Е.И. Несис - Методы математической физики (1120414), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ясно, что уравнение эквипотенциальной линии имеет вид р(х, у)=-ср, —— =сопз(. гченяя значение постоянной ~ро получим семей- Ъ \ ~ьс )в лг Рис. За Ф l ~аг ство линий уровня. Следует иметь в виду, что при геометрической интерпретации поля все эти линии лежат не на поверхности г=р(х, д), а на плоскости ХОУ, каждая из них представляет собой множество точек, которым соответствуют равные высоты г (рис. 3).
У температурного поля линии уровня представляют собой извтер.иы; у электростатического поля — это линии равного потенциала. Если на плоскости изобразить эквипотенциальные линии, соответствующие значениям скалярной функции ф=— =~р„~р„<р„..., для которых р„,,— ~р„=сопи( (рис. 3), то по виду семейства этих линий можно будет качественно еудить о быстроте изменения поля в любой точке полюбому паправлению: где гуще расположены линии уровня, там скалярная величина ~р изменяется быстрее. Однако для количественной характеристики поля этого недостаточно.
Пусть нас интересует скорость изменения скалярной величины ~р в окрестности точки М, в которой <р=~р, (рис. За). Проведем через М эквипотенциальную линию МУ. Кроме того, построим близкую к Мл) линию уровня М'К', соответствующую несколько большему значению потенциала ~р, = ср, + Ь~р. Пусть вектор М М' = ~ ММ' ') и направлен вдоль нормали к ММ в сторону возрастания <р, а вектор МФ'= ~ММ'~1 — вдоль произвольного направления (где а и 7 — единичные векторы, направленные соответственно вдоль ММ' и МУ').
Из рисунков 3 и За ясно, что производные от «р по направлениям и и 1 соответственно равны: где пределы берутся при условии, что М'Ж' неограниченно приближается к МУ, т. е. (ММ') — О и )М)У') — О. Так как при приближении М'Ф' к М*т* треугольник ММ'И' можно считать прямоугольным, то ~ ММ' ~= = ~ММ' ~сов ((, и), и мы приходим к соотношению д~ д д~р д<р (2) Отсюда следует, что в любой точке поля производная по нормали к линии уровня больше производной по. любому другому направлению, Зная производную —, можно по д~р дп ' формуле (2) вычислить производную по произвольному направлению (, проходящему через рассматриваемую точку, Поскольку производная функции ~р = р(х, у) по нормали к эквипогенциальной линии играет особую роль для дифференциальной характеристики скалярного поля, то оказалось полезным ввести понятие градиента.
Градиентом скалярного поля ~р (х, у) в данной точке М называется вектор, направленный по нормали и к проходящей через точку М линии уровня (в сторону возра- ставня ср) и численно равный производной от ср по этому направлению: вегас) ср = — у ср = ~ср и. (з) Из (2) и (3) следует, что производная по любому направлению равна проекции градиента на это направление: д',=К б~~' дср (4) В частности, производные вдоль осей координат равны: — = нгас(, ср, дср (5) — =йгаб ср. Читая равенства (5) справа налево, можно градиент определить по-иному. Градиентом скалярной чсункцни ср(х, у) называется вектор, у которого проекции на оси координат равны соответственно частным производным от ср по х и у: йтас) ср = — асср = — с + — ) . дср ..
дср .' ду (б) Отсюда вытекает следукицее выражение для абсолютного значения градиента, т. е. длины вектора 7 р: 1йгас( р)= — Фр(= 3Г ~,') +® . (7) Наконец, исходя из равенства (4) можно дать еще одно определение градиента, Градиент скалярного поля ср(х, у) в произвольной точке †э вектор, направленный в сторону быстрейшего возрастания срункиии в окрестности точки, равный производной от срункции ср по этому нанравжнню.
Из всего сказанного следует, что построенный в некоторой точке скалярного поля вектор рср полностью характеризует аналитические свойства функции ср(х, у) в окрестностп этой точки. Таким образом, для аналитической характеристики всего скалярного поля необходимо знать векторы асср во всех точках этого поля, иными словами, нужно знать векторное поле градиента.
Если каждой точке г(х, у) некоторой части плоскости сопоставляется определенная векторная величина а, то -> -> говорят, что задано векторное поле а(г) или а(х, у). 10 Векторные поля графически изображают направленными отрезками, нанесенными в точках, отстоящих друг от друга на равных расстояниях. Заметим, что поскольку вектор а на плоскости определяется двумя скалярными проекциями ах и а„то задание векторного поля а(х, у) эквивалентно заданию двух скалярных полей ах(х, у) и ад(х, у).
В результате мы приходим к заключению, что дифференциальной характеристикой («производнойв) скалярного поля тр (х, у), заданного в некоторой области плоскости, является векторное поле угад ф (х, у), определенное в той же области. Рассмотрим несколько примеров.
