Е.И. Несис - Методы математической физики (1120414), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Наложив сначала требование, чтобы Х(0)=0, мы согласно равенству (28) получим: (0)= А созО+Вз!п0=0, что А = О. Поэтому выражение (28) откуда найдем упростится; Х(х) = Вз|п Лх. (28') Теперь потребуем, чтобы Х(1) =О, т. е. В з!п Л(=0. Отбрасывая тривиальное решение В = О, приходим к трансцендентному уравнению для определения Л: з)п Л( =О. Отсюда или Л =.—, ля л С (80) (35) 116 Подставляя (30) в (28!), получим множва»эво функций от х! Х„=В„з!п ! (31) обращающихся на концах интервала (О, 1) в нуль и удовлетворяющих уравнению (26).
Аналогично, подставляя в решение (29) значение Х из (ЗО), получаем семейство функций от 1, удовлетворяющих уравнению (27): Т„=С„соз ~ !+В„з1п24~ (32) Умножив (3!) и (32), мы получим согласно (24) аовокупность функций: У,(х, 1)=(М„соз ) — 1+ У„з)н 1) з)п — (33) (где М„=„„и У„=-В,В„), каждая из которых удовлетворяет уравнению (21) и краевым условиям (22).
Такими же свойствами, очевидно„будет обладать любая линейная комбинация из частных решений У„. Чтобы удовлетворить еще начальным условиям (ЗЗ), составим бесконечный ряд функций У„сумма которого запишется так: (1(х, 1)=~ч' (,» =~ч»' (М„соз — 1+У„з)п — 1) з1п (84) Если этот ряд сходится и его можно почленно дважды дифференцировать как по х, так и по 1 (эти условия обычно выполняются), то сумма (34) будет удовлетворять уравнению (21) и условиям (22). Как ясно уже из предыдущего примера, идея метода Фурье заключается в том, чтобы путем соответствующего выбора коэффициентов М„ и У„членов этого ряда удовлетворить и начальным условиям (33). Это значит, что нужно потребовать, чтобы при подстановке в (33) значения 1=0 выполнялось равенство! Ф и~,,=ч; М„з)п"","=ч (х). »»=! Аналогично после подстановки г=О в выражение, полученное почленным дифференцированием по времени суммы (34), должно иметь место равенство: (Зб) я=! Ясно, что для выполнения условий (35) и (36) постоянные лил М„и й/„— должны быть соответственно равны коэффициентам Фурье ф„и кр„.
Иными словами, нужно принять 2 Г ллк М„= ~р„= — — <р (х) яп — йх й/„= — ф„= — ~ ф (х) з )п — ' йх. ! 2 Г . ллк о (36') Подставляя указанные значения коэффициентов М„и й/к в ряд (34), получим функцию в виде следующей суммы ряда: к ч.к / ллл 1 . ллк т . ллк У (х, 1) = мк, (~р„ соз †' 1 + †,кР„з!п — 1) яп — .
(37) л=~ В предположении, что имеет место сходимость и дифференцируемость ряда, эта функция и является искомым решением. Рассмотрим его физический смысл. Каждый член ряда можно представить в виде: /ллл ллк У„= А„з)п ~ — 1+ р„) яп— 117, В таком виде он описывает так называемую стоячую волну или собственное .колебание: .все точки струны совершают гармонические колебания с собственной циклической ллл ллк частотой к»„ =- — , амплитудой А„яп — и одинаковой начальной фазой ()„; они одновременно (синфазно) достигают максимальных отклонений или положения равновесия (рис. 34).
лл и ГТ Наименьшая собственная частота кэ, = — = — 1/ р называется часто/лой основного тона; тоны кратных частот называются гармониками илн обертонами. Частота ек тем выше, чем короче и легче струна и чем больше ее натяжение Т. На рисунке 34 изображены картины колебаний основного тона (п = 1) и первых двух обертонов (и=2 и и=3). Таким образом, ряд(37) является суммой или супер позицией стоячих воли с кратными частота ми.
Рис. 34 Как известно, звуки подразделяют на музыкальные, или нотпы, и немузыкальные, или шумы; ноты порожда- ются периодическими, а шумы — непериодическими коле- баниями. В излучаемой музыкальным инструментом ноте всегда присутствует несколько тонов — основной тон и обертоны. Обычно амплитуды гармоник быстро убывают с ростом их номера. Поэтому решающий вклад в ноту вносит основной тон. Обертоны придают звуку тот или иной тембр. Следовательно, физически полученное реше- ние, которое мы запишем теперь в виде: О 0= л,' Ааз1п(пш,1+(т„) зш — ", ч=.! означает, что струна излучает музыкальную ноту, частота которой равна — '; определяемая начальными условиями совокупность амплитуд А„А„...
характеризует спектр (тембра этой иоты. й 3. Реияение задачи, дирихле для круга Мы уже отмечали, что различные физические процессы с мате. матичеекой точки зрении могут быть совершенно подобными. Поэтому в математической физике стремятся разработать единые методы решения задач, объединяющие множество аналогичных проблем.
