Е.И. Несис - Методы математической физики (1120414), страница 11
Текст из файла (страница 11)
= а,.܄— азЬь в то время как вектор в четырехмерном пространстве имеет только 4 компонента. Следовательно, антисимметричному тензору Ол никакой вектор сопоставить нельзя, Мы приходим к выводу, что роль векторного произведения двух четырехмерных векторов а и Ь играет антисимметричный четырехмерный тензор О а,Ь,— а,Ь, а,Ь,— а,Ь, а,Ь,— а,Ь, Легко понять, что из шести его компонентов три являются действительными, а остальные три (содержащие индекс ч4>) — мнимыми, Подобным же образом обобщаются на случай четырехмерного пространства остальные операции векторной и тензорной алгебры. 71 Однако векторное произведение четырехмер-' ных векторов существенно отличается от векторного произведения в трехмерном пространстве. Дело в том, что векторное произведение двух векторов любой размерности, по-существу, является антисимметричным тензором, равным удвоенной антисимметричной части диады.
В случае трехмерного пространства этот тензор Рассмотрим подробнее четырехмерные дифференциальные операцин векторного анализа. Проще всего эти операции обобщаются с помощью четырехмерного векторного оператора набла: д . д .' д . д — +1 — +1 — +1 хдх, ~ дхй в дхз ч дх4' (69) Градиентом скалярной функции в четырехмерном пространстве называется четырехмерный вектор: 4 йгаб р— = ур=-Л. ~'хд —. " дхх ' 1=1 Четырехмерной дивергенцией векторной функции а(г) иа.
зовем инвариантную величину: 4 дол 61~~=(р, )=~ дхх ' В частности, если вектор а является четырехмерным градиентом скалярной функции Ч~, то, подставляя (60) в (61), получаем: для 61ча=б!чйгаб ср=~~', —,. (62) дх~~ Эту величину обозначают символом Д~~ (где Д вЂ” четирехмерный лаплаоиан, или даламбериан).
С помощью оператора 7 легко получается выражение и для дифференциальной операции, называемой четырехмерным ротором: го1 а = 2 ( р а) л = 0 0 О Величина го1а представляет собой удвоенную антисимметричную часть тензорного произведения векторов р и а (диады). Наконец„производная четырехмерной векторной функции а по радиус-вектору г представляет собой тензор: — а) =) — ' ~~. (64) Ф(г) = Ф (А„, А„, А„1р). 2.
Как известно йз теории электричества, потенциалы ч~ и А являются косвенными характеристиками электрического и магнитного полей. Непосредственно эти поля определяются векторами напряженностей Е и Й. В четырехмерном пространстве напряженность электромагнитного поля представляет собой антисимметричный тензср: — Н„ Н„ О 1Š— (Е„ — (Е У вЂ” (Е, О Н О вЂ” Н с'Е„ (65) действительные компоненты которого характеризуют. магнитное поле Н, а мнимые — электрическое поле Е.
Между напряженностью Р и потенциалом Ф электромагнитного поля существует простая четырехмерная дифференциальная связь Р=го1Ф, После такого краткого ознакомления с четырехмерным пространством-временем приведем несколько примеров конкретных физических векторных и тензорных полей. 1. С точки зрения теории относительности электрическое и магнитное поля являются различными аспектами единого электромагнитного поля, Последнее можно характеризовать четырехмерным вектором Ф, называемым электромагнитным потенциалом, компонентами которого являются величина иг (где ~à — скалярный 'электрический потенциал, а 1=~/ — 1) и проекции А„, А, А, на координатные оси ДФ векторного магнитного потенциала А.