1. задано сиалпрное поле ч=(хт-1-ут) ты=!о. Определить веиторное поле градиента. Воспользуемся для этой цели формулой (6). Так как дч х дч у и — =— дх ( т 1, т)т!т дУ (хт ут)з!т ' то йгад ф == —, тз где г=--х1+у1. Выясним смысл полученного решения. Легко видеть, что эквппотенциальные линии рассматриваемого скалярного поля удовлетворяют уравнению типа ха+у'- — -сопз1„ т. е. представляют собой окружности с центром в начале координат. Поскольку по условию ф зависит только от расстояния г, то в пространстве трех измерений эта функция геометрически изобразится поверхностью вращения.
Сечением этой поверхности плоскостью у = О будет линия ту =)ух, представляющая собой равнобочную гиперболу, асимптотами которой являются оси х и тр. Следовательно, гюверхность ф (х, у) есть гиперболоид вращения (рис. 4,а). Ясно, что в любой точке плоскбсти ХО)' направление быстрейшего возрастания высоты поверхности и совпадает с направлением к центру. При этом, как яшю из вида этой поверхности, крутизна подъема ~р при приближении к центру возрастает все быстрее, Это соответствует тому, что длина вектора 7~у вдоль направления к началу координат возрастает обратно пропоз- ционально квадрату радиус-вектора точки: ! 7ф1=-,, 1 Графическое изображение векторного поля нгаг) ф приведено на рис.
4,б. Теперь рекомендуем читателю самостоятельно решить и проанализировать примеры 2 и 3. 2. Определить и графически изобразить вектолрные поли градиентов скалярных Функций: а) ~р=хт+рт, б) гр=(с, г) (с — постоинный вектор). Рис. 5 12 Ответ: а) дгаг) ф=2г, б) дтас) гр=с. 3.
Определить вид скалярного поля ~р(х, и) и геометрически изо,бразить его, если поле его градиента определяется формулой он = Г = а — (рис. 5, а). Г Ответ: ф=а~' ха+у'=аг; поверхность ф(х, у) представляет собой конус с вершиной в начале координат (рис. б,б). й 2. Аналитическое определение понятия вектора Перейдем к более глубокому знакомству с векторными величинами и векторными полями. Как уже отмечалось, исторически векторное исчисление возникло в связи с потребностью физики количественно описывать быстроту движения, изменения быстроты движения, взаимодействия тел, Соответствующие величины имеют не только модуль, но и направление.
Если бы даже все физические величины обладали скалярным характером, то н в этом случае математическая физика не могла бы обойтись без векторов. Ведь быстрота изменения скалярной функции двух переменных д(х, у) не может быть охарактсрнаована скалярной функцией; для этого нужна переменная векторная величива уф(х, р), нграющая роль производной скалярного поля. Правда, на первый взгляд представляется, что для указанной дгр дгр цели можно воспользоваться скалярными величинами — и дх др ' которые, как может показаться, лишь дая удобства объединены в вектор тф. Однако более внимательное рассмотрение показывает, что это не дф д~р так.
Дело в том, что частныс производные — и — , строго говоря, дх др ' не являются скалярными (иногда их называют псеедосхаляралп). Ведь значения этих частных производных зависят не только от вида функции ф(х, р), но н от выбора осей иоординат. Выбрав по-иному направления этих осей, мы получим для указанных производных другие значения, Нетрудно убедиться, что причиной таких свойств скалярных производных — и — является то, что они являются п роек ц и а м и дф дф дх ду вектора рр на оси координат. Непосредственный аналитический смысл, зависящий тольио от вида скалярного поля ~р(х, р), имеет в любой точке поля вектор ()~р, в то время кап его проекции — и — зависят еще от выбора осей дф счр дх ду И и)'.
!3 Следовательно, дифференцирование скалярных нолей с неизбежностью приводит иас к необходимости выйти из класса скалярных функций в более широкий класс фувкцнй — векторных функций. Векторы, т. е. направленные отрезки, представляют собой определенные геометрические объекты.
Как известно из аналитической геометрии, векторы можно складывать (по правилу параллелограхыа), умножать на числа, умножать друг на друга скалярно и векторно, производить над ними также другие геометрические операции. Последние значительно упрощаются и сводятся к а л г е б р а иче с к и м о и е р а ц и я м, если воспользоваться методом координат н каждый вектор а характеризовать его скалярными проекциями а„и а„на осн Х н У. Правда, эти проекции, как мы уже отмечали, не являются истинными скалярами, нбо, выбрав новые осн координат Х' и )", мы для характеристики того же вектора а получим новые проекции а„' н а„', связанные со старыми а„и аа известными нз аналитйческой геометрии формулами: а„'=а,соз(х', х)+а соз(х', у), ~ а,'=-а„соз(у', х)+а, соз(у', у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
