Е.И. Несис - Методы математической физики (1120414), страница 13
Текст из файла (страница 13)
~ — (й гйп О) — — ~ гыпя (дя е д~р~ ' 1 да, д (гае) 1 го1н й = — ~ —. (39) г (г1п 0 дф дг 1 Гд да„1 го1 й= —, ~ — (гйо) — — ") . г (дг дО) Часть вторая ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ Глава 1. ВЫВОД ОСНОВНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. ОБЩИЙ ИНТЕГРАЛ ЭТИХ УРАВНЕНИЙ или 1 + ( ) Так как мы рассматриваем малые колебания, ди для которых — (( 1, то под корнем можно пренебречь квадратом про- х х сгх Рис.
30 $1. Поперечные колебания струны. Волновое уравнение Струна †э тонкая, гибкая натянутая нить, закрепленная в двух точках. Если струну отклонить от положения равновесия (которое на рисунке ЗО, и совпадает с осью Х), то она будет совершать поперечные колебания. Будем обозначать смещение точек струны через и. Ясно, что и является функцией координаты х и времени 1: и =и(х, ().
(1) Задача состоит в том, чтобы найти положение струны в любой момент времени, т. е. найти явный вид функции (1). Мы сейчас покажем, что при малых отклонениях функция и(х, 1) удовлетворяет определенному линейному дифференциальному уравиеншо в частных производных. Выделим элемент струны бз, который в начальный момент имел длину г(х (рис, ЗО, б). По формуле квадрата длины элемента дуги имеем: й' = бхи+ с(их изводной и в первом приближении считать, что йзж ах. Поскольку в этом приближении струна не является растяжимой, мы вправе считать натяжение струны Т неизменным по величине.
Применим теперь к рассматриваемому элементу струны второй закон Ньютона: пронзведение массы плт = р.дх вид (р †линейн плотность) на ускорение †,, равно сумме сил, приложенных к элементу. Полагая струну очень тонкой, можно пренебречь весом любого ее элемента и учитывать только силы натяжения Т, и Т„действующие с обеих сторон. При этом нужно иметь в виду, что хотя натяжение вдоль струны по модулю постоянно, оно в отклоненной струне меняется по напр а вле ни ю от точки к точке.
Далее, так как колебания являются поперечными (вдоль оси 0), то нас интересует только сумма вертикальных проекций сил (сумма горизонтальных составляющих, очевидно, равна нулю): д'а р (х — „, =Т,„+Т,„. (2) Легко видеть, что Т„= — Т 81п О, и Т„= Т 8(п О,. Для малых колебаний углы О, и О, малы и можно приближенно (с точностью до малйх второго порядка) принять з'1п О, ж (н О, = ( — ) и з1п О, ж (й О, = ( — ) дх хаак Следовательно, правая часть уравнения (2) сводится к выражению Т„+ Т„,= Т ~(а — ") — (~ — ) ~ .
/да~ Разложим теперь в ряд Тейлора ( — ) Мх+ах ('-") =('-") +(~) "' Тогда с точностью до малых второго порядка 88 Подставляя (3) в (2), приходим к равенству дьи д>и р —.=т —. др дх> ' Введя обозначение у — о> Р получаем уравнение свободных колебаний струны: д>и д'и — =о а дть дк> ' Рис, 31 Как всегда в механике, одного лишь уравнения движения (1) для определения формы струны в любой момент времени недостаточно. Необходимо еще задать начальные условия, т. е.
положение ее точек и их скорости в момент 1=0: и и=ь = >1> (х)> д> ~ ь =ф (х). (б) Кроме того, нужно еще указать, что происходит на концах струны, т. е. задать граничные условия. Для струны, закрепленной с обоих концов, граничные условия имеют вид: и ~„=ь =О. игл=с=О. (7) Таким образом, колебания струны описываются одномерным волновым уравнением (1).
Если поперечные колебания совершает натянутая упругая пленка (мембрана) (рис. 31), то соответствующее волновое уравнение является двумерным: (Г) При атом начальные условия, определяющие положения и скорости точек мембраны, имеют вид: ди и~г=о =«р(х, у), — ~ =ф(х, у). Что касается граничного условия, то, поскольку мембрана вдоль контура 1. обычно закреплена, оно принимает форму: и~с =О. Еще более общий случай мы получаем, когда колебания (продольные) совершают частицы сплошной среды. Это — случай акустических колебаний. Дифференциальное уравнение для таких колебаний становится трехмерным волновым уравнением: д''и ('д|и д'и деа У д1э удкэ дд' дг'/ ' — =в~ ( — + —,+ —, (1") или (в сокращенной записи): дэи д1э — = о'Ли, Здесь и (х, у, г, 1) — потенциал скоростей движения точек среды, о — скорость звука в данной среде.