Потенциал электромагнитного поля образует в четырехмерном пространстве-врелгени векторное поле: являющаяся обобщением известного из электродинамики соотношения 1т =го1 А. Таким образом, математически электромагнитное поле в четырехмерном пространстве— ° времени образует тензорное поле Р(г), 3. В классической механике количество движения материи может быть охарактеризовано двумя различными величинами — вектором импульса Р (с компонентами то„, тс' глс„, то,) или скаляром Е= —, выражающим собой ки- нетическую энергию тела. Согласно теории относительности обе эти величины обьединяются в единый четырехмерный вектор импульса б ! с компонентами (то„, тс„ив„— Е) .
Точно так же чес тырехмерным вектором является в механике теории отно- сительности сила К. Поэтому и основной закон динамики †втор закон Ньютона †записывает в четырехмерной форме так: где т †т называемое собственное время, измеряемое по часам движущегося тела. Глава 111 ТВОРИЯ ПОЛЯ В КРИВОЛИНВЛНЫХ СИСТВМАХ КООРДИНАТ В предыдущих главах мы пользовались только прямоугольными декартовыми координатами.
Однако при решении многих задач математической физики удобно применять криволинейные координаты. $1. Криволинейные координаты Если декартовы координаты х, у, г являются вз а и ми о од н о з н а ч н ы м и функциями других трех переменных Ч„Ч,, Ч., х=х(Ч~ Чг Чз) у — у(Чм Чм Чз).
а=з(Чп Чз Чз) (1) то переменные величины аи а„о, называются криволи- ()з нейными координатами. Если, сохраняя одну из величин а; постоянной, остальным двум координатам будем сообщать всевозможные значения, то получим поверхность, называемую координатной поверхностью. Ясно, что для каждой системы координат существуют три семейства координатных по- Ряс.
22 верхностей: д, =- сопя(, о, = г = сопз1, оь=.сопз1. Линии пересечения двух координатных поверхностей называются координатными линиями; их именуют той ле координатой, которая вдоль иих меняется. За положительное направление координатной линии принято счи- е~ тать то, вдоль которого со- й ответствующая переменная Х увеличивается. Очевидно, что через каждую точку пространства про- У ходят по три взаимно пере- ра . гз секающиеся координатные поверхности и по три координатные линии (рис. 22). Рассмотрим наиболее часто встречающиеся в математической физике криволинейные системы координат, Цилиндрическая система координат. Криволинейные координаты р, р, г (рис. 23) связаны с декартовымн координатами соотношениями; х = р соз ср, у = р з( п ~р, г = г.
(2) Цилиндрические координаты изменяются в пределах: 0 ( р ( оо, 0 ( <р ~» 2п, — со < г ( + со, Координатными поверхностями р =сопз1 являются коаксиальные цилиндры с осью Л. Семейство поверхностей ~р = сопз1 — это полуплоскости, ограниченные осью г. 75 Семейство поверхностей 2 = сопБТ вЂ” это плОскОсти, перпендикулярные оси Е.
Координатные линии р представляют собой полуьт прямые, начинающиеся на оси Е; семейство линий л ~р — это оиружности в плоскостях г = сопз( с центром на оси л; линии г — это прямые, параллельные 02. Частным случаем цилиндрической системы является (двумерная) полярная система координат (р, ч). Сферическая система. Криволинейные координаты г, О, ч (рис. 24) связаны с декартовыми формулами; х=гз(пйсо555, у=гз|п051пч~, г=гсо50 (3) иизменяются в пределах О«=г(со, 0(0<я, О<ср5.2л, Координатными поверхностями г = сонат являются концентрические сферы; поверхностями 0 = сонэ( — конусы с осью Я; поверхностями Ч~ = сопз( — полуплоскости, ограниченные осью 2.
Координатные линии г — это радиусы, лпнии 9— меридианы, линии Ч~ †паралле. Если криволинейная система координат обладает тем свойством, что в любой точке пространства проходящие через нее три координатные линии взаимно перпендикулярны, то система координат называется ортогональной, Легко убедиться, что и цилиндрическая и сферическая системы принадлежат к классу ортогональных.
