Е.И. Несис - Методы математической физики (1120414), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Затем, в момент 1, = —, когда к+1 задний фронт достигнет точки х, эта точка вновь возвращается в состояние покоя и будет далее оставаться в покое все время. Между моментами 1, и 1, волна проходит через точ11у Х, заотавляя ае отклоняться. 2. Пусть начальное вмещение ч»=0, а функция ф(х) отлична от нуля в интервале ( — 1, 1). Этот случай реализуется в результате удара по струне молоточка ширины 21 (рис. 33, а). В этом члучае решение (41) имеет следующий вид: Таким образом, и в этом случае по струне идут две волны: прямая и обратная, В момент 2 = О нижний и верхний пределы интегрирования в (42) совпадают.
Поэтому и=О (рис. 33, б). С ростом г интервал интегрирования, равный 2ог, увеличивается, а вместе с ним увеличивается и величина интеграла к~-к! »р (г) «(г (рис. 33, в). Когда к-»! г' достигает значения (/о, точ- ' ка х = О испытывает наибольшее отклонение, равное (рис. ЗЗ, а) — ') «Р (2) «(2 = )». »Гх) ! ! ! ! ! 2 ! 4 2 В дальнейшем с ростом Г величина этого отклонения больша не меняется. Все другие точки струны достигают этого максимального смещения в более поздние моменты времени: Рис.
ЗЗ /к)+« » ! после чего они как бы «застывают» (рис. ЗЗ, д, е). Глава И. нАхОждение чдптных Решений уРАВнений В чабтных пРОизВОдных пУтем РАзделенив пеРеменных В этой главе мы рассмотрим ряд примеров, иллюстри. рующих сущность одного иа простейших способов решения уравнений в частных производных — малода Фурье. 109 $ 1. Охажждение стержня комичной двины Пусть концы тонкого теплопровцаного стержня длиной 1 погружены в тающий лед и температура стержня в начальный момент времени (1=О) зависит от его координат по некоторому закону Т=) (х).
Найдем температуру в любой точке стержня в произвольный момент времени. Сформулируем проблему аналитически. Так как в стержне нет тепловыделения и тепло распространяется только вдоль стержня, т. е. по оси Х, то уравнение теплопроводности принимает вид: ср дТ д'Т а дс дхз (') Начальное условие запишется так: Т! =,= р(х). (2) Граничных условий должно быть два, ибо уравнение содержит вторую производную по переменной х; оии, очевидно, сводятся к равенствам; т!„,=о, т(,,=-о. (3) Итак, нужно найти функцию Т=Т(х, 1), удовлетворяющую уравнению (1) и условиям (2) и (3).
Прежде чем решать эту задачу, упростим уравнение (1), введя замену переменной 1; — 1=т. ь (4) ср Тогда, как легко видеть, уравнение теплопроводности принимает форму: дТ д'Т дс = Д.~а ° а условие (2) запишется в виде: Т (,, = ср (х). (2') Что касается краевых условий (3), то они остаются неизменными. Будем теперь искать функцию Т (х, т), удовлетворяющую уравнению (Г) в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит от одной переменной: Т (х, т) =- Х (х) г' (т).
(5) Тогда д'Т вЂ”,, =Л(к) 1" (т) и — —;=Х" (х) 1'(т). 1 из Подставим эти выражения в (1'): Х (х) 1" (т) = Х" (х) У(т). Разделив это равенство на ХУ, получвча: у' у' у (т) Х (х) ' (8) и разделим переменные: — = — )' дт. лу Беря интегралы от правой и левой частей, находим: 1п Г= — Х*т+1пС, где С вЂ” постоянная интегрированчгя.
Произведя далее потепцирование, получим выражение для функции У(т): 'г' (т) =- Се-~". (10) Ясно, что произведение Х(х)1'(т) будет удовлетворять уравнению (Г), но необходимо еще выполнить условия (2') и (3). Так как на концах стержня Т)„,= — Т)„,=0, то в нуль должна обращаться в этих точках и функция Х(х): Х(О) =О, Х (1)= О. (8') 111 В левой части имеем функцию от времени т, а в праной— функцию от координаты х. Такое равенство возможно тогда и только тогда, когда обе эти функции равны одной и той же постоянной, которую обозначим через — ),®.
Таким образом, уравнение (6) распадается на два обыкновенных дифференциальных уравнения: Х" + ),'Х (х) = О, (7) 1" + ).Ч'(т) = О. (8) Интегрирование этих линейных уравнений не представляет труда. Общее решение уравнения (7), кан известно, имеет вид: Х (х) = А соз ).х+ В з(п Хх, (О) где А и  †произвольн постоянные. Что касается уравнения первого порядка (8), то оно решается элементарно. Запишем его в виде: — = — МУ лу Ж. Чтобы удовлетворить этим равенствам, нужно соответствующим образом выбрать постоянные А, В и Л. Начнем с первого равенства (3'). Подставляя в (9) значение х=О, имеем: Х (0) = А соз О+ В зш 0 = О, отсюда заключаем, что следует выбрать А=О.