ыа С таким полоткением мы уже стамкиваимсь на мржаере яждзчи Коши для волнового уравнения. Другой тиипнбй задачей такого рода является задача Дирихле: найти фуакжмю (! (х, р, г) (непрерывную вместе со своимн производными второго порядка в заданной области), удоваетяврювщую уравнению Лапласа б(! =Ом сбраююющуюся на певерщмюти 5 в заданную функцию ваврдимат. Рассмотрим для простоты и сюредьаевкасти следующий частный случай задачи Дирихле: найти расаредеаеяае температуры Т(х, и) дла точек круглой пластинки, если иа ограничивающей се окружности 6 поддерживается неизменная темвература, виданным айуеввм аавмвщцая от маардмиат окруанюсти.
Ииммя словами, необходимо найти регулярную функцию Т (х, 9), удовлетворяющую в точках круга уравнению ЬТ=О и краевому условаю Т !0=1(х, У). Ясно, что задачу проще всего решать в полярной (плосксй цилиндрической) системе координат (р, ф). Согласко тл. П1, ч. 1, уравнение Лапласа в полярной системе координат имеет вид (см. гл. П1, ч. 1); дзТ ! дТ ! бзТ вЂ” з-(- — — -)- — — =0. дрз р др р' дфз (38) (40) и(р, р+2п)=и(р, ф). !!й Соответственно краевое условие принимает вид: Т~, .=-)(р). (39) Согласно методу Фурье будем искать решение (38) в виде: т(р, р)=Л(р)Ф(р).
дТ о" Т дзТ Определяя отсюда —, —,, — з и подставляя их в (38), получим: др ' дре ' дфз (- Л-+ — )!'~ Ф(ф)+ —, Ф" (ф) =0. 1,~ И (40') р ° Р Умножим последнее равенство на рз1)!Ф: — (рз!т"+рй')=Ф (Ф(ф) )! Поскольку по обе стороны знака равенства стоят функции от различных независимых переменных, то такое !жвенство возможно только тогда, когда обе части равны одной и той же постоянной, которую обозначим через — Хз.
Тогда мы приходим к двум абыкновенным двфференциальным уравнениям: рады+ р)!' — аз)1 =О, (4!) Ф'+ Л'Ф =-О. (42) Общий интеграл линейного уравнения (42! нам хорошо знаком; Ф (ф) = А соз Ьр+В з!и Ьр, (43) Приступим к решению нелинейного уравнения (41). Дла этого прежде всего используем так называемое рслоаие цикличносяеи, характерное для криволинейных координат. Оно заключается з том, что и граничная функция 1(ф), и искомое решенне 11(р, зр) должны быть периодическими по переменной ф, т. е.
((ф+ 2п) =! (ф) Отсюда, очевидно, следует, что н функция Ф(ф) должна удовлетво. рять условию цикличности: Ф (~р+ 2п) = Ф (ф). (44) Но так как Ф(ф) есть линейцая комбинация функции з|п )ор н сов Ьр, то для выполнения условия (44) должны выполняться равенства: з|п (Ьр+Х 2п) =Шп Лгу, саз(Ьр+Л 2п) =-соз Ьр. Параметр Х должен, следовательно, быть целым чнялом л (где в=О, 1, 2, ...).
С учетом этого обстоятельства получаем согласно (43) множество функций Ф (ф): Фч(~р) = А„соз л<р+ В„з!п ер. (43') Подставляя теперь в (41) вместо Хз его значение и', получаезн рз)2" + рВ' — з)! = О. (41') Это — дифференциальное уравнение типа Эйлера, характерным свой- ством которого является равенство у всех его членов произведения степ:нн независимой переменной иа порядок производной. Уравнение Эйлера решается сравнительно просто.
Его частное решение ищут в виде: Я вЂ” рз где з — пока произвольная постоянная. Найдя производные)!'=зрг-х и Р"=-з(з — 1)рг-з, подставляем их в (41'). После сокращения на общий множитель рг, приходим к равенству: з(з — !)+з — л'=0 или Отсюда з ~п. Таким образом, для каждого значения коэффициента и в (41') иместси свое общее решение: )3„(р) =С.р«+Э„р-.. Но так как нас интересуют только регулярные функции, то следует положить ()„О (в противном случае в точке р=б величина )!з обратится в бесконечность). Следовательно, удовлетворяющее физическим условиям решение уравнения (41') имеет вид: г„(р)- с„р .
(45) Перемножая теперь В„(р) и Ф„(п), мы согласно (40) получим дискретную совокупность функций: Т„(р, ф)=(М созпм+Лчз!пяр)р" (46) фде М = А„С, Л|з= В„С ), удовлетворяющих исходному уравнению (33), а также. естественным физическим условиям периодичности (однозначности) р регулярности. Чтобы «ще удовлетворить граничному условию (39), составим бесконечную сумму: Ю Т (р, гр) = ~ (М„соз пм+ Л|„а| и н р) р" (47) з=в 120 и выберем коэффициеиты М„и У„таким образом, чтобы при р=а этот ряд сходился к фуйкции у(ф): Ю ~чг~ (М„соз лф+ Ув з!п лф) а" =) (ф).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
