рга 2, Произведением тензора П на число Х называется тензорЮс=ХП, компоненты которого / равны произведению соответствующих компонентов Р/ на Х: //л = йР/э' Обобщением операпий 1 и 2 являются линейные комбинации нескольких тензоров. Пусть даны и тензоров 23 П', П", ..., Пни и а чисел Х,, Х„..., Х„; линейная ком- бинация ),,П +~,П.+...
+).„П~.> есть некоторый тензор Яс, компоненты которого 1уь суть линейные комбинации соответствующих компонентов Р';~>: Ь ~ьРм+~'арм+ . +) Р!э 3. Перестановкой индексов (транспонированием) называется операция, превращающая тензор П с компонентами Р ь в транспонированный тензор П, компоненты которого Р „= р, . Так, если -. Рм Ры Рм Рае то П=~ ,Рм Рм, В частности, в случае симметричного и антисимметричного тензоров 3=-3 и А= — А.
Следствием из рассмотренных трех операций является утверждение, что любой теизор П всегда можно представить (и притом единственным образом) в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров: П =5+А. Действительно, переставляя индексы у каждого из теизоров этого равенства, получим: П=Я вЂ” А. Складывая и вычитая оба эти тензорных равенства, находим, что 5= — (П+П) и А= — (11 — П). Таким образом, 11 =- — (П+ П) + — (и — П). -> 4. Скалярным произведением теизора П=ю',р,+ (,р, иа вектор а=(,а,+ ~.,а, сп р а в а называется новый век. -> -~ -> тор а' = — (П, а) == (, (р, а)+ (., (р, а). Иными словами, компоненты нового вектора а' = (,а', +1,а,' равны: а', = р„а, + р,„а„ а', =- р„а, + р„а„ (12) или (в сокращенной записи): а'; = ~чр~ р, „ам (12') +-~ "+ 5. Скалярным произведением тензора Й = 1,р, + (,р, иа вектор а=(,а,+(,а, слева называется вектор а" = > + =(а, П) =(а, 1,) р,+(а, (,) р,.
Компоненты вектора а" равны а",=а,р„+а,р„, ( а".,=а,р„+а,рм, ) (13) или (в сжатой форме): а"; = ~яр ~а„р„р (13') Легко видеть, что скалярное произведение тензора П на вектор а слева равно произведению транспонированного тензора П на тот же вектор справа, и наоборот: (П, а) = (а, П). (о, а) = (а, Я). Произведение же антисимметричного тензора А на вектор антикоммутативно: (А, а)= — (а, А). Заметим, что для вычисления компонентов векторов -> -) а' =(П, а) и а"=(а, П) удобно пользоваться известными правилами умножения матриц, рассматривая любой вектор Отсюда далее вытекает, что в случае симметричного тензора В скалярное произведение его на произвольный вектор не зависит от порядка сомножителей (это произведение коммутати вне): как некоторую столбцевую или строчную матрицу /а,х а =-~ ') или а= — (а» а,); ~а,) а' =(П, а) =, ~~~~ Р» Р 2) ~~1~ ~Р»а~+ Р»~2~ 1рм Ры~~ (ха2 (хРЙФ1+Рыа2~ ~'Р» Р» ~! а"=(а, П)=(а» а,) 1 .',=-(а,р»+а,р„» ...).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