Таким образом, функция Х(х) принимает вид: Х = В з1п Лх. (9') Потребуем далее, чтобы она удовлетворяла и второму условию (3'): Х (1) = В з! и И = О. Здесь имеются две возможности: либо В = О, либо з1п И = О. Но решение В=О использовать нельзя, так как в этом случае получается так называемое тривиальное решение Х =6 и Т =О, не имеющее физического смысла. Остается принять такое значение параметра Л, чтобы а!пЛ1 О.
Огсюда И=пи (где п=1,2, 3 ...; значение п 0 исключаем, так как оно также привело бы к тривиальному решению). Следовательно, постоянная Л может принимать ряд дискретных значений: ' Л„- п-Т. (12) Заменяя в (9') Л его значениями, приходим к множеству функций: Х„(х) = В„з(п —, (13) где „— произвольные постоянные, каждая из которых удовлетворяет граничным условиям (3'). Аналогично, подставляя (12) в (10), получим множество функций 1'(т): дала Г„(т) =С„е (14) где ф— произвольные постоянные. Произведения функций Х„(х) и 1'„(т) ~.'я' Т„(х, т)=М„з(п — "е где числа М„=„ф) есть функция двух переменных.
сно, что любая фуйкция Т„(х, т) удовлетворяет как уравнению (1'), так и краевым условиям (3). 112 Т„(х, 0) =М„з(п — "„ то никаким выбором коэффициента М„нельзя будет, вообще говоря, удовлетворить начальному условию: Т„(, о = <р (х), Имеется, однако, другая возможность. Так как любая линейная комбинация частных решений дифференциаль- ного уравнения также удовлетворяет ему, то согласно методу Фурье следует из решений (15) составить ряд, сумма которого запишется так: о*и* Т(х, т)=,~,,Т,=~ М„з!и — е " .
(16) х=! а=! Если этот ряд сходится и его можно дифференцировать, то он тоже является решением уравнения (1'), удовлетворяющим краевым условиям (3). Выберем теперь значения коэффициентов М„таким образом, чтобы ряд (16) при т=0 удовлетворял начальным условиям (2')„т. е. чтобы имело место равенство: ,«~ М„з!п — = гр (х). л=! (1Т) Из теории рядов Фурье известно, что любая непрерывная' функция р(х) (а с такими функцияМи мы только и будем встречаться в математической физике), заданная в интервале (0„1), может быть разложена в ряд Фурье: (16) где !р„ †т называемые коэффициенты Фурье, опреде- з Согласно теореме кирилле функцию ~р(х)- можно разложить в ряд Фурье и в том случае, если она имеет конечное число точек разрмчч.
1!3 Чтобы решить задачу, нам остается выбрать коэффициенты М„таким образом, чтобы удовлетворить еще начальному условию (2'). Анализ этого вопроса, однако, показывает, что поскольку в начальный момент времени (т= — 0) функция Т„обращается в ляемые по формуле ч!„= — ! !р (х)з!п — !(х. 2 Г . ллх и (19) о Сопоставляя равенства (17) и (18), мы должны заключить, что если в качестве постоянных М„брать коэффициенты Фурье Ч!„, то условие (17) выполняется и ряд Ю и л Т(х, т) =~~ р„з!и — е (20) л=1 удовлетворяет не только уравнению (1') и граничным условиям (У), но н начальным условиям (2').
Следовательно, функциональный ряд (20) представляет собой решение нашей задачи. В заключение сделаем два замечания. 1. Для того чтобы ряд (20), строго говоря, являлся определенным частным решением дифференциального уравнения (1), он должн сходиться и притом так, чтобы его можно было почленно дифференцировать дважды, функция Ч!(х) должна удовлетворять условиям Днрихле и пр. Однако в конкретных физических задачах все эти условия обычно выполняются.
2. Хотя решение (20) содержнт сумму бесконечно больнюго числа слагаемых, при решении реальных физических задач в большинстве случаев можно ограничиться нескользкими первммн членами. й 2. Колебания струны кованной длины Решим методом Фурье задачу о смещениях точек закрепленной с обеих концов струны, совершающей колебания с заданными начальными условиями. Инымк словами, найдем функцию У(х, 1), удовлетворяющую волновому уравнению: дЧ! д'У вЂ” ой дР дх' ' а также краевым и начальным условиям! и!„,=0, и1„,=0, (22) д~ (23) Как и в предыдущем параграфе, ищем решение в виде произведения двух функций: У (х, 1) = Х (х) Т (1).
(24) !!4 Взяв вторые частные производные от .У по х и ( и подставив их в уравнение (21), получим равенство: ХТ" = и'Х" Т, Разделив его на произведение и*,ХТ, мы отделим пере- менные: ~' т 00 х (х) ' (25) Как уже говорилось в 5 1, равенство (25) возможно только в том случае, если обе части его порознь равны одной и той же постоянной. Обозначив последнюю через — Л', приходим к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям второго порядка: Х" .+ Л'Х (х) = О, (26) Т" + о'Л'Т (() = О.
(27) Общие решения их известны: Х = А соз Лх+В з!и Лх, (28) Т = С соз оМ+ В з(п оИ, (29) где А, В, С, В и Л вЂ” произвольные постоянные. Их нужно выбрать такими, чтобы удовлетворить условиям (22) и (23). Начнем с граничных условий. Ясно, что искомое решение будет им удовлетворять, если функция Х (х) обратится в нуль при к=О и х=-1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
