Е.И. Несис - Методы математической физики (1120414), страница 14
Текст из файла (страница 14)
=ь' 3. Установившийся поток тепла без тепловыделения. дТ В этом случае и 9 =О, и — =О, поэтому распределение температуры в теле подчиняется уравнению Лапласа: ОТ=О, (11") Уравнение нестационарной теплопроводности дТ д! — =а ЬТ содержит производные второго порядка по координатам х, у, г и производную первого порядка по времени Поэтому для однозначности его решения должны быть заданы одно начальное условие и два граничных условия для каждой координаты. Стационарные уравнения Пуассона и Лапласа не содержат переменной г, так что в этом случае необходимы только граничные условия.
93 Н а ч а л ь н о е условие обычно состоит в том, что температура всех точек тела в момент г = 0 является определенной функцией координат: Т )~ а=((х, у, г). Что касается граничных, или краевых, условий, то при решении физических задач они бывают трех видов. В случае краевых условий п е р в о г о рода задается температура на поверхности 5 тела в любой момент времени: Т (з =ге(х, у, г). (16) где а — единичный вектор нормали к поверхности. ет Так как согласно (9) д„= — й — „, то граничные условия имеют дифференциальный характер: ет — „„=ф(х, у, г). Наконец, краевые условия т р е т ь е г о рода являются обобщением условий первого и второго рода.' ет — „— ЙТ ~з = г" (х, у, г).
(16") Постоянная й называется коэффициентом внешней теплоароводяости. Равенство (16") применяется в случае процесса теплоотдачи (охлаждения), т. е. переноса тепла от тела к окружающей среде. Согласно эмпирическому закону Ньютона количество тепла, отдаваемого элементом поверхности й5 с температурой Т, за время Ж в окружающую среду с температурой Т„прямо пропорционально разности Т,— Т, и величинам й5 и е(г: й1 ) = а (Т,— Т,) йо Ж. Множитель пропорциональности а называется коэффициентом теллоотдачи.
Э4 (В общем случае функция <Г может зависеть и от г, но обычно температура на поверхности постоянна.) При краевых условиях второго рода температура на поверхности неизвестна, но указывается тепловой поток д, вытекаюгций или втекающий через поверхность, как функция координат точек поверхности: у„ =Ф (х, у, г), Таким образом, тепловой поток д, вытекающий из тела наружу, равен: (17) )=сс(Т,— Т„). С другой стороны, такой же тепловой поток должен подводиться изнутри путем теплопроводности.
Поэтому согласно (9) д — — й" — '. дп ' (17') Приравнивая правые части (17) и (17'), получаем: Обозначив отношение а!А через й и учитывая, что Т, = Т )з, приведем последнее равенство к виду: ат — ЬТ!,=йт,. 9 3. Основное уравнение электростатики Основным фвзическим законом электростатического поля является теорема Гаусса. Поток напряженности Е через произвольную замкнутую поверхность равен (в абсолютной системе единиц) умноженной на 4п алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри атой поверхности; ф Е„бз — 4п,)~ г;. (! 8) 5 г В общем случае электрические заряды распределены по объему с некоторой плотностью р = р (х, у, г).
Поэтому вместо суммы в правой части (18) появляется интеграл: ф Е„гБ =- 4п ~ р Л'. (! 9) В обеих частях этого равенства интегрирование производится по разным переменным. Поэтому, применив к (19) Температура среды Т, и коэффициент Ь в разных точках поверхности раздела сред, вообще говоря, различны. Если известна их зависимость от координат, то произведение 'пТ, представляет собой определенную функцию координат Р(х, у, з), и мы приходим к граничным условиям третьего рода (16"). теорему Остроградского — Гаусса: ф Е„Ю= ') б(ч Е г()г, получаем ~ (д1ч Š— 4пр) бУ.
(20) Так как объем Р в (20) является произвольным, то равно нулю само подынтегральное выражение и мы переходим к дифференциальной форме теоремы Гаусса: г(1 ч Е = 4п р, (21) представляющей собой в теории электричества третье уравнение Максвелла. Из электродинамики известно, что электростатическое поле потенциально: Е= — пгаб гр, (22) где ч~ — электрический потенциал. Учитывая это, можно уравнение (22) записать в таком виде: б(чйгаб р= — -ЛЧ~= — 4пр.
Это †основн дифференциальное уравнение электростатикн — уравнение Пуассона. В системе единиц СИ это уравнение записывается проще: йч= — р, С его помощью можно установить вид скалярного поля потенциала Ч, если известно распределение зарядов в пространстве р(х, р, г). Если же в некоторой области зарядов нет (о=О), то потенциал ч (х, у, г) удовлетворяет уравнению Лапласа: Лч =-0, й 4. Уравнение переменного электромагнитного поля в потенциалах Как известно из теории электричества (электродинамики), заряды и токи создают в пространстве электрическое н магнитное поля Е и Й, между которыми существует сложная функциональная связь. Важнейшей задачей электродинамики является определение вида этих функций Е (х, у, г, г) и Й (х, у, г, () по заданному распределению неподвижных и движущихся зарядов. Как впервые показал Максвелл, основные опытные законы, описывающие свойства электромагнитного поля, носят дифференциальный характер, т.
е, позволяют непосредственно определить вид только производных от векторных полей Е и Й. Но так как каждое векторное поле имеет две пространственные производные (скалярную — диве ргенцию и векторную — ротор), то для полного описания электромагнитного поля должны быть заданы четыре дифференциальных уравнения, которые называют уравнениями Максвелла. В вакууме они имеют следующий внд (в абсолютной системе единиц): в) г((т Й вЂ” -О, 4п.' 1 дЕ г) го! О= — )+ — —, с с д!' а) г(!БтЕ=4пр, 1 дй б) го! Е=- — — —, с д!' Здесь р — плотность зарядов, ) — плотность токов, с — ско- рость авета. Разберем вкратце физический смысл каждого уравне- ния.