Начальные условия записыва1от в такой форме: ди! и р=э =Ф(х, э', х) д~~ ='т'(х, э', х). Граничное же условие обычно выражает тот факт, что на границе с твердой непроницаемой поверхностью 5 сосуда, в котором находится упругая среда, нормальная составляющая скорости частиц равна нулю: Следует отметить, что трехмерным волновым уравнением описываются не только акустические, ио и эле ктромагнитные волны, распространяющиеся в вакууме.
А именно, для напряженностей электрического и магнитного полей имеют место уравнения: 1 д'Е ЬŠ— — ~ де =О, с" д1э где с — скорость света в вакууме. $ 2. Уравнение теплопроводиости Если температура в различных точках тела неодинакова, то в нем происходит перераспределение тепла в соответствии с эмпирическим законом Фурье, согласно которому количество тепла б9, протекающее через малую площадку с площадью ЙЗ за короткий промежуток времени, прямо пропорционально площади бЬ', длительности промежутка Ж и производной от температуры по нормали к площадке: д (8) д= — лдгаб Т.
(9) Происхождение знака минус в (8) и (9) понятно: градиент направлен в сторону возрастания температуры, а тепло течет к более холодным точкам тела. Перейдем теперь к выводу дифференциального уравяения распространения тепла. Пусть имеется однородное тело, температура внутри которого является функцией координат х, у, г и времени г: Т= 7(х, у, г, г). Для общности предположим, что внутри тела существуют источники тепла, мощность которых равна Ч(х, у, г, (). Выделим в теле некоторый малый объем ЛР и составим его тепловой баланс. За время й в нем выделится количество теплоты: Л Я = Й ') 9 (х, у, г, г) гйl. ая (10) Часть этого тепла Л1;~' идет на повышение температуры элемента Л$', а остальная доля ЛЯ" из-за теплопроводности уйдет в окружающие слои тела. Сначала определим ЛЯ'.
Количество тепла, необходимое для повышения температуры бесконечно малого элемента Л' от Т(() до Т((+Ж), равно: Йг ' = с рг(г' "1Т (( + й ) — Т (()1 = ср — й Й7, где с — удельная теплоемкость тела, р — его плотность. где й — коэффициент (внутренней) теплопроводности вещества. Введем понятие вектора плотности теплового потока д, совпадающего по направлению с градиентом температуры, а по модулю равный количеству тепла, протекающего за одну секунду через единичную площадку, расположенную перпендикулярно к градиенту температуры.
Тогда закон теплопроводности принимает векторную форму: Интегрируя это равенство по объему Мг, получим: Л,э' = л! Г ср аг Л'. (11) Чтобы определить ЛЯ", учтем, что за одну секунду через поверхность ЛЯ, ограничивающую объем Л1', протекает количество теплоты Поэтому (12) Приравнивая АЯ сумме ЛЯ' и ЬЯ"; получаем: ~ дЛ =~ р' —,',а+~ д„Ю, (1З) ьк ьг В этом равенстве стоят интегралы по разным переменным.
Поэтому применим к последнему из них теорему Остроградского — Гаусса: ф д„Ю = ~ б(ч у й'. аг Тогда равенство (13) примет вид: ~ ср — ЙГ+ ~ д!удар'= ( я я~, Аг ЬУ ЬУ или ') ~ср —.+с(1чд — Я~ й'=О. лг Поскольку это соотношение справедливо для произвольного объема ЛУ, то должно быть равным нулю само подынтегральпое выражение: дТ ср д,+Д!Уд — Я=О. Подставляя сюда значение д из (9), получаем; ср —,г — п(ч (й огай Т) = 9. п (14) Так как по предположению тело однородно, то коэффициент теплопроводности я является величиной постоян-. ной. Поэтому б(ч(йугаб Т1=йб(чйгаб Т.
В ч,1 было показано, что б!тягай Т=!кТ. Учитывая это, приходим к следующему дифференциальному уравнению распространения тепла: ср — = й Ь Т + Я (х„у, г, 1). дт Рассмотрим частные случаи этого уравнения. 1. Распространение тепла без тепловыделения. Если внутри рассматриваемой области нет источников тепла, т. е. Я =О, то уравнение (14') принимает более простой вид: дТ вЂ” =а ЛТ, (11) а где а= — так называемый коэффициент темнературоер нроеодности. 2. Установившийся поток тепла.
Для стационарного процесса теплообмена, т. е. когда температура в каждой ГдТ точке тела не меняется со временем ( — = 01, уравнение (,дг )' теплопроводности приобретает форму так называемого уравнения Г1уассоирм Ткт = — р, (1Г) где р= —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