Ясно, что различные векторные и тензорные соотношения имеют в ортогональных системах координат более простой вид, чем в произвольных (неортогональных) системах криволинейных координат. Поэтому полезно сформулировать условия, которым должны удовлетворять функции х(Ч1 42 Чз) У(51 Ча 45) г(ч~ 42~ д,), чтобы координатная система была ортогональной. Как известно из аналитической геометрии,„условие перпендикулярности двух прямых, образу1ощих с осями координат углы а, р, у и и', р', у', сводится к равенству: соБЯ сов м +совр совр +сову со52 =О. 76 Поскольку косинусы углов между касательной к координатной линии д, с прямоугольными осями координат х, у, г пропорциональны соответствующим частным продх ду дх изводным —, —, —, то мы получим следующие услоду; дсн ду; вня взаимной перпендикулярности координатных кривых и з дх дх, ду ду дх дх О (4) ду~ дух т ду ду! + де~ ду,— Чтобы криволинейная система координат дм д„д, была ортогональной, ее координатные линии должны представлять собой три взаимно перпендикулярных семейства кривых и, следовательно, функции х(до д., Уз)* У(ч1 У ° Чв) и з(до У„д,) должны УдовлетвоРЯть тРем УсловиЯм типа (4).
В математической физике чаще всего пользуются ортогональными системами координат. Поэтому в дальнейшем, говоря о криволинейных координатах, будем всегда считать их ортогональными. 5 2. Коэффициенты Лямэ Выразим прежде всего элементдуги йз. В прямоугольных декартовых координатах, как известно, [Й' = г(х'+ дУ'+ дз'. (5) Дифференцируя равенство (1), получим: дх дх дх д ~Ух+ д ~42 + д ~Ух д Ух д Ух д Ф (1) да= — Й~ + — Й~ + — Й~ .
ду, 1 дЧ, з дд, Подставляя (1') в (5) и принимая во внимание условие ортогональности (4), найдем, что бз' =- Н, 'г(д,*+ Н', г(у,'+ Н, 'дп'„ (Я) где Н„Н„Н,— так называемые коэффициенты Лямэ, определяемйе следующей формулой: " = ~'( — ")'+( — '")'+ Ж' (Обратим внимание на то, что равенство (6) не содержит произведений 0д,ддт. Ясно, что это является следствием оРтогональности кооРдинат дм У„ 9, ) Коэффициенты Лямэ Н; устанавливают связь между прямоугольными декартовыми и криволинейными ортогональными координатами. Положение криволинейной системы относительно декартовой не влияет на вид этих коэффициентов. Как ясно из самого вывода, коэффициенты Лямэ имеют инвариантный характер и одно- данную криволинейную систему ко- Ряс.
2о значно определяют ординат. Из формулы (6) ной линии равен следует, что элемент дуги координат- т(з = Нтт(Чт. (8) Отсюда для коэффициента Лямэ получаем выражение ли Н,= — ', (9) лес ' показывающее, что Нг характеризует быстроту изменения длины дуги координатной линии при варьировании этой координаты. Легко видеть, что площадь элементарного криволинейного квадрата и объем элементарного кубика, стороны которых являются отрезками координатных линий (рис. 25), определяются с точностью до бесконечно малых второго порядка равенствами: с(а = НтНл(дфоп, (1О) тУ)У=- Н,Н,Н,т)ц,т)ц,,усу,. (11) Легно показать, что коэффициенты Лямэ для прямоугольной декартовой системы координат равны Н„=Н,= =Н,=-1„для цилиндрической (р, Р, г) — Н„-1, Н,=р, Н, =1, (12) для сферической (т 8 Ч) Нт= 1 УУо — Г Нт т ып 8 (18) (14) Примеры и покатать, что плоская аллилтмнеокая система координат 4Ь, Ч), определяемая соотношениями х=сн$ сок|1, У=лЬЬ.а~ать ортотоиальиа, и вычислить коаффициеиты Лииэ дли этой системы коораииат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