Уравнение (а) б!чЕ=4пр означает, что источниками электрического поля являются заряды, причем мощность источника равна 4пр, Уравнение (в) б!ч Й = О означает, что магнитное поле не имеет источников, т. е. является вихревым векторным ! дм полем. Уравнение (б) го1 Е= — — — представляет собой с д! закон электромагнитной индукции в дифференциальной -' 4пт 1 дЕ форме. Наконец, уравнение (г) го(о= — (+ — — обоб- ! дЕ щает закон Био — Савара, отличаясь от него членом — — ', с д! характеризующим так называемый ток смеи4енил. Последние два уравнения показывают, что причинами возникновения и изменения электромагнитного поля явля- ются не только наличие электрических зарядов, но и движение этих зарядов, а также изменение со временем самого поля.
Благодаря этому возможно существование магнитного поля, хотя в природе нет магнитных зарядов, а также существование с в о б од н о г о электромагнитного поля в пространстве, лишенном как зарядов, так и токов. Интегрируя уравнения Максвелла, можно в принцяпе определить электрическое и магнитное поля Е (г, 1) н .+ Н(г, 1), Но как это можно сделать практическими Ведь это сложная система взаимосвязанных векторных дифференциальных уравнений в частных производных. Оказывается, что задача значительно упрощается введением двух вспомогательных величин — скалярного электрического потенциала ф и векторного магнитного потенциала А, определяемых равенствами: Й==го1А, (23) 1 дА Е = — ягаб ф — —,, с д~ (24) Накладывая еще дополнительное условие Лоренца 41тА+ с д, — — 0 (25) ! д""ф Лф — ' —, — = — — 4лр с~ д~~ (26) д'Л 4л . ЛА — — — = — — 1.
сэ дР с (2?) Рассмотрим уравнение (26), которое еще можно записать так: П ф= — 4лр, (П1) где П вЂ” оператор Даламбера. Это уравнение называют уравнением Дплалберп. Заметим, что в частном случае стационарного (неизменного во времени) поля даламбериан превращается в обычный лапласнан Л и уравнение Даламбера переходит в известное нам уже уравнение Пуассона: Лф = — 4лр, В другом частном случае, когда в переменном электрическом поле отсутствуют заряды (р †. 0), уравнение Даламбера сводится к трехмерному волновому уравнению Ьф=- —,—,, описывающему волны, распространяющиеся со скоростью с. и подставляя (23), (24) и (25) в уравнения Максвелла, получаем два аналогичных дифференциальных уравнения для каждого из потенциалов: Наконец, если поле со временем не меняется и в нем отсутствуют заряды, уравнение Даламбера вырождается в уравнение Лапласа йЧ~=О.
ф 5. Уравнение Шредингера Изучение физических свойств молекул, атомов и составляющих их частиц привело в начале ХХ века исследователей к убеждению, что в микромире существуют свои законы, качественно отличные от законов макромира, Постепенно сущность этих законов была раскрыта и к концу двадцатых годов в атомной физике сложилась стройная логическая система — квантовая механика, Основное утверждение квантовой механики заключается в том, что поведение любой микрочастнцы (скажем, электрона) описывается неноторой (вообще говоря, комплексной) функцией координат н времени Ф(х, у, г, 1), причем, квадрат модуля этой функции )ф !' характеризует плотность вероятности, т.
е. вероятность нахождения частицы в единице объема пространства. В стационарных случаях, т. е. когда функция ф которую обычно называют волновой функцией, не зависит от времени, ее можно определить, решая так называемое уравнение Шредингера: Лф+ — „(Š— Ю) ф —. О, (1Ч) где т — масса частицы, Й вЂ” постоянная Планка, 0 — потенциальная энергия, которая должна быть задана условиями задачи, Š— полная энергия частицы, играющая роль параметра. Поясним подробнее последнее утверждение. Поскольку квадрат волновой функции ~ф)' имеет смысл плотности вероятности, то ф-функция должна еще удовлетворять естественным физическим условиям: она должна быть неярерывной, однозначной и конечной; интеграл же.по всему бесконечному пространству от ~ф(' по самому смыслу этой величины есть вероятность достоверного события, т. е, ~ ( ф )2 й1 = 1 (условие нормировки).
При этом оказывается, что во многих случаях не при любых значениях полной энергии Е решение уравнения 'Шредингера может удовлетворять указанным физическим условиям. Решая это уравнение и гаакладьяия на ф стаи- дартные условия, мы определяем все значения энергии Е, которыми может обладать микрочастица при заданных условиях. Уравнение Шредингера является основным дифферен- циальным уравнением квантовой механики и, следова- тельно, одним из самых распространенных типов урав- нений в частных производных математической физики. Мы познакомились с рядоь( дифференциальных урав- нений математичеекой физики. Прежде чем перейти к рас- смотрению их решений, сведем в единую таблицу ооиовные типы этих уравнений: дЧ/ 1) †., =-о-'Л(У вЂ волнов уравнение, дТ 2) — =а ЛТ вЂ” уравнение теплопроводности, дг 3) Ьгр =- Π†уравнен Лаплаоа, 4) игр =- — р — уравнение Пуассона, б) П гд = — р — уравнение Даламбера, 6) йф+ (Š— У) ф = —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
